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4. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, $∠ BAC=30°$.
(1)尺规作图:作$∠ ABC$的平分线,交AC于点D;(保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)求证:点D在线段AB的垂直平分线上.
(1)尺规作图:作$∠ ABC$的平分线,交AC于点D;(保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)求证:点D在线段AB的垂直平分线上.
答案
(1)解:略.
(2)证明:在Rt△ABC中,
∵∠C=90°,∠BAC=30°,
∴∠CBA=90°−∠A=60°.
∵BD平分∠CBA,
∴∠DBA=1/2∠CBA=30°.
∴∠DBA=∠A.
∴DB=DA.
∴点D在线段AB的垂直平分线上.
(2)证明:在Rt△ABC中,
∵∠C=90°,∠BAC=30°,
∴∠CBA=90°−∠A=60°.
∵BD平分∠CBA,
∴∠DBA=1/2∠CBA=30°.
∴∠DBA=∠A.
∴DB=DA.
∴点D在线段AB的垂直平分线上.
解析
【分析】
(1) 第一问考查角平分线的尺规作图，按照角平分线的标准作图步骤操作即可：以点B为圆心取合适长度为半径画弧，分别交BA、BC于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部的交点与B连接，射线交AC于D，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问要证明点D在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明DB=DA即可。先利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义推出∠ABD=∠BAC，通过等角对等边得到DB=DA，即可得证。
【解析】
(1) 按角平分线尺规作图方法作出BD，标注点D，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：在$Rt△ ABC$ 中，
$\because ∠C=90°,∠BAC=30°$，
$\therefore ∠CBA=90°-∠A=60°$，
$\because BD$平分$∠CBA$，
$\therefore ∠DBA=\frac{1}{2}∠CBA=30°$，
$\therefore ∠DBA=∠A$，
$\therefore DB=DA$，
$\therefore$点D在线段AB的垂直平分线上。
【答案】
(1) 略（需保留作图痕迹，标明点D）；
(2) 证明如上，点D在线段AB的垂直平分线上。
【知识点】
角平分线尺规作图，等腰三角形判定，线段垂直平分线判定
【点评】
本题是基础的作图与证明结合题型，既考查了基本尺规作图的操作技能，也考查了几何逻辑推导能力，解题核心是熟练掌握相关定理，能通过角度的等量关系推导得到边的等量关系。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问考查角平分线的尺规作图，按照角平分线的标准作图步骤操作即可：以点B为圆心取合适长度为半径画弧，分别交BA、BC于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部的交点与B连接，射线交AC于D，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问要证明点D在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明DB=DA即可。先利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义推出∠ABD=∠BAC，通过等角对等边得到DB=DA，即可得证。
【解析】
(1) 按角平分线尺规作图方法作出BD，标注点D，保留作图痕迹即可。
(2) 证明：在$Rt△ ABC$ 中，
$\because ∠C=90°,∠BAC=30°$，
$\therefore ∠CBA=90°-∠A=60°$，
$\because BD$平分$∠CBA$，
$\therefore ∠DBA=\frac{1}{2}∠CBA=30°$，
$\therefore ∠DBA=∠A$，
$\therefore DB=DA$，
$\therefore$点D在线段AB的垂直平分线上。
【答案】
(1) 略（需保留作图痕迹，标明点D）；
(2) 证明如上，点D在线段AB的垂直平分线上。
【知识点】
角平分线尺规作图，等腰三角形判定，线段垂直平分线判定
【点评】
本题是基础的作图与证明结合题型，既考查了基本尺规作图的操作技能，也考查了几何逻辑推导能力，解题核心是熟练掌握相关定理，能通过角度的等量关系推导得到边的等量关系。
【难度系数】
0.75
5. 如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,已知格点O和格点△ABC(顶点均是网格线的交点).
(1)以点O为对称中心,作出△ABC的中心对称图形△A'B'C';
(2)借助网格仅用无刻度的直尺,过点A作线段BC的垂线.(不要求写作法,保留作图痕迹)
(1)以点O为对称中心,作出△ABC的中心对称图形△A'B'C';
(2)借助网格仅用无刻度的直尺,过点A作线段BC的垂线.(不要求写作法,保留作图痕迹)
答案
解:(1)略. (2)略.
解析
【分析】
(1)作中心对称图形的核心是利用中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。我们只需要先找到△ABC三个顶点A、B、C关于点O的对称点，再顺次连接三个对称点即可得到所求图形。
(2)作BC的垂线时，可先观察BC在网格中的倾斜程度：BC横向移动4格、纵向移动1格，结合网格特点，利用直角三角形直角边垂直的特征，找到过点A且与BC垂直的格点连线，即可画出所求垂线。
【解析】
(1)①分别连接AO、BO、CO并延长，在各线段的延长线上分别截取OA'=OA、OB'=OB、OC'=OC，得到点A、B、C的对应点A'、B'、C'；
②顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，△A'B'C'即为所求作的△ABC关于点O的中心对称图形。
(2)观察BC的走向：从B到C向右平移4格，向下平移1格，其垂线的走向为向右平移1格，向上平移4格（或对应反向），在网格中找到满足该走向且经过点A的格点，连接该格点与点A，所得线段即为BC的垂线，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1)略；
(2)略。
【知识点】
中心对称作图，垂线的画法，格点作图
【点评】
本题属于基础操作类题目，重点考查对中心对称性质的理解和垂线特征的应用，结合网格的特殊性可以快速定位作图方向，能够有效检验学生的动手操作能力和几何直观素养。
【难度系数】
0.7
(1)作中心对称图形的核心是利用中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。我们只需要先找到△ABC三个顶点A、B、C关于点O的对称点，再顺次连接三个对称点即可得到所求图形。
(2)作BC的垂线时，可先观察BC在网格中的倾斜程度：BC横向移动4格、纵向移动1格，结合网格特点，利用直角三角形直角边垂直的特征，找到过点A且与BC垂直的格点连线，即可画出所求垂线。
【解析】
(1)①分别连接AO、BO、CO并延长，在各线段的延长线上分别截取OA'=OA、OB'=OB、OC'=OC，得到点A、B、C的对应点A'、B'、C'；
②顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，△A'B'C'即为所求作的△ABC关于点O的中心对称图形。
(2)观察BC的走向：从B到C向右平移4格，向下平移1格，其垂线的走向为向右平移1格，向上平移4格（或对应反向），在网格中找到满足该走向且经过点A的格点，连接该格点与点A，所得线段即为BC的垂线，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1)略；
(2)略。
【知识点】
中心对称作图，垂线的画法，格点作图
【点评】
本题属于基础操作类题目，重点考查对中心对称性质的理解和垂线特征的应用，结合网格的特殊性可以快速定位作图方向，能够有效检验学生的动手操作能力和几何直观素养。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=3,BC=1$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点$B$作$AC$的垂线$BD$(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求$CD$的长.
(1)请用无刻度的直尺和圆规过点$B$作$AC$的垂线$BD$(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求$CD$的长.
答案
解:(1)略.
(2)设CD=x,则AD=3−x,在Rt△BCD和Rt△ABD中,由勾股定理,得BD²=BC²−CD²=AB²−AD²,即1²−x²=3²−(3−x)²,解得x=1/6. 故CD的长为1/6.
(2)设CD=x,则AD=3−x,在Rt△BCD和Rt△ABD中,由勾股定理,得BD²=BC²−CD²=AB²−AD²,即1²−x²=3²−(3−x)²,解得x=1/6. 故CD的长为1/6.
解析
【分析】
(1) 第一问是尺规作图题，需使用“过直线外一点作已知直线的垂线”的标准尺规作图方法操作，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问求CD长度，观察可得BD是Rt△BCD和Rt△ABD的公共直角边，因此可以设CD长为x，用含x的式子表示出AD的长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示BD²，根据两个表达式相等建立方程，解方程即可得到CD的长度。
【解析】
(1) 作图略，需保留尺规作图痕迹，满足BD⊥AC，垂足为D。
(2) 设$CD=x$，已知$AC=3$，因此$AD=AC-CD=3-x$。
因为$BD⊥AC$，所以$△ BCD$和$△ ABD$都是直角三角形。
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：$BD^2=BC^2-CD^2=1^2-x^2$；
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$BD^2=AB^2-AD^2=3^2-(3-x)^2$。
联立两个等式得：$1^2 - x^2 = 3^2 - (3 - x)^2$
展开计算：
$1 - x^2 = 9 - (9 - 6x + x^2)$
$1 - x^2 = 6x - x^2$
化简得$6x=1$，解得$x=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 作图略；(2) $CD$的长为$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 尺规作垂线
2. 勾股定理
3. 方程法求线段长
【点评】
本题结合了尺规作图与勾股定理的应用，既考查了基础的几何作图技能，又要求能灵活利用公共边作为桥梁，通过勾股定理建立方程求解未知线段，是几何基础应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是尺规作图题，需使用“过直线外一点作已知直线的垂线”的标准尺规作图方法操作，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问求CD长度，观察可得BD是Rt△BCD和Rt△ABD的公共直角边，因此可以设CD长为x，用含x的式子表示出AD的长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示BD²，根据两个表达式相等建立方程，解方程即可得到CD的长度。
【解析】
(1) 作图略，需保留尺规作图痕迹，满足BD⊥AC，垂足为D。
(2) 设$CD=x$，已知$AC=3$，因此$AD=AC-CD=3-x$。
因为$BD⊥AC$，所以$△ BCD$和$△ ABD$都是直角三角形。
在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：$BD^2=BC^2-CD^2=1^2-x^2$；
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$BD^2=AB^2-AD^2=3^2-(3-x)^2$。
联立两个等式得：$1^2 - x^2 = 3^2 - (3 - x)^2$
展开计算：
$1 - x^2 = 9 - (9 - 6x + x^2)$
$1 - x^2 = 6x - x^2$
化简得$6x=1$，解得$x=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 作图略；(2) $CD$的长为$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 尺规作垂线
2. 勾股定理
3. 方程法求线段长
【点评】
本题结合了尺规作图与勾股定理的应用，既考查了基础的几何作图技能，又要求能灵活利用公共边作为桥梁，通过勾股定理建立方程求解未知线段，是几何基础应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
