登录
1. 如图，$△ ABC$是等边三角形，点D在AC边上，$∠ DBC=35°$，则$∠ ADB$的度数为 （
A.$105°$
B.$100°$
C.$95°$
D.$85°$
C
）A.$105°$
B.$100°$
C.$95°$
D.$85°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形入手，回忆等边三角形的内角特征，得到∠C的度数；再观察所求角∠ADB的位置，发现它是△BCD的外角，可利用三角形外角的性质直接计算，也可先计算∠BDC的度数，再利用邻补角的关系求∠ADB，两种方法都能得到结果，用外角性质计算更简便。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠C = 60°（等边三角形的三个内角均为60°）
∵∠ADB是△BCD的外角
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠ADB = ∠DBC + ∠C
代入∠DBC=35°，∠C=60°得：
∠ADB = 35° + 60° = 95°
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握等边三角形的内角特征和三角形外角的性质，做题时注意观察角的位置关系，灵活选择计算方法可以提升解题效率。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知的等边三角形入手，回忆等边三角形的内角特征，得到∠C的度数；再观察所求角∠ADB的位置，发现它是△BCD的外角，可利用三角形外角的性质直接计算，也可先计算∠BDC的度数，再利用邻补角的关系求∠ADB，两种方法都能得到结果，用外角性质计算更简便。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠C = 60°（等边三角形的三个内角均为60°）
∵∠ADB是△BCD的外角
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠ADB = ∠DBC + ∠C
代入∠DBC=35°，∠C=60°得：
∠ADB = 35° + 60° = 95°
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握等边三角形的内角特征和三角形外角的性质，做题时注意观察角的位置关系，灵活选择计算方法可以提升解题效率。
【难度系数】
0.85
2. 如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC. 若AB=AC=26 cm，D是BC的中点，∠ABC=30°，则AD的长为 （
A.11 cm
B.12 cm
C.13 cm
D.14 cm
C
）A.11 cm
B.12 cm
C.13 cm
D.14 cm
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，且D是BC中点，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD⊥BC，得到Rt△ABD；再结合已知∠ABC=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可快速求出AD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，D是BC的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∴△ABD是直角三角形。
在Rt△ABD中，∠ABD=∠ABC=30°，斜边AB=26cm，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×26 = 13cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一，直角三角形30°角性质
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质的基础综合应用题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，构造出含30°角的直角三角形，再结合直角三角形的性质计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，且D是BC中点，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD⊥BC，得到Rt△ABD；再结合已知∠ABC=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可快速求出AD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，D是BC的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∴△ABD是直角三角形。
在Rt△ABD中，∠ABD=∠ABC=30°，斜边AB=26cm，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×26 = 13cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一，直角三角形30°角性质
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质的基础综合应用题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，构造出含30°角的直角三角形，再结合直角三角形的性质计算即可。
【难度系数】
0.8
3. 用反证法证明“在四边形中,至少有一个内角是钝角或直角”,第一步应假设 (
A.一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角
B.一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角
C.一个四边形中没有一个内角是钝角或直角
D.一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角
C
)A.一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角
B.一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角
C.一个四边形中没有一个内角是钝角或直角
D.一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角
答案
3.C
解析
【分析】
解这道题首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，也就是假设原结论的反面成立。首先定位原命题的结论为“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，其中“至少有一个”的含义是存在1个及以上符合条件的角，它的反面就是1个符合条件的角都不存在，据此即可推出正确的假设内容。
【解析】
反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题原命题的结论为“至少有一个内角是钝角或直角”，“至少有1个”的否定为“1个都没有”，因此第一步应假设“一个四边形中没有一个内角是钝角或直角”，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，核心是准确掌握常见逻辑表述的否定形式，比如“至少有n个”的否定为“至多有(n-1)个”，本题n=1，因此否定就是0个，即不存在符合条件的角，属于基础概念类考题，掌握反证法的基本原理即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，也就是假设原结论的反面成立。首先定位原命题的结论为“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，其中“至少有一个”的含义是存在1个及以上符合条件的角，它的反面就是1个符合条件的角都不存在，据此即可推出正确的假设内容。
【解析】
反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题原命题的结论为“至少有一个内角是钝角或直角”，“至少有1个”的否定为“1个都没有”，因此第一步应假设“一个四边形中没有一个内角是钝角或直角”，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，核心是准确掌握常见逻辑表述的否定形式，比如“至少有n个”的否定为“至多有(n-1)个”，本题n=1，因此否定就是0个，即不存在符合条件的角，属于基础概念类考题，掌握反证法的基本原理即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
4. 如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC相等，且∠BCE=120°。若CD的长度为60 cm，则此时B，D两点之间的距离为（
A.30 cm
B.60 cm
C.65 cm
D.70 cm
B
）A.30 cm
B.60 cm
C.65 cm
D.70 cm
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知CD=BC=60cm，∠BCE=120°，要求B、D两点的距离，可先连接BD构造三角形。首先利用平角的性质计算出∠BCD的度数，再结合BC=CD的等腰三角形条件，判断三角形的形状，即可得到BD的长度。
【解析】
解：连接BD，
∵ ∠BCE=120°，∠BCE和∠BCD组成平角，
∴ ∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°，
又
∵ BC=CD，CD=60cm，
∴ BC=CD=60cm，
∴ △BCD是有一个内角为60°的等腰三角形，即△BCD是等边三角形，
∴ BD=BC=CD=60cm，即B、D两点之间的距离为60cm。
【答案】
B
【知识点】
平角的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，解题核心是通过构造三角形，结合已知的边相等和角度条件判定等边三角形，进而得到对应边的长度，解题时要注意邻补角的角度计算不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：已知CD=BC=60cm，∠BCE=120°，要求B、D两点的距离，可先连接BD构造三角形。首先利用平角的性质计算出∠BCD的度数，再结合BC=CD的等腰三角形条件，判断三角形的形状，即可得到BD的长度。
【解析】
解：连接BD，
∵ ∠BCE=120°，∠BCE和∠BCD组成平角，
∴ ∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°，
又
∵ BC=CD，CD=60cm，
∴ BC=CD=60cm，
∴ △BCD是有一个内角为60°的等腰三角形，即△BCD是等边三角形，
∴ BD=BC=CD=60cm，即B、D两点之间的距离为60cm。
【答案】
B
【知识点】
平角的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，解题核心是通过构造三角形，结合已知的边相等和角度条件判定等边三角形，进而得到对应边的长度，解题时要注意邻补角的角度计算不要出错。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,点E在边AB上,且BE=BD,则图中等腰三角形有 (
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B
)A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
5.B
解析
【分析】
要找出图中的等腰三角形，核心是利用等腰三角形“等角对等边”的判定定理，结合已知条件逐步推导各角的度数，逐个验证：首先从AB=AC确定第一个等腰三角形，算出底角的度数；再根据角平分线的性质得到平分后的角的度数，判断△ABD、△BDC是否为等腰三角形；最后结合BE=BD的条件，推导边的等量关系，判断剩余的等腰三角形即可。
【解析】
解：① 已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，
根据三角形内角和，得∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)÷2=(180°-36°)÷2=72°。
②
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，△ABD是等腰三角形。
③ 在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠ACB=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠ACB，
∴BD=BC，△BDC是等腰三角形。
④ 已知BE=BD，结合步骤③的结论BD=BC，得BE=BC，
因此△BCE中BE=BC，△BCE是等腰三角形。
综上，图中共有4个等腰三角形，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形的基础应用题，解题的关键是逐步推导角的等量关系，再对应得到边的等量关系，做题时注意不要多算图中没有对应边的三角形，也不要漏看隐含的边相等关系。
【难度系数】
0.65
要找出图中的等腰三角形，核心是利用等腰三角形“等角对等边”的判定定理，结合已知条件逐步推导各角的度数，逐个验证：首先从AB=AC确定第一个等腰三角形，算出底角的度数；再根据角平分线的性质得到平分后的角的度数，判断△ABD、△BDC是否为等腰三角形；最后结合BE=BD的条件，推导边的等量关系，判断剩余的等腰三角形即可。
【解析】
解：① 已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，
根据三角形内角和，得∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)÷2=(180°-36°)÷2=72°。
②
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，△ABD是等腰三角形。
③ 在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠ACB=180°-36°-72°=72°，
∴∠BDC=∠ACB，
∴BD=BC，△BDC是等腰三角形。
④ 已知BE=BD，结合步骤③的结论BD=BC，得BE=BC，
因此△BCE中BE=BC，△BCE是等腰三角形。
综上，图中共有4个等腰三角形，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形的基础应用题，解题的关键是逐步推导角的等量关系，再对应得到边的等量关系，做题时注意不要多算图中没有对应边的三角形，也不要漏看隐含的边相等关系。
【难度系数】
0.65
6. 如图,在第1个$△ A_{1}BC$中,$∠ B=30°,A_{1}B=CB$;在边$A_{1}B$上任取一点$D$,延长$CA_{1}$到点$A_{2}$,使$A_{1}A_{2}=A_{1}D$,得到第2个$△ A_{1}A_{2}D$;在边$A_{2}D$上任取一点$E$,延长$A_{1}A_{2}$到点$A_{3}$,使$A_{2}A_{3}=A_{2}E$,得到第3个$△ A_{2}A_{3}E$;$···$;按此做法继续下去,则第$n$个三角形中以$A_{n}$为顶点的底角度数是 (
A.$(\dfrac{1}{2})^{n-2} · 75°$
B.$(\dfrac{1}{2})^{n-1} · 75°$
C.$(\dfrac{1}{2})^{n} · 75°$
D.$(\dfrac{1}{2})^{n+1} · 75°$
B
)A.$(\dfrac{1}{2})^{n-2} · 75°$
B.$(\dfrac{1}{2})^{n-1} · 75°$
C.$(\dfrac{1}{2})^{n} · 75°$
D.$(\dfrac{1}{2})^{n+1} · 75°$
答案
6.B
解析
【分析】
首先利用等腰三角形等边对等角的性质与三角形内角和定理，求出第一个△A₁BC的底角∠BA₁C的度数；再结合三角形外角的性质，依次计算第2、3个三角形中以A₂、A₃为顶点的底角度数，总结角度变化的规律，最终推导得到第n个三角形中对应底角的表达式。
【解析】
1. 在△A₁BC中，已知A₁B=CB，∠B=30°，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，可得：
$∠ BA_{1}C=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
2. 第2个△A₁A₂D中，$A_{1}A_{2}=A_{1}D$，因此△A₁A₂D为等腰三角形，$∠ A_{1}A_{2}D=∠ A_{1}DA_{2}$。
又因为$∠ BA_{1}C$是△A₁A₂D的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可得$∠ BA_{1}C=2∠ A_{1}A_{2}D$，因此：
$∠ A_{1}A_{2}D=\frac{∠ BA_{1}C}{2}=75°×(\frac{1}{2})^{1}$
3. 第3个△A₂A₃E中，同理可得$A_{2}A_{3}=A_{2}E$，$∠ A_{1}A_{2}D=2∠ A_{2}A_{3}E$，因此：
$∠ A_{2}A_{3}E=\frac{∠ A_{1}A_{2}D}{2}=75°×(\frac{1}{2})^{2}$
4. 以此类推，第n个三角形中以$A_{n}$为顶点的底角度数为$75°×(\frac{1}{2})^{n-1}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，规律探究
【点评】
本题是等腰三角形性质与规律探究结合的典型习题，核心是熟练运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角性质，通过计算前几个特殊角的度数归纳出通用规律，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先利用等腰三角形等边对等角的性质与三角形内角和定理，求出第一个△A₁BC的底角∠BA₁C的度数；再结合三角形外角的性质，依次计算第2、3个三角形中以A₂、A₃为顶点的底角度数，总结角度变化的规律，最终推导得到第n个三角形中对应底角的表达式。
【解析】
1. 在△A₁BC中，已知A₁B=CB，∠B=30°，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，可得：
$∠ BA_{1}C=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
2. 第2个△A₁A₂D中，$A_{1}A_{2}=A_{1}D$，因此△A₁A₂D为等腰三角形，$∠ A_{1}A_{2}D=∠ A_{1}DA_{2}$。
又因为$∠ BA_{1}C$是△A₁A₂D的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可得$∠ BA_{1}C=2∠ A_{1}A_{2}D$，因此：
$∠ A_{1}A_{2}D=\frac{∠ BA_{1}C}{2}=75°×(\frac{1}{2})^{1}$
3. 第3个△A₂A₃E中，同理可得$A_{2}A_{3}=A_{2}E$，$∠ A_{1}A_{2}D=2∠ A_{2}A_{3}E$，因此：
$∠ A_{2}A_{3}E=\frac{∠ A_{1}A_{2}D}{2}=75°×(\frac{1}{2})^{2}$
4. 以此类推，第n个三角形中以$A_{n}$为顶点的底角度数为$75°×(\frac{1}{2})^{n-1}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，规律探究
【点评】
本题是等腰三角形性质与规律探究结合的典型习题，核心是熟练运用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角性质，通过计算前几个特殊角的度数归纳出通用规律，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
