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8. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
. 答案
8.$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
解析
【分析】
解决这类拼图类因式分解问题，核心思路是利用“拼图前后图形总面积相等”建立等式。首先分别计算左侧4个独立图形的面积，求和得到多项式；再计算右侧拼成的大长方形的面积，得到两个整式乘积的形式，两者相等就是要写的因式分解式子。
【解析】
第一步：计算左侧4个图形的总面积：
1. 边长为$x$的正方形面积：$S_1 = x × x = x^2$
2. 长为$x$、宽为2的长方形面积：$S_2 = x × 2 = 2x$
3. 长为$x$、宽为4的长方形面积：$S_3 = x × 4 = 4x$
4. 长为4、宽为2的长方形面积：$S_4 = 4 × 2 = 8$
总面积为：$S_{\mathrm{总}} = x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 +6x +8$
第二步：计算右侧大长方形的面积：
观察得大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，所以面积为：$S = (x+2)(x+4)$
第三步：根据拼图前后面积相等，可得等式：$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$，即为所求的因式分解。
【答案】
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
【知识点】
因式分解；整式面积表示；多项式乘法
【点评】
本题借助数形结合的思想，利用面积相等的原理直观呈现了因式分解的过程，既考查了整式的基础计算，也能帮助理解因式分解与整式乘法的互逆关系，是因式分解部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解决这类拼图类因式分解问题，核心思路是利用“拼图前后图形总面积相等”建立等式。首先分别计算左侧4个独立图形的面积，求和得到多项式；再计算右侧拼成的大长方形的面积，得到两个整式乘积的形式，两者相等就是要写的因式分解式子。
【解析】
第一步：计算左侧4个图形的总面积：
1. 边长为$x$的正方形面积：$S_1 = x × x = x^2$
2. 长为$x$、宽为2的长方形面积：$S_2 = x × 2 = 2x$
3. 长为$x$、宽为4的长方形面积：$S_3 = x × 4 = 4x$
4. 长为4、宽为2的长方形面积：$S_4 = 4 × 2 = 8$
总面积为：$S_{\mathrm{总}} = x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 +6x +8$
第二步：计算右侧大长方形的面积：
观察得大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，所以面积为：$S = (x+2)(x+4)$
第三步：根据拼图前后面积相等，可得等式：$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$，即为所求的因式分解。
【答案】
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
【知识点】
因式分解；整式面积表示；多项式乘法
【点评】
本题借助数形结合的思想，利用面积相等的原理直观呈现了因式分解的过程，既考查了整式的基础计算，也能帮助理解因式分解与整式乘法的互逆关系，是因式分解部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9.计算：$2025^2 - 2025 × 2024 =$
2025
.答案
9.2025
解析
【分析】
观察算式特征可以发现，两项中都含有公因数2025，因此可以通过提取公因式的方法简化计算，无需直接计算大数的平方和乘法，大幅降低计算量。具体思路为：先提取公因数2025，再计算括号内的减法，最后计算乘法即可得到结果。
【解析】
解：对原式提取公因数2025，可得：
$\begin{aligned}2025^2 - 2025 × 2024&=2025×(2025 - 2024)\\&=2025×1\\&=2025\end{aligned}$
【答案】
2025
【知识点】
提公因式法、有理数简便运算
【点评】
本题考查利用式子特征选择简便运算方法的能力，通过提取公因式可以避免复杂的大数计算，提升运算的正确率和效率，解题时要先观察式子特征再选择合适的运算方法。
【难度系数】
0.9
观察算式特征可以发现，两项中都含有公因数2025，因此可以通过提取公因式的方法简化计算，无需直接计算大数的平方和乘法，大幅降低计算量。具体思路为：先提取公因数2025，再计算括号内的减法，最后计算乘法即可得到结果。
【解析】
解：对原式提取公因数2025，可得：
$\begin{aligned}2025^2 - 2025 × 2024&=2025×(2025 - 2024)\\&=2025×1\\&=2025\end{aligned}$
【答案】
2025
【知识点】
提公因式法、有理数简便运算
【点评】
本题考查利用式子特征选择简便运算方法的能力，通过提取公因式可以避免复杂的大数计算，提升运算的正确率和效率，解题时要先观察式子特征再选择合适的运算方法。
【难度系数】
0.9
10.已知$(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)$可分解因式为$(3x+a)(x+b)$，其中$a,b$均为整数，则$a+3b$的值为________。
答案
10.$-31$
解析
【分析】
观察所给多项式，发现两个乘积项中都含有公因式$(3x-7)$，因此优先考虑用提公因式法分解因式。先提取公因式，再合并剩余部分的同类项，将分解结果和题目给出的$(3x+a)(x+b)$形式对比，确定$a、b$的取值，最后代入计算$a+3b$的值即可。
【解析】
首先对原式提公因式$(3x-7)$：
$\begin{aligned}&(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)\\=&(3x-7)[(2x-21)-(x-13)]\\=&(3x-7)(2x-21 -x +13)\\=&(3x-7)(x-8)\end{aligned}$
已知该式分解因式结果为$(3x+a)(x+b)$，对比可得：$a=-7$，$b=-8$。
将$a、b$代入$a+3b$计算：
$a+3b=-7 + 3×(-8) = -7 -24 = -31$
【答案】
$-31$
【知识点】
提公因式法分解因式、代数式求值
【点评】
本题核心考查提公因式法在因式分解中的应用，解题的关键是准确识别公因式，提取公因式后正确计算剩余整式的加减，再通过对应关系确定参数值，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.8
观察所给多项式，发现两个乘积项中都含有公因式$(3x-7)$，因此优先考虑用提公因式法分解因式。先提取公因式，再合并剩余部分的同类项，将分解结果和题目给出的$(3x+a)(x+b)$形式对比，确定$a、b$的取值，最后代入计算$a+3b$的值即可。
【解析】
首先对原式提公因式$(3x-7)$：
$\begin{aligned}&(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)\\=&(3x-7)[(2x-21)-(x-13)]\\=&(3x-7)(2x-21 -x +13)\\=&(3x-7)(x-8)\end{aligned}$
已知该式分解因式结果为$(3x+a)(x+b)$，对比可得：$a=-7$，$b=-8$。
将$a、b$代入$a+3b$计算：
$a+3b=-7 + 3×(-8) = -7 -24 = -31$
【答案】
$-31$
【知识点】
提公因式法分解因式、代数式求值
【点评】
本题核心考查提公因式法在因式分解中的应用，解题的关键是准确识别公因式，提取公因式后正确计算剩余整式的加减，再通过对应关系确定参数值，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11.把下列各式分解因式:
(1)$2m(m-n)^2 -8m^2(n-m)$;
(2)$-8a^2b+12ab^2-4a^3b^3$.
11.把下列各式分解因式:
(1)$2m(m-n)^2 -8m^2(n-m)$;
(2)$-8a^2b+12ab^2-4a^3b^3$.
答案
11.解:(1)原式$=2m(m-n)[(m-n)+4m]=2m(m-n)(5m-n)$.
(2)原式$=-4ab(2a-3b+a^2b^2)$.
(2)原式$=-4ab(2a-3b+a^2b^2)$.
解析
【分析】
这两道题均采用提公因式法分解因式，解题思路清晰：
(1) 首先观察到式子中含有$(m-n)$和$(n-m)$，二者互为相反数，先统一为相同底数：$(n-m)=-(m-n)$；再确定公因式：系数最大公约数是2，均含字母$m$，相同因式最低次为$(m-n)$的1次，因此公因式为$2m(m-n)$，提取公因式后合并括号内同类项即可。
(2) 首先观察到首项系数为负，优先提取负号；再确定公因式：系数最大公约数是4，均含字母$a$、$b$，$a$最低次为1次，$b$最低次为1次，因此公因式为$-4ab$，提取公因式后整理括号内各项，注意符号不要出错。
【解析】
(1) 先统一相同因式的形式：
原式$=2m(m-n)^2 -8m^2·[-(m-n)]=2m(m-n)^2+8m^2(m-n)$
提取公因式$2m(m-n)$：
$=2m(m-n)[(m-n)+4m]$
合并括号内同类项：
$=2m(m-n)(5m-n)$
(2) 确定公因式为$-4ab$，提取公因式：
原式$=-4ab· 2a + (-4ab)· (-3b) + (-4ab)· a^2b^2$
$=-4ab(2a-3b+a^2b^2)$
【答案】
(1)$2m(m-n)(5m-n)$；(2)$-4ab(2a-3b+a^2b^2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，因式符号变形
【点评】
这是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确识别公因式，注意处理好互为相反数的因式变形和负号问题，提取公因式后确认括号内无公因式可提即为最终结果。
【难度系数】
0.75
这两道题均采用提公因式法分解因式，解题思路清晰：
(1) 首先观察到式子中含有$(m-n)$和$(n-m)$，二者互为相反数，先统一为相同底数：$(n-m)=-(m-n)$；再确定公因式：系数最大公约数是2，均含字母$m$，相同因式最低次为$(m-n)$的1次，因此公因式为$2m(m-n)$，提取公因式后合并括号内同类项即可。
(2) 首先观察到首项系数为负，优先提取负号；再确定公因式：系数最大公约数是4，均含字母$a$、$b$，$a$最低次为1次，$b$最低次为1次，因此公因式为$-4ab$，提取公因式后整理括号内各项，注意符号不要出错。
【解析】
(1) 先统一相同因式的形式：
原式$=2m(m-n)^2 -8m^2·[-(m-n)]=2m(m-n)^2+8m^2(m-n)$
提取公因式$2m(m-n)$：
$=2m(m-n)[(m-n)+4m]$
合并括号内同类项：
$=2m(m-n)(5m-n)$
(2) 确定公因式为$-4ab$，提取公因式：
原式$=-4ab· 2a + (-4ab)· (-3b) + (-4ab)· a^2b^2$
$=-4ab(2a-3b+a^2b^2)$
【答案】
(1)$2m(m-n)(5m-n)$；(2)$-4ab(2a-3b+a^2b^2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，因式符号变形
【点评】
这是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确识别公因式，注意处理好互为相反数的因式变形和负号问题，提取公因式后确认括号内无公因式可提即为最终结果。
【难度系数】
0.75
12. 先仔细阅读下面的例题，再解答问题：
例题：已知二次三项式 $x^2 - 4x + m$ 有一个因式是$(x+3)$，求另一个因式以及$m$的值.
解：设另一个因式为$(x+n)$.
由题意，得 $x^2 -4x + m = (x+3)(x+n)$，
则 $x^2 -4x + m = x^2 + (n+3)x + 3n$，
所以 $\begin{cases} n+3=-4, \\ m=3n, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} n=-7, \\ m=-21, \end{cases}$
所以另一个因式为$(x-7)$，$m$的值为$-21$.
问题：仿照以上方法解答下面的问题：
已知二次三项式 $2x^2 +3x -k$ 有一个因式是$(2x -5)$，求另一个因式以及$k$的值.
例题：已知二次三项式 $x^2 - 4x + m$ 有一个因式是$(x+3)$，求另一个因式以及$m$的值.
解：设另一个因式为$(x+n)$.
由题意，得 $x^2 -4x + m = (x+3)(x+n)$，
则 $x^2 -4x + m = x^2 + (n+3)x + 3n$，
所以 $\begin{cases} n+3=-4, \\ m=3n, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} n=-7, \\ m=-21, \end{cases}$
所以另一个因式为$(x-7)$，$m$的值为$-21$.
问题：仿照以上方法解答下面的问题：
已知二次三项式 $2x^2 +3x -k$ 有一个因式是$(2x -5)$，求另一个因式以及$k$的值.
答案
12.解:设另一个因式为$(x+a)$,得 $2x^2+3x-k=(2x-5)(x+a)$，
则 $2x^2+3x-k=2x^2+(2a-5)x-5a$，
所以$\begin{cases}2a-5=3, \\-5a=-k,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=4, \\k=20,\end{cases}$
故另一个因式为$(x+4)$,$k$ 的值为 20.
则 $2x^2+3x-k=2x^2+(2a-5)x-5a$，
所以$\begin{cases}2a-5=3, \\-5a=-k,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=4, \\k=20,\end{cases}$
故另一个因式为$(x+4)$,$k$ 的值为 20.
解析
【分析】
本题可参照例题的待定系数法求解，首先观察二次三项式的二次项系数为2，已知因式的一次项系数为2，因此另一个因式的一次项系数应为1（2×1=2，对应二次项系数），所以设另一个因式为(x+a)；再将等式右边的两个一次因式相乘展开，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，可列出关于a和k的方程组，求解方程组即可得到a和k的值，进而得到另一个因式。
【解析】
解：设另一个因式为$(x+a)$，由题意得：
$2x^2+3x-k=(2x-5)(x+a)$
将右边展开得：$2x^2+3x-k=2x^2+(2a-5)x-5a$
根据多项式相等时对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2a-5=3 \\ -5a=-k \end{cases}$
解第一个方程：$2a=3+5=8$，得$a=4$
将$a=4$代入第二个方程：$-5×4=-k$，解得$k=20$
所以另一个因式为$(x+4)$，k的值为20。
【答案】
另一个因式为$\boldsymbol{(x+4)}$，$k$的值为$\boldsymbol{20}$
【知识点】
待定系数法，整式乘法运算，多项式相等条件
【点评】
本题属于仿照示例解题的阅读理解题型，解题核心是掌握待定系数法，利用多项式相等时对应项系数相等建立方程求解，解题时要注意展开整式时系数、符号的准确性，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题可参照例题的待定系数法求解，首先观察二次三项式的二次项系数为2，已知因式的一次项系数为2，因此另一个因式的一次项系数应为1（2×1=2，对应二次项系数），所以设另一个因式为(x+a)；再将等式右边的两个一次因式相乘展开，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，可列出关于a和k的方程组，求解方程组即可得到a和k的值，进而得到另一个因式。
【解析】
解：设另一个因式为$(x+a)$，由题意得：
$2x^2+3x-k=(2x-5)(x+a)$
将右边展开得：$2x^2+3x-k=2x^2+(2a-5)x-5a$
根据多项式相等时对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2a-5=3 \\ -5a=-k \end{cases}$
解第一个方程：$2a=3+5=8$，得$a=4$
将$a=4$代入第二个方程：$-5×4=-k$，解得$k=20$
所以另一个因式为$(x+4)$，k的值为20。
【答案】
另一个因式为$\boldsymbol{(x+4)}$，$k$的值为$\boldsymbol{20}$
【知识点】
待定系数法，整式乘法运算，多项式相等条件
【点评】
本题属于仿照示例解题的阅读理解题型，解题核心是掌握待定系数法，利用多项式相等时对应项系数相等建立方程求解，解题时要注意展开整式时系数、符号的准确性，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
