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13.【阅读材料】对于多项式$x^2 + x - 2$，如果我们把$x=1$代入$x^2 + x - 2$，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式$x^2 + x - 2$中有因式$x - 1$，可设$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + m)$（$m$为常数），通过展开多项式或代入合适的$x$的值即可求出$m$的值。我们把这种分解因式的方法叫“试根法”。
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)请完成下列因式分解：$x^2 + x - 2 = \underline{\hspace{5cm}}$；
(2)若多项式$x^2 + mx - n$（$m,n$为常数）分解因式后，有一个因式是$x - 2$，求$2m - n$值；
(3)多项式$x^3 + 2x^2 - 3$用“试根法”分解因式得$(x + a)(x^2 + bx + c)$（$a,b,c$为常数），请直接写出$a,b,c$的值。
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)请完成下列因式分解：$x^2 + x - 2 = \underline{\hspace{5cm}}$；
(2)若多项式$x^2 + mx - n$（$m,n$为常数）分解因式后，有一个因式是$x - 2$，求$2m - n$值；
(3)多项式$x^3 + 2x^2 - 3$用“试根法”分解因式得$(x + a)(x^2 + bx + c)$（$a,b,c$为常数），请直接写出$a,b,c$的值。
答案
13.(1)$(x-1)(x+2)$
(2)解:设 $x^2 + mx - n=(x-2)(x+a)=x^2+(a-2)x-2a$,则 $m=a-2$,$n=2a$,
那么 $2m-n=2(a-2)-2a=2a-4-2a=-4$.
(3)解:因为$(x+a)(x^2+bx+c)=x^3+bx^2+cx+ax^2+abx+ac=x^3+(a+b)x^2+(ab+c)x+ac=x^3+2x^2-3$,所以 $a+b=2$,$ab+c=0$,$ac=-3$,解得 $a=-1$,$b=3$,$c=3$.
(2)解:设 $x^2 + mx - n=(x-2)(x+a)=x^2+(a-2)x-2a$,则 $m=a-2$,$n=2a$,
那么 $2m-n=2(a-2)-2a=2a-4-2a=-4$.
(3)解:因为$(x+a)(x^2+bx+c)=x^3+bx^2+cx+ax^2+abx+ac=x^3+(a+b)x^2+(ab+c)x+ac=x^3+2x^2-3$,所以 $a+b=2$,$ab+c=0$,$ac=-3$,解得 $a=-1$,$b=3$,$c=3$.
解析
【分析】
（1）根据材料给出的试根法，先找到使多项式值为0的x的值，确定其中一个因式，再设分解后的因式形式，通过对比多项式系数求出未知参数即可完成因式分解；
（2）已知多项式有因式x-2，仿照材料设分解后的因式形式，展开后对应系数相等，找到m、n的关系，代入2m-n计算即可；
（3）先用试根法找到使三次多项式值为0的x的值，确定a的值，再将右侧的多项式乘积展开，和左侧多项式的各项系数一一对应，列方程求解b、c的值即可。
【解析】
（1）将x=1代入$x^2 + x - 2$，得$1^2+1-2=0$，因此多项式有因式$x-1$。
设$x^2 + x - 2=(x-1)(x+m)$，展开右侧得$x^2+(m-1)x -m$。
对比左右两边系数：$m-1=1$，$-m=-2$，解得$m=2$。
因此$x^2 + x - 2=(x-1)(x+2)$。
（2）设$x^2 + mx - n=(x-2)(x+a)$（a为常数），展开右侧得$x^2+(a-2)x -2a$。
对比左右两边系数可得：$m=a-2$，$n=2a$。
将其代入$2m-n$得：
$2m-n=2(a-2)-2a=2a-4-2a=-4$。
（3）将x=1代入$x^3 + 2x^2 - 3$，得$1^3+2×1^2-3=0$，因此多项式有因式$x-1$，即$x+a=x-1$，故$a=-1$。
将$(x+a)(x^2+bx+c)$展开得$x^3+(a+b)x^2+(ab+c)x+ac$，和原式$x^3 + 2x^2 - 3$对比系数：
$\begin{cases}a+b=2\\ab+c=0\\ac=-3\end{cases}$，将$a=-1$代入解得$\begin{cases}b=3\\c=3\end{cases}$。
【答案】
(1)$(x-1)(x+2)$
(2)$-4$
(3)$a=-1$，$b=3$，$c=3$
【知识点】
试根法因式分解；多项式乘多项式；代数式求值
【点评】
本题是材料阅读类题型，通过介绍新的因式分解方法“试根法”，考查学生的阅读理解能力和知识迁移应用能力，解题时需结合多项式乘法的系数对应关系求解，熟练掌握整式乘法运算是解题的基础。
【难度系数】
0.7
（1）根据材料给出的试根法，先找到使多项式值为0的x的值，确定其中一个因式，再设分解后的因式形式，通过对比多项式系数求出未知参数即可完成因式分解；
（2）已知多项式有因式x-2，仿照材料设分解后的因式形式，展开后对应系数相等，找到m、n的关系，代入2m-n计算即可；
（3）先用试根法找到使三次多项式值为0的x的值，确定a的值，再将右侧的多项式乘积展开，和左侧多项式的各项系数一一对应，列方程求解b、c的值即可。
【解析】
（1）将x=1代入$x^2 + x - 2$，得$1^2+1-2=0$，因此多项式有因式$x-1$。
设$x^2 + x - 2=(x-1)(x+m)$，展开右侧得$x^2+(m-1)x -m$。
对比左右两边系数：$m-1=1$，$-m=-2$，解得$m=2$。
因此$x^2 + x - 2=(x-1)(x+2)$。
（2）设$x^2 + mx - n=(x-2)(x+a)$（a为常数），展开右侧得$x^2+(a-2)x -2a$。
对比左右两边系数可得：$m=a-2$，$n=2a$。
将其代入$2m-n$得：
$2m-n=2(a-2)-2a=2a-4-2a=-4$。
（3）将x=1代入$x^3 + 2x^2 - 3$，得$1^3+2×1^2-3=0$，因此多项式有因式$x-1$，即$x+a=x-1$，故$a=-1$。
将$(x+a)(x^2+bx+c)$展开得$x^3+(a+b)x^2+(ab+c)x+ac$，和原式$x^3 + 2x^2 - 3$对比系数：
$\begin{cases}a+b=2\\ab+c=0\\ac=-3\end{cases}$，将$a=-1$代入解得$\begin{cases}b=3\\c=3\end{cases}$。
【答案】
(1)$(x-1)(x+2)$
(2)$-4$
(3)$a=-1$，$b=3$，$c=3$
【知识点】
试根法因式分解；多项式乘多项式；代数式求值
【点评】
本题是材料阅读类题型，通过介绍新的因式分解方法“试根法”，考查学生的阅读理解能力和知识迁移应用能力，解题时需结合多项式乘法的系数对应关系求解，熟练掌握整式乘法运算是解题的基础。
【难度系数】
0.7
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.
如：$4=2^2 - 0^2$，$12=4^2 - 2^2$，$20=6^2 - 4^2$，因此4，12，20都是“神秘数”.
(1)28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为$2k+2$和$2k$（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
(3)两个连续奇数的平方数（取正数）是神秘数吗？为什么？
答案：(1)$28=4×7=8^2 -6^2$，$2012=4×503=504^2 -502^2$，所以是神秘数.
(2)$(2k+2)^2 - (2k)^2 =4(2k+1)$，因此由$2k+2$和$2k$构造的神秘数是4的倍数.
(3)由(2)知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数.因为两个连续奇数为$2k+1$和$2k-1$，则$(2k+1)^2 - (2k-1)^2=8k$，即两个连续奇数的平方差不是神秘数.
如：$4=2^2 - 0^2$，$12=4^2 - 2^2$，$20=6^2 - 4^2$，因此4，12，20都是“神秘数”.
(1)28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为$2k+2$和$2k$（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
(3)两个连续奇数的平方数（取正数）是神秘数吗？为什么？
答案：(1)$28=4×7=8^2 -6^2$，$2012=4×503=504^2 -502^2$，所以是神秘数.
(2)$(2k+2)^2 - (2k)^2 =4(2k+1)$，因此由$2k+2$和$2k$构造的神秘数是4的倍数.
(3)由(2)知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数.因为两个连续奇数为$2k+1$和$2k-1$，则$(2k+1)^2 - (2k-1)^2=8k$，即两个连续奇数的平方差不是神秘数.
答案
(1)$28=4×7=8^2 -6^2$，$2012=4×503=504^2 -502^2$，所以是神秘数.
(2)$(2k+2)^2 - (2k)^2 =4(2k+1)$，因此由$2k+2$和$2k$构造的神秘数是4的倍数.
(3)由(2)知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数.因为两个连续奇数为$2k+1$和$2k-1$，则$(2k+1)^2 - (2k-1)^2=8k$，即两个连续奇数的平方差不是神秘数.
(2)$(2k+2)^2 - (2k)^2 =4(2k+1)$，因此由$2k+2$和$2k$构造的神秘数是4的倍数.
(3)由(2)知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数.因为两个连续奇数为$2k+1$和$2k-1$，则$(2k+1)^2 - (2k-1)^2=8k$，即两个连续奇数的平方差不是神秘数.
解析
【分析】
解题核心是先明确“神秘数”的定义，再结合平方差公式对式子进行变形分析：
1. 解决第(1)问：先观察已知神秘数的共同特征，发现均为4的倍数，先验证28和2012是否为4的倍数，再将其拆成两个连续偶数的平方差即可判断。
2. 解决第(2)问：直接对两个连续偶数的平方差用平方差公式展开化简，看结果是否含因数4即可判断。
3. 解决第(3)问：先表示出两个连续奇数的平方差并化简，再和第(2)问得到的神秘数的代数式特征对比，若特征不符则不是神秘数。
【解析】
(1) 根据神秘数定义，两个连续偶数的平方差为神秘数：
对28拆分，$28=4×7$，设较小偶数为6，则较大连续偶数为8，计算得$8^2 -6^2=64-36=28$，符合定义；
对2012拆分，$2012=4×503$，设较小偶数为502，则较大连续偶数为504，计算得$504^2 -502^2=(504-502)(504+502)=2×1006=2012$，符合定义。
(2) 利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$计算两个连续偶数的平方差：
$(2k+2)^2 - (2k)^2=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=2×(4k+2)=4(2k+1)$，结果含因数4，因此是4的倍数。
(3) 设两个连续奇数为$2k+1$和$2k-1$，计算平方差得：
$(2k+1)^2 - (2k-1)^2=(2k+1-2k+1)(2k+1+2k-1)=2×4k=8k$；
由(2)可知神秘数为$4(2k+1)$，$2k+1$是奇数，因此神秘数是4的倍数但不是8的倍数，而两个连续奇数的平方差是8的倍数，不符合神秘数特征，因此不是神秘数。
【答案】
(1)$28=4×7=8^2 -6^2$，$2012=4×503=504^2 -502^2$，所以是神秘数.
(2)$(2k+2)^2 - (2k)^2 =4(2k+1)$，因此由$2k+2$和$2k$构造的神秘数是4的倍数.
(3)由(2)知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数.因为两个连续奇数为$2k+1$和$2k-1$，则$(2k+1)^2 - (2k-1)^2=8k$，即两个连续奇数的平方差不是神秘数.
【知识点】
平方差公式，新定义理解，奇偶性分析
【点评】
本题属于新定义类题型，重点考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是准确理解神秘数的定义，通过代数变形得到神秘数的特征，再将待判断的式子变形后对比特征即可得出结论，能有效提升代数运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题核心是先明确“神秘数”的定义，再结合平方差公式对式子进行变形分析：
1. 解决第(1)问：先观察已知神秘数的共同特征，发现均为4的倍数，先验证28和2012是否为4的倍数，再将其拆成两个连续偶数的平方差即可判断。
2. 解决第(2)问：直接对两个连续偶数的平方差用平方差公式展开化简，看结果是否含因数4即可判断。
3. 解决第(3)问：先表示出两个连续奇数的平方差并化简，再和第(2)问得到的神秘数的代数式特征对比，若特征不符则不是神秘数。
【解析】
(1) 根据神秘数定义，两个连续偶数的平方差为神秘数：
对28拆分，$28=4×7$，设较小偶数为6，则较大连续偶数为8，计算得$8^2 -6^2=64-36=28$，符合定义；
对2012拆分，$2012=4×503$，设较小偶数为502，则较大连续偶数为504，计算得$504^2 -502^2=(504-502)(504+502)=2×1006=2012$，符合定义。
(2) 利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$计算两个连续偶数的平方差：
$(2k+2)^2 - (2k)^2=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=2×(4k+2)=4(2k+1)$，结果含因数4，因此是4的倍数。
(3) 设两个连续奇数为$2k+1$和$2k-1$，计算平方差得：
$(2k+1)^2 - (2k-1)^2=(2k+1-2k+1)(2k+1+2k-1)=2×4k=8k$；
由(2)可知神秘数为$4(2k+1)$，$2k+1$是奇数，因此神秘数是4的倍数但不是8的倍数，而两个连续奇数的平方差是8的倍数，不符合神秘数特征，因此不是神秘数。
【答案】
(1)$28=4×7=8^2 -6^2$，$2012=4×503=504^2 -502^2$，所以是神秘数.
(2)$(2k+2)^2 - (2k)^2 =4(2k+1)$，因此由$2k+2$和$2k$构造的神秘数是4的倍数.
(3)由(2)知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数.因为两个连续奇数为$2k+1$和$2k-1$，则$(2k+1)^2 - (2k-1)^2=8k$，即两个连续奇数的平方差不是神秘数.
【知识点】
平方差公式，新定义理解，奇偶性分析
【点评】
本题属于新定义类题型，重点考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是准确理解神秘数的定义，通过代数变形得到神秘数的特征，再将待判断的式子变形后对比特征即可得出结论，能有效提升代数运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
