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1. 为了给学生提供更丰富、更营养的早餐. 某校食堂窗口增加了豆浆,有小杯豆浆和大杯豆浆供学生选择. 已知小杯豆浆的实际容积为190 mL,大杯豆浆的实际容积为240 mL. 某天,九年级一班的学生购买了这两种豆浆共50杯,这些豆浆的总量为10 000 mL.
(1)九年级一班的学生购买小杯豆浆和大杯豆浆各多少杯.
(2)若小杯豆浆每杯售价为1.5元,大杯豆浆每杯售价为2元,这天食堂共售出这两种豆浆300杯,如果食堂豆浆的销售额不低于500元,则大杯豆浆至少出售了多少杯.
(1)九年级一班的学生购买小杯豆浆和大杯豆浆各多少杯.
(2)若小杯豆浆每杯售价为1.5元,大杯豆浆每杯售价为2元,这天食堂共售出这两种豆浆300杯,如果食堂豆浆的销售额不低于500元,则大杯豆浆至少出售了多少杯.
答案
(1)解:设九年级一班的学生购买小杯豆浆x杯,购买大杯豆浆y杯,根据题意,得$\begin{cases} x+y=50, \\ 190x+240y=10\ 000, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=40, \\ y=10. \end{cases}$答:九年级一班的学生购买小杯豆浆40杯,大杯豆浆10杯.
(2)设大杯豆浆出售了m杯,根据题意,得$2m+1.5(300-m)≥ 500$,解得$m≥ 100$.答:大杯豆浆至少出售了100杯.
(2)设大杯豆浆出售了m杯,根据题意,得$2m+1.5(300-m)≥ 500$,解得$m≥ 100$.答:大杯豆浆至少出售了100杯.
解析
【分析】
（1）第一问是二元一次方程组的实际应用，首先提取两个核心等量关系：一是小杯豆浆杯数加大杯豆浆杯数等于总杯数50杯；二是小杯豆浆总容积加大杯豆浆总容积等于总容积10000mL。设小杯、大杯豆浆的购买数量为两个未知数，代入等量关系列出方程组求解即可。
（2）第二问是一元一次不等式的实际应用，核心不等关系为总销售额不低于500元，即总销售额≥500元。设大杯豆浆售出m杯，则小杯豆浆售出(300-m)杯，根据“单价×数量=总价”分别表示两种豆浆的销售额，相加后列不等式求解，所得的最小正整数解即为所求。
【解析】
(1) 解：设九年级一班的学生购买小杯豆浆x杯，购买大杯豆浆y杯，
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y=50 \\ 190x+240y=10\ 000 \end{cases}$
将$x=50-y$代入第二个方程，得$190(50-y)+240y=10000$，
计算得$9500+50y=10000$，解得$y=10$，则$x=50-10=40$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=40 \\ y=10 \end{cases}$。
答：九年级一班的学生购买小杯豆浆40杯，大杯豆浆10杯。
(2) 解：设大杯豆浆出售了m杯，则小杯豆浆出售了$(300-m)$杯，
根据题意列不等式：
$2m+1.5(300-m)≥ 500$
展开计算得$0.5m+450≥500$，解得$m≥100$，
m为正整数，因此m的最小值为100。
答：大杯豆浆至少出售了100杯。
【答案】
(1) 购买小杯豆浆40杯，大杯豆浆10杯；
(2) 大杯豆浆至少出售了100杯。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查学生提取数量关系、建立方程或不等式模型解决实际问题的能力，解题关键是找准题干中的等量关系和不等关系，正确列式计算。
【难度系数】
0.75
（1）第一问是二元一次方程组的实际应用，首先提取两个核心等量关系：一是小杯豆浆杯数加大杯豆浆杯数等于总杯数50杯；二是小杯豆浆总容积加大杯豆浆总容积等于总容积10000mL。设小杯、大杯豆浆的购买数量为两个未知数，代入等量关系列出方程组求解即可。
（2）第二问是一元一次不等式的实际应用，核心不等关系为总销售额不低于500元，即总销售额≥500元。设大杯豆浆售出m杯，则小杯豆浆售出(300-m)杯，根据“单价×数量=总价”分别表示两种豆浆的销售额，相加后列不等式求解，所得的最小正整数解即为所求。
【解析】
(1) 解：设九年级一班的学生购买小杯豆浆x杯，购买大杯豆浆y杯，
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y=50 \\ 190x+240y=10\ 000 \end{cases}$
将$x=50-y$代入第二个方程，得$190(50-y)+240y=10000$，
计算得$9500+50y=10000$，解得$y=10$，则$x=50-10=40$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=40 \\ y=10 \end{cases}$。
答：九年级一班的学生购买小杯豆浆40杯，大杯豆浆10杯。
(2) 解：设大杯豆浆出售了m杯，则小杯豆浆出售了$(300-m)$杯，
根据题意列不等式：
$2m+1.5(300-m)≥ 500$
展开计算得$0.5m+450≥500$，解得$m≥100$，
m为正整数，因此m的最小值为100。
答：大杯豆浆至少出售了100杯。
【答案】
(1) 购买小杯豆浆40杯，大杯豆浆10杯；
(2) 大杯豆浆至少出售了100杯。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查学生提取数量关系、建立方程或不等式模型解决实际问题的能力，解题关键是找准题干中的等量关系和不等关系，正确列式计算。
【难度系数】
0.75
2. 水晶饼是陕西著名的传统糕点，具有“金面银帮，起皮掉酥”的外观特征. 小江和小红各经营一家超市，1月两人从同一生产厂家以每件相同的价格购进水晶饼进行出售，小红用1 500元购进的水晶饼件数比小江用1 200元购进的件数多12件.
(1)求1月小江、小红购进水晶饼的价格；
(2)2月，这种水晶饼的单价降至$a$元/件$(a＞0)$，两人均决定再次购进这种水晶饼，并且与1月相比，两人购进水晶饼的总价均不变. 比较小江两次购进水晶饼的平均单价与小红两次购进水晶饼的平均单价的大小.
(1)求1月小江、小红购进水晶饼的价格；
(2)2月，这种水晶饼的单价降至$a$元/件$(a＞0)$，两人均决定再次购进这种水晶饼，并且与1月相比，两人购进水晶饼的总价均不变. 比较小江两次购进水晶饼的平均单价与小红两次购进水晶饼的平均单价的大小.
答案
(1)解:设1月小江、小红购进水晶饼的价格是每件x元,由题意,得$\frac{1\ 500}{x}-\frac{1\ 200}{x}=12$,解得$x=25$.经检验,$x=25$是原方程的解,且符合题意. 答:1月小江、小红购进水晶饼的价格是每件25元.
(2)由题意可知,小江两次购进水晶饼的数量为$(\frac{1\ 200}{25}+\frac{1\ 200}{a})$件,即$(48+\frac{1\ 200}{a})$件,小红两次购进水晶饼的数量为$(\frac{1\ 500}{25}+\frac{1\ 500}{a})$件,即$(60+\frac{1\ 500}{a})$件,则小江两次购进水晶饼的平均单价为$\frac{1\ 200+1\ 200}{48+\frac{1\ 200}{a}}=\frac{50a}{a+25}$(元),小红两次购进水晶饼的平均单价为$\frac{1\ 500+1\ 500}{60+\frac{1\ 500}{a}}=\frac{50a}{a+25}$(元),
∴ 小江两次购进水晶饼的平均单价=小红两次购进水晶饼的平均单价.
(2)由题意可知,小江两次购进水晶饼的数量为$(\frac{1\ 200}{25}+\frac{1\ 200}{a})$件,即$(48+\frac{1\ 200}{a})$件,小红两次购进水晶饼的数量为$(\frac{1\ 500}{25}+\frac{1\ 500}{a})$件,即$(60+\frac{1\ 500}{a})$件,则小江两次购进水晶饼的平均单价为$\frac{1\ 200+1\ 200}{48+\frac{1\ 200}{a}}=\frac{50a}{a+25}$(元),小红两次购进水晶饼的平均单价为$\frac{1\ 500+1\ 500}{60+\frac{1\ 500}{a}}=\frac{50a}{a+25}$(元),
∴ 小江两次购进水晶饼的平均单价=小红两次购进水晶饼的平均单价.
解析
【分析】
(1) 第一问是分式方程的实际应用，核心等量关系为：小红用1500元购进的水晶饼件数减去小江用1200元购进的水晶饼件数等于12件。我们设购进单价为未知数，分别表示两人的购进件数即可列方程求解，注意分式方程必须检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问比较平均单价，首先明确平均单价=两次购进总金额÷两次购进总数量，分别计算两人两次购进的总金额、总数量，代入公式求出平均单价，化简后即可比较大小。
【解析】
(1) 解：设1月小江、小红购进水晶饼的价格是每件$x$元。
由题意得：$\frac{1\ 500}{x}-\frac{1\ 200}{x}=12$
合并得$\frac{300}{x}=12$，解得$x=25$。
检验：当$x=25$时，$x≠0$，所以$x=25$是原方程的解，且符合题意。
(2) 小江两次购进总金额为$1200+1200=2400$元，总数量为$\frac{1200}{25}+\frac{1200}{a}=48+\frac{1200}{a}$件，
则小江的平均单价为：$\frac{2400}{48+\frac{1200}{a}}=\frac{2400a}{48a+1200}=\frac{50a}{a+25}$元/件。
小红两次购进总金额为$1500+1500=3000$元，总数量为$\frac{1500}{25}+\frac{1500}{a}=60+\frac{1500}{a}$件，
则小红的平均单价为：$\frac{3000}{60+\frac{1500}{a}}=\frac{3000a}{60a+1500}=\frac{50a}{a+25}$元/件。
因此两者平均单价相等。
【答案】
(1) 1月小江、小红购进水晶饼的价格是每件25元；
(2) 小江两次购进水晶饼的平均单价与小红两次购进水晶饼的平均单价相等。
【知识点】
分式方程的应用、分式化简、平均单价计算
【点评】
本题结合生活实际命题，既考查了分式方程的建模求解能力，也考查了分式的运算能力，解题时要注意分式方程必须验根，计算平均单价时要准确对应总金额和总数量。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是分式方程的实际应用，核心等量关系为：小红用1500元购进的水晶饼件数减去小江用1200元购进的水晶饼件数等于12件。我们设购进单价为未知数，分别表示两人的购进件数即可列方程求解，注意分式方程必须检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问比较平均单价，首先明确平均单价=两次购进总金额÷两次购进总数量，分别计算两人两次购进的总金额、总数量，代入公式求出平均单价，化简后即可比较大小。
【解析】
(1) 解：设1月小江、小红购进水晶饼的价格是每件$x$元。
由题意得：$\frac{1\ 500}{x}-\frac{1\ 200}{x}=12$
合并得$\frac{300}{x}=12$，解得$x=25$。
检验：当$x=25$时，$x≠0$，所以$x=25$是原方程的解，且符合题意。
(2) 小江两次购进总金额为$1200+1200=2400$元，总数量为$\frac{1200}{25}+\frac{1200}{a}=48+\frac{1200}{a}$件，
则小江的平均单价为：$\frac{2400}{48+\frac{1200}{a}}=\frac{2400a}{48a+1200}=\frac{50a}{a+25}$元/件。
小红两次购进总金额为$1500+1500=3000$元，总数量为$\frac{1500}{25}+\frac{1500}{a}=60+\frac{1500}{a}$件，
则小红的平均单价为：$\frac{3000}{60+\frac{1500}{a}}=\frac{3000a}{60a+1500}=\frac{50a}{a+25}$元/件。
因此两者平均单价相等。
【答案】
(1) 1月小江、小红购进水晶饼的价格是每件25元；
(2) 小江两次购进水晶饼的平均单价与小红两次购进水晶饼的平均单价相等。
【知识点】
分式方程的应用、分式化简、平均单价计算
【点评】
本题结合生活实际命题，既考查了分式方程的建模求解能力，也考查了分式的运算能力，解题时要注意分式方程必须验根，计算平均单价时要准确对应总金额和总数量。
【难度系数】
0.7
