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13. 在学习整式乘法一章时,小明发现:若一个整数能表示成$a^2 + b^2$($a,b$是整数)的形式,则称这个数为“智慧数”.例如:5是“智慧数”,因为$5=2^2 + 1^2$;再如:$M=x^2 + 2xy + 2y^2=(x+y)^2 + y^2$($x,y$是整数),所以$M$也是“智慧数”.
(1)请你再写一个小于10的(5除外)“智慧数”______,并判断29是否为“智慧数”______(填“是”或者“否”);
(2)已知$S=x^2 + 4y^2 + 4x - 12y + k$($x,y$是整数),$k$是常数,要使$S$为“智慧数”,试求出符合条件的一个$k$值.
(1)请你再写一个小于10的(5除外)“智慧数”______,并判断29是否为“智慧数”______(填“是”或者“否”);
(2)已知$S=x^2 + 4y^2 + 4x - 12y + k$($x,y$是整数),$k$是常数,要使$S$为“智慧数”,试求出符合条件的一个$k$值.
答案
13.(1)8 是
(2)解:因为$x^2+4x+4=(x+2)^2$,$y^2-3y+\frac{9}{4}=(y-\frac{3}{2})^2$,
所以$S=x^2+4y^2+4x-12y+k=x^2+4x+4+4y^2-12y+9+k-13=(x+2)^2+4(y-\frac{3}{2})^2+k-13$.
因为$S$为“智慧数”,
所以$k-13=0$,所以$k=13$.
(2)解:因为$x^2+4x+4=(x+2)^2$,$y^2-3y+\frac{9}{4}=(y-\frac{3}{2})^2$,
所以$S=x^2+4y^2+4x-12y+k=x^2+4x+4+4y^2-12y+9+k-13=(x+2)^2+4(y-\frac{3}{2})^2+k-13$.
因为$S$为“智慧数”,
所以$k-13=0$,所以$k=13$.
解析
【分析】
首先明确“智慧数”的核心定义：能表示为两个整数的平方和的整数。
对于第(1)问，先找两个整数，计算它们的平方和小于10且不等于5即可；判断29是否为智慧数，只需尝试寻找两个整数，使其平方和等于29即可。
对于第(2)问，解题核心是用配方法将多项式S整理成多个完全平方相加的形式，根据智慧数定义，只需让配方后剩余的常数项调整为0，即可让S成为两个整数的平方和，进而求出k的值。
【解析】
(1) 找小于10的智慧数：例如$8=2^2+2^2$，符合要求（答案不唯一）；
判断29：因为$29=5^2+2^2$，5和2都是整数，所以29是智慧数。
(2) 对S进行配方变形：
将含x的项和含y的项分别分组，得：
$S=(x^2+4x)+(4y^2-12y)+k$
对x的部分配方：$x^2+4x=(x+2)^2 - 4$
对y的部分配方：$4y^2-12y=(2y)^2 - 2· 2y· 3=(2y-3)^2 - 9$
代入S得：
$S=(x+2)^2 -4 + (2y-3)^2 -9 +k=(x+2)^2 + (2y-3)^2 + (k-13)$
因为x、y是整数，所以$(x+2)$和$(2y-3)$均为整数，要使S为智慧数，取$k-13=0$，解得$k=13$。
【答案】
(1) 8（答案不唯一）；是
(2) $k=13$（符合条件即可）
【知识点】
新定义理解、完全平方公式、配方法应用
【点评】
本题以新定义“智慧数”为载体，考查了完全平方公式和配方法的灵活运用，解题的关键是准确理解新定义的含义，熟练掌握配方的技巧，将多项式转化为平方和的结构，能较好考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
首先明确“智慧数”的核心定义：能表示为两个整数的平方和的整数。
对于第(1)问，先找两个整数，计算它们的平方和小于10且不等于5即可；判断29是否为智慧数，只需尝试寻找两个整数，使其平方和等于29即可。
对于第(2)问，解题核心是用配方法将多项式S整理成多个完全平方相加的形式，根据智慧数定义，只需让配方后剩余的常数项调整为0，即可让S成为两个整数的平方和，进而求出k的值。
【解析】
(1) 找小于10的智慧数：例如$8=2^2+2^2$，符合要求（答案不唯一）；
判断29：因为$29=5^2+2^2$，5和2都是整数，所以29是智慧数。
(2) 对S进行配方变形：
将含x的项和含y的项分别分组，得：
$S=(x^2+4x)+(4y^2-12y)+k$
对x的部分配方：$x^2+4x=(x+2)^2 - 4$
对y的部分配方：$4y^2-12y=(2y)^2 - 2· 2y· 3=(2y-3)^2 - 9$
代入S得：
$S=(x+2)^2 -4 + (2y-3)^2 -9 +k=(x+2)^2 + (2y-3)^2 + (k-13)$
因为x、y是整数，所以$(x+2)$和$(2y-3)$均为整数，要使S为智慧数，取$k-13=0$，解得$k=13$。
【答案】
(1) 8（答案不唯一）；是
(2) $k=13$（符合条件即可）
【知识点】
新定义理解、完全平方公式、配方法应用
【点评】
本题以新定义“智慧数”为载体，考查了完全平方公式和配方法的灵活运用，解题的关键是准确理解新定义的含义，熟练掌握配方的技巧，将多项式转化为平方和的结构，能较好考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
14.【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
【验证】求$19^2 -17^2$的结果是8的几倍?
【证明】证明两个连续奇数$2n+1$与$2n-1$（n为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍；
【延伸】两个连续偶数$2m+2$与$2m$（m为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值.
【验证】求$19^2 -17^2$的结果是8的几倍?
【证明】证明两个连续奇数$2n+1$与$2n-1$（n为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍；
【延伸】两个连续偶数$2m+2$与$2m$（m为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值.
答案
14.【验证】解:因为$19^2-17^2=(19+17)×(19-17)=36×2=72=8×9$,
所以$(19^2-17^2)$是8的9倍.
【证明】证明:因为$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n$,
$n$为整数,
所以两个连续奇数$2n+1,2n-1$的平方差是8的整数倍;
因为$(2n+1)+(2n-1)=2n+1+2n-1=4n$,
$8n÷4n=2$,
所以两个连续奇数$2n+1,2n-1$的平方差等于这两个数的和的2倍.
【延伸】解:两个连续偶数的平方差不是8的整数倍.理由如下:
因为两个连续的偶数分别为$2m+2,2m$（$m$为整数）,
$(2m+2)^2-(2m)^2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=4(2m+1)$,
所以两个连续偶数的平方差不是8的整数倍.
因为上述平方差的结果加上正整数$k$,使得最后的结果是8的整数倍,
即$4(2m+1)+k=8m+4+k$是8的整数倍,所以$k$的最小值是4,
所以若使得最后的结果是8的整数倍,加上的正整数$k$的最小值是4.
所以$(19^2-17^2)$是8的9倍.
【证明】证明:因为$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n$,
$n$为整数,
所以两个连续奇数$2n+1,2n-1$的平方差是8的整数倍;
因为$(2n+1)+(2n-1)=2n+1+2n-1=4n$,
$8n÷4n=2$,
所以两个连续奇数$2n+1,2n-1$的平方差等于这两个数的和的2倍.
【延伸】解:两个连续偶数的平方差不是8的整数倍.理由如下:
因为两个连续的偶数分别为$2m+2,2m$（$m$为整数）,
$(2m+2)^2-(2m)^2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=4(2m+1)$,
所以两个连续偶数的平方差不是8的整数倍.
因为上述平方差的结果加上正整数$k$,使得最后的结果是8的整数倍,
即$4(2m+1)+k=8m+4+k$是8的整数倍,所以$k$的最小值是4,
所以若使得最后的结果是8的整数倍,加上的正整数$k$的最小值是4.
解析
【分析】
解题可利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$简化运算：①验证部分直接将19、17代入平方差公式计算，再除以8即可得到对应的倍数；②证明部分把两个连续奇数$2n+1$、$2n-1$代入平方差公式展开化简，判断结果是否含因数8，再计算两数之和，验证平方差与两数和的倍数关系；③延伸部分同理用平方差公式计算两个连续偶数的平方差，化简后判断是否为8的倍数，再根据化简结果推导最小正整数$k$。
【解析】
【验证】解：$19^2-17^2=(19+17)×(19-17)=36×2=72=8×9$，因此$19^2 -17^2$是8的9倍。
【证明】证明：$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-(2n-1))=4n×2=8n$，
∵$n$为整数，
∴两个连续奇数$2n+1$与$2n-1$的平方差是8的整数倍；
又
∵两个数的和为$(2n+1)+(2n-1)=4n$，$8n÷4n=2$，
∴两个连续奇数的平方差等于这两个数和的2倍，结论得证。
【延伸】解：两个连续偶数的平方差不是8的整数倍，理由如下：
$(2m+2)^2-(2m)^2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=(4m+2)×2=4(2m+1)$，
∵$2m+1$是奇数，$4×$奇数的结果是4的倍数但不是8的倍数，
∴两个连续偶数的平方差不是8的整数倍；
要使$4(2m+1)+k=8m+4+k$是8的整数倍，因$8m$是8的倍数，故只需$4+k$是8的倍数，满足条件的最小正整数$k=4$。
【答案】
【验证】是8的9倍；【证明】两个连续奇数的平方差是8的整数倍且等于两数和的2倍，结论成立；【延伸】两个连续偶数的平方差不是8的整数倍，$k$的最小值为4。
【知识点】
平方差公式，整式运算，倍数判定
【点评】
本题以规律探究为载体，考查平方差公式的灵活运用，引导学生掌握从特殊举例到一般证明的数学探究方法，兼顾基础运算能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题可利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$简化运算：①验证部分直接将19、17代入平方差公式计算，再除以8即可得到对应的倍数；②证明部分把两个连续奇数$2n+1$、$2n-1$代入平方差公式展开化简，判断结果是否含因数8，再计算两数之和，验证平方差与两数和的倍数关系；③延伸部分同理用平方差公式计算两个连续偶数的平方差，化简后判断是否为8的倍数，再根据化简结果推导最小正整数$k$。
【解析】
【验证】解：$19^2-17^2=(19+17)×(19-17)=36×2=72=8×9$，因此$19^2 -17^2$是8的9倍。
【证明】证明：$(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-(2n-1))=4n×2=8n$，
∵$n$为整数，
∴两个连续奇数$2n+1$与$2n-1$的平方差是8的整数倍；
又
∵两个数的和为$(2n+1)+(2n-1)=4n$，$8n÷4n=2$，
∴两个连续奇数的平方差等于这两个数和的2倍，结论得证。
【延伸】解：两个连续偶数的平方差不是8的整数倍，理由如下：
$(2m+2)^2-(2m)^2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=(4m+2)×2=4(2m+1)$，
∵$2m+1$是奇数，$4×$奇数的结果是4的倍数但不是8的倍数，
∴两个连续偶数的平方差不是8的整数倍；
要使$4(2m+1)+k=8m+4+k$是8的整数倍，因$8m$是8的倍数，故只需$4+k$是8的倍数，满足条件的最小正整数$k=4$。
【答案】
【验证】是8的9倍；【证明】两个连续奇数的平方差是8的整数倍且等于两数和的2倍，结论成立；【延伸】两个连续偶数的平方差不是8的整数倍，$k$的最小值为4。
【知识点】
平方差公式，整式运算，倍数判定
【点评】
本题以规律探究为载体，考查平方差公式的灵活运用，引导学生掌握从特殊举例到一般证明的数学探究方法，兼顾基础运算能力和逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
