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判断下列说法是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
1. $6x^2y=2x·3xy$和$x^2-2x+1=x(x-2)+1$均属于因式分解. （
2. $3m^2-6m$的公因式是$m$. （
3. 分解因式:$a^2b+ab+a=a(ab+b)$. （
4. 分解因式:$x^2+1=x(x+\dfrac{1}{x})$. （
5. 分解因式:$a^2b+ab^2=ab(a+b)$. （
1. $6x^2y=2x·3xy$和$x^2-2x+1=x(x-2)+1$均属于因式分解. （
×
）2. $3m^2-6m$的公因式是$m$. （
×
）3. 分解因式:$a^2b+ab+a=a(ab+b)$. （
×
）4. 分解因式:$x^2+1=x(x+\dfrac{1}{x})$. （
×
）5. 分解因式:$a^2b+ab^2=ab(a+b)$. （
√
）答案
1.× 2.× 3.× 4.× 5.√
解析
【分析】
解题前先明确两个核心判断依据：①因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，才是因式分解，要求分解对象是多项式、结果为整式乘积、分解彻底无遗漏；②公因式的找法：取各项系数的最大公约数，再取各项都含有的相同字母的最低次幂，二者乘积就是公因式。判断每道题时，对应上述依据逐一核对即可得出结论。
【解析】
1. 因式分解的对象必须是多项式，第一个式子左边$6x^2y$是单项式，不属于因式分解的对象；第二个式子右边$x(x-2)+1$是和的形式，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，因此说法错误。
2. 找$3m^2-6m$的公因式：系数3和6的最大公约数是3，相同字母$m$的最低次幂是$m$，因此公因式是$3m$，不是$m$，因此说法错误。
3. 对$a^2b+ab+a$提公因式$a$时，三项分别除以$a$后剩下的项依次为$ab、b、1$，正确结果应为$a(ab+b+1)$，原式漏了常数项1，分解不完整，因此说法错误。
4. 因式分解的结果要求每个因式都是整式，而$x+\dfrac{1}{x}$不是整式，不符合因式分解的要求，因此说法错误。
5. $a^2b+ab^2$的公因式是$ab$，提公因式后得到$ab(a+b)$，符合因式分解的定义，分解正确，因此说法正确。
【答案】
1.× 2.× 3.× 4.× 5.√
【知识点】
因式分解的定义，公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题围绕因式分解的基础概念设置易错点，考查学生对概念的辨析能力和提公因式法的基本运用能力，只要准确把握因式分解的定义要求和提公因式的规则，就能准确判断。
【难度系数】
0.7
解题前先明确两个核心判断依据：①因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，才是因式分解，要求分解对象是多项式、结果为整式乘积、分解彻底无遗漏；②公因式的找法：取各项系数的最大公约数，再取各项都含有的相同字母的最低次幂，二者乘积就是公因式。判断每道题时，对应上述依据逐一核对即可得出结论。
【解析】
1. 因式分解的对象必须是多项式，第一个式子左边$6x^2y$是单项式，不属于因式分解的对象；第二个式子右边$x(x-2)+1$是和的形式，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，因此说法错误。
2. 找$3m^2-6m$的公因式：系数3和6的最大公约数是3，相同字母$m$的最低次幂是$m$，因此公因式是$3m$，不是$m$，因此说法错误。
3. 对$a^2b+ab+a$提公因式$a$时，三项分别除以$a$后剩下的项依次为$ab、b、1$，正确结果应为$a(ab+b+1)$，原式漏了常数项1，分解不完整，因此说法错误。
4. 因式分解的结果要求每个因式都是整式，而$x+\dfrac{1}{x}$不是整式，不符合因式分解的要求，因此说法错误。
5. $a^2b+ab^2$的公因式是$ab$，提公因式后得到$ab(a+b)$，符合因式分解的定义，分解正确，因此说法正确。
【答案】
1.× 2.× 3.× 4.× 5.√
【知识点】
因式分解的定义，公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题围绕因式分解的基础概念设置易错点，考查学生对概念的辨析能力和提公因式法的基本运用能力，只要准确把握因式分解的定义要求和提公因式的规则，就能准确判断。
【难度系数】
0.7
1.下列各等式从左边到右边的变形中,是因式分解的是 (
A.$(3-x)(3+x)=9-x^2$
B.$8x-2×4x$
C.$x^2+4x+4=(x+2)^2$
D.$x^2-2x+1=x(x-2)+1$
C
)A.$(3-x)(3+x)=9-x^2$
B.$8x-2×4x$
C.$x^2+4x+4=(x+2)^2$
D.$x^2-2x+1=x(x-2)+1$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个变形是因式分解，首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。判断时要紧扣三个要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积的形式；③变形是恒等变形。我们只需要逐个对照选项验证即可。
【解析】
首先明确因式分解的核心要求：变形结果必须是几个整式的乘积形式。
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
选项B：仅为代数式，没有完成从多项式到乘积的等式变形，不符合因式分解的要求，故B错误；
选项C：左边是多项式$x^2+4x+4$，右边是$(x+2)×(x+2)$，即两个整式的乘积形式，完全符合因式分解的定义，故C正确；
选项D：右边为$x(x-2)+1$，是乘积与常数的和，不是几个整式的乘积形式，不属于因式分解，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是概念辨析类基础题，解题的关键是准确理解因式分解的定义，注意区分因式分解与整式乘法的差异，切忌将结果为和差形式的变形错认成因式分解。
【难度系数】
0.8
要判断哪个变形是因式分解，首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。判断时要紧扣三个要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积的形式；③变形是恒等变形。我们只需要逐个对照选项验证即可。
【解析】
首先明确因式分解的核心要求：变形结果必须是几个整式的乘积形式。
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
选项B：仅为代数式，没有完成从多项式到乘积的等式变形，不符合因式分解的要求，故B错误；
选项C：左边是多项式$x^2+4x+4$，右边是$(x+2)×(x+2)$，即两个整式的乘积形式，完全符合因式分解的定义，故C正确；
选项D：右边为$x(x-2)+1$，是乘积与常数的和，不是几个整式的乘积形式，不属于因式分解，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是概念辨析类基础题，解题的关键是准确理解因式分解的定义，注意区分因式分解与整式乘法的差异，切忌将结果为和差形式的变形错认成因式分解。
【难度系数】
0.8
2. 多项式$3m^2 + 6mn$的公因式是 （
A.3
B.$m$
C.$3m$
D.$3n$
C
）A.3
B.$m$
C.$3m$
D.$3n$
答案
2.C
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循标准找法：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者相乘就是多项式的公因式，我们按照这个思路逐步分析即可。
【解析】
对多项式$3m^2 + 6mn$逐项分析：
1. 分析系数：两项的系数分别是3和6，二者的最大公约数是3；
2. 分析共有字母：第一项含字母$m$，第二项含字母$m、n$，两项都共有的字母只有$m$；
3. 分析相同字母的最低次幂：$m$在第一项的次数为2，在第二项的次数为1，最低次是1次，即取$m$。
将系数的最大公约数和相同字母的最低次幂相乘，得到公因式为$3× m=3m$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、最大公约数的求法
【点评】
本题属于基础题，核心考查公因式的确定规则，只要熟练掌握“先求系数最大公约数，再取相同字母最低次幂”的找公因式步骤，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需遵循标准找法：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者相乘就是多项式的公因式，我们按照这个思路逐步分析即可。
【解析】
对多项式$3m^2 + 6mn$逐项分析：
1. 分析系数：两项的系数分别是3和6，二者的最大公约数是3；
2. 分析共有字母：第一项含字母$m$，第二项含字母$m、n$，两项都共有的字母只有$m$；
3. 分析相同字母的最低次幂：$m$在第一项的次数为2，在第二项的次数为1，最低次是1次，即取$m$。
将系数的最大公约数和相同字母的最低次幂相乘，得到公因式为$3× m=3m$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、最大公约数的求法
【点评】
本题属于基础题，核心考查公因式的确定规则，只要熟练掌握“先求系数最大公约数，再取相同字母最低次幂”的找公因式步骤，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
3.若$x^2 + mx +9=(x-3)^2$，则下列结论正确的是（
A.等式从左到右的变形是乘法公式，$m=6$
B.等式从左到右的变形是因式分解，$m=6$
C.等式从左到右的变形是乘法公式，$m=-6$
D.等式从左到右的变形是因式分解，$m=-6$
D
）A.等式从左到右的变形是乘法公式，$m=6$
B.等式从左到右的变形是因式分解，$m=6$
C.等式从左到右的变形是乘法公式，$m=-6$
D.等式从左到右的变形是因式分解，$m=-6$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先要明确两个关键点：1. 区分因式分解和整式乘法（乘法公式属于整式乘法）的变形方向：因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的形式，整式乘法是将几个整式的乘积转化为多项式的形式；2. 利用完全平方公式展开等式右侧，通过对应项系数相等求出m的值，最后结合变形类型和m的取值匹配正确选项。
【解析】
1. 展开等式右侧的完全平方式：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(x-3)^2=x^2-6x+9$；
2. 求m的值：将展开结果与左侧$x^2+mx+9$对比，两个多项式相等则对应项系数相等，因此一次项系数$m=-6$；
3. 判断变形类型：等式从左到右是把多项式$x^2+mx+9$转化为整式乘积$(x-3)^2$的形式，符合因式分解的定义，不属于乘法公式（乘法公式是从乘积到多项式的整式乘法变形）。
综上，变形为因式分解，$m=-6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解的定义
【点评】
本题核心考查概念辨析与公式应用，易错点是混淆因式分解和整式乘法的变形方向，以及完全平方公式的符号问题，熟练掌握基础概念和公式即可准确作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个关键点：1. 区分因式分解和整式乘法（乘法公式属于整式乘法）的变形方向：因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的形式，整式乘法是将几个整式的乘积转化为多项式的形式；2. 利用完全平方公式展开等式右侧，通过对应项系数相等求出m的值，最后结合变形类型和m的取值匹配正确选项。
【解析】
1. 展开等式右侧的完全平方式：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(x-3)^2=x^2-6x+9$；
2. 求m的值：将展开结果与左侧$x^2+mx+9$对比，两个多项式相等则对应项系数相等，因此一次项系数$m=-6$；
3. 判断变形类型：等式从左到右是把多项式$x^2+mx+9$转化为整式乘积$(x-3)^2$的形式，符合因式分解的定义，不属于乘法公式（乘法公式是从乘积到多项式的整式乘法变形）。
综上，变形为因式分解，$m=-6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解的定义
【点评】
本题核心考查概念辨析与公式应用，易错点是混淆因式分解和整式乘法的变形方向，以及完全平方公式的符号问题，熟练掌握基础概念和公式即可准确作答。
【难度系数】
0.8
4. 将$-\frac{1}{2}a^2b - ab^2$提公因式$-\frac{1}{2}ab$后，另一个因式是（
A.$a+2b$
B.$-a+2b$
C.$-a-b$
D.$a-2b$
A
）A.$a+2b$
B.$-a+2b$
C.$-a-b$
D.$a-2b$
答案
4.A
解析
【分析】
这道题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路是：多项式提取公因式后，另一个因式等于原多项式除以公因式的商，计算时要重点关注每一项的符号运算，以及同底数幂的除法规则，避免符号或计算错误。
【解析】
用原多项式除以公因式$-\frac{1}{2}ab$，即可得到另一个因式，分步计算如下：
1. 计算第一项除以公因式的结果：
$-\frac{1}{2}a^2b ÷ (-\frac{1}{2}ab) = a$
（负号相除得正，$\frac{1}{2}$约分后，$a^2÷ a=a$，$b÷ b=1$）
2. 计算第二项除以公因式的结果：
$-ab^2 ÷ (-\frac{1}{2}ab) = 2b$
（负号相除得正，$a÷ a=1$，$b^2÷ b=b$，$1÷ \frac{1}{2}=2$）
将两项结果相加，得到另一个因式为$a+2b$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 整式除法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式后剩余因式的计算，符号处理是本题的常见易错点，熟练掌握同底数幂的除法和符号运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这道题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路是：多项式提取公因式后，另一个因式等于原多项式除以公因式的商，计算时要重点关注每一项的符号运算，以及同底数幂的除法规则，避免符号或计算错误。
【解析】
用原多项式除以公因式$-\frac{1}{2}ab$，即可得到另一个因式，分步计算如下：
1. 计算第一项除以公因式的结果：
$-\frac{1}{2}a^2b ÷ (-\frac{1}{2}ab) = a$
（负号相除得正，$\frac{1}{2}$约分后，$a^2÷ a=a$，$b÷ b=1$）
2. 计算第二项除以公因式的结果：
$-ab^2 ÷ (-\frac{1}{2}ab) = 2b$
（负号相除得正，$a÷ a=1$，$b^2÷ b=b$，$1÷ \frac{1}{2}=2$）
将两项结果相加，得到另一个因式为$a+2b$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 整式除法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式后剩余因式的计算，符号处理是本题的常见易错点，熟练掌握同底数幂的除法和符号运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 下列各组代数式中，没有公因式的是
（
A.$ax + y$ 和 $x + y$
B.$2x$ 和 $4y$
C.$a - b$ 和 $b - a$
D.$-x^2 + xy$ 和 $y - x$
（
A
）A.$ax + y$ 和 $x + y$
B.$2x$ 和 $4y$
C.$a - b$ 和 $b - a$
D.$-x^2 + xy$ 和 $y - x$
答案
5.A
解析
【分析】
本题要求判断各组代数式是否有公因式，解题首先要明确公因式的定义：几个代数式都含有的相同因式叫做它们的公因式。解题思路是逐个分析四个选项中的两个代数式，通过直接观察或简单变形、因式分解，判断是否存在公共的因式，排除有公因式的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据公因式的定义逐一分析选项：
A. $ax+y$没有公共的因式可提取，因式仅为1和$ax+y$；$x+y$的因式为1和$x+y$，二者没有相同的非1公因式，符合题意。
B. $2x=2· x$，$4y=2· 2y$，两个代数式都含有因式2，公因式为2，不符合题意。
C. $b-a=-(a-b)$，所以$a-b$和$b-a$的公因式为$a-b$（或$b-a$），不符合题意。
D. 对$-x^2+xy$提公因式得：$-x^2+xy=x(y-x)$，所以它和$y-x$的公因式为$y-x$，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的定义；提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查公因式的识别能力，解题的核心是熟练掌握公因式的概念，能对代数式做简单变形或因式分解来提取公共因式，是学习因式分解的基础内容。
【难度系数】
0.8
本题要求判断各组代数式是否有公因式，解题首先要明确公因式的定义：几个代数式都含有的相同因式叫做它们的公因式。解题思路是逐个分析四个选项中的两个代数式，通过直接观察或简单变形、因式分解，判断是否存在公共的因式，排除有公因式的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据公因式的定义逐一分析选项：
A. $ax+y$没有公共的因式可提取，因式仅为1和$ax+y$；$x+y$的因式为1和$x+y$，二者没有相同的非1公因式，符合题意。
B. $2x=2· x$，$4y=2· 2y$，两个代数式都含有因式2，公因式为2，不符合题意。
C. $b-a=-(a-b)$，所以$a-b$和$b-a$的公因式为$a-b$（或$b-a$），不符合题意。
D. 对$-x^2+xy$提公因式得：$-x^2+xy=x(y-x)$，所以它和$y-x$的公因式为$y-x$，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的定义；提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查公因式的识别能力，解题的核心是熟练掌握公因式的概念，能对代数式做简单变形或因式分解来提取公共因式，是学习因式分解的基础内容。
【难度系数】
0.8
6.已知多项式$x+81b^4$可以分解为$(4a^2+9b^2)(2a+3b)(3b-2a)$，则$x$的值是（
A.$16a^4$
B.$-16a^4$
C.$4a^2$
D.$-4a^2$
B
）A.$16a^4$
B.$-16a^4$
C.$4a^2$
D.$-4a^2$
答案
6.B
解析
【分析】
要计算x的值，可根据题意列出等式$x + 81b^4 = (4a^2+9b^2)(2a+3b)(3b-2a)$，变形得x等于三个因式的乘积减去$81b^4$。计算乘积时，先观察后两个因式$(2a+3b)$和$(3b-2a)$，符合平方差公式的结构特征，先运用平方差公式计算这两个因式的积，再和第一个因式相乘，最后化简即可求出x。
【解析】
解：由题意可得：
$x + 81b^4 = (4a^2+9b^2)(2a+3b)(3b-2a)$
先计算后两个因式的乘积，变形为平方差公式形式：
$(2a+3b)(3b-2a) = (3b+2a)(3b-2a) = (3b)^2 - (2a)^2 = 9b^2 - 4a^2$
再将上述结果与第一个因式相乘，再次使用平方差公式：
$(4a^2+9b^2)(9b^2 - 4a^2) = (9b^2 + 4a^2)(9b^2 - 4a^2) = (9b^2)^2 - (4a^2)^2 = 81b^4 - 16a^4$
代入原式求解x：
$x = (81b^4 - 16a^4) - 81b^4 = -16a^4$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题考查平方差公式在整式乘法中的灵活运用，解题时优先观察因式的结构特点，利用公式简化计算，可有效降低计算量，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.7
要计算x的值，可根据题意列出等式$x + 81b^4 = (4a^2+9b^2)(2a+3b)(3b-2a)$，变形得x等于三个因式的乘积减去$81b^4$。计算乘积时，先观察后两个因式$(2a+3b)$和$(3b-2a)$，符合平方差公式的结构特征，先运用平方差公式计算这两个因式的积，再和第一个因式相乘，最后化简即可求出x。
【解析】
解：由题意可得：
$x + 81b^4 = (4a^2+9b^2)(2a+3b)(3b-2a)$
先计算后两个因式的乘积，变形为平方差公式形式：
$(2a+3b)(3b-2a) = (3b+2a)(3b-2a) = (3b)^2 - (2a)^2 = 9b^2 - 4a^2$
再将上述结果与第一个因式相乘，再次使用平方差公式：
$(4a^2+9b^2)(9b^2 - 4a^2) = (9b^2 + 4a^2)(9b^2 - 4a^2) = (9b^2)^2 - (4a^2)^2 = 81b^4 - 16a^4$
代入原式求解x：
$x = (81b^4 - 16a^4) - 81b^4 = -16a^4$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题考查平方差公式在整式乘法中的灵活运用，解题时优先观察因式的结构特点，利用公式简化计算，可有效降低计算量，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.7
7.把$x^2 + 3x + c$分解因式得$(x+1)(x+2)$，则$c$的值为
2
。答案
7.2
解析
【分析】
因式分解和整式乘法是互逆的运算，题目已经给出了多项式因式分解的结果，只要把分解后的两个整式相乘展开，得到的多项式和原式是完全相等的，对应项的系数也相同，因此只需要计算$(x+1)(x+2)$的乘积，找到乘积里的常数项，就能得到$c$的值。
【解析】
先将因式分解的结果按照多项式乘多项式的法则展开：
$\begin{aligned}(x+1)(x+2)&=x· x + x·2 + 1· x +1×2\\&=x^2+2x+x+2\\&=x^2+3x+2\end{aligned}$
由题意可知$x^2+3x+c=(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$，两个多项式相等时对应项的常数项相等，因此$c=2$。
【答案】
2
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性、多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础题，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，通过逆运算展开因式分解的结果，利用多项式相等时对应项相等的性质即可求解，计算时注意多项式乘多项式不要漏乘项。
【难度系数】
0.9
因式分解和整式乘法是互逆的运算，题目已经给出了多项式因式分解的结果，只要把分解后的两个整式相乘展开，得到的多项式和原式是完全相等的，对应项的系数也相同，因此只需要计算$(x+1)(x+2)$的乘积，找到乘积里的常数项，就能得到$c$的值。
【解析】
先将因式分解的结果按照多项式乘多项式的法则展开：
$\begin{aligned}(x+1)(x+2)&=x· x + x·2 + 1· x +1×2\\&=x^2+2x+x+2\\&=x^2+3x+2\end{aligned}$
由题意可知$x^2+3x+c=(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$，两个多项式相等时对应项的常数项相等，因此$c=2$。
【答案】
2
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性、多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础题，核心考查因式分解和整式乘法的互逆关系，通过逆运算展开因式分解的结果，利用多项式相等时对应项相等的性质即可求解，计算时注意多项式乘多项式不要漏乘项。
【难度系数】
0.9
