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3. 某中学计划组织八年级师生举行“春季研学游”活动，活动组织负责人从旅游公司了解到如下租车信息：
校方从实际情况出发，决定租用A，B型客车共10辆，且两种车型都要租用. 租车费用不超过3 500元.
(1)请问校方最多租用A型客车多少辆？
(2)在(1)的条件下，校方根据自愿原则，统计发现共有360人参加本次活动，请问合理的租车方案有哪几种？最省钱的租车方式是哪一种？
校方从实际情况出发，决定租用A，B型客车共10辆，且两种车型都要租用. 租车费用不超过3 500元.
(1)请问校方最多租用A型客车多少辆？
(2)在(1)的条件下，校方根据自愿原则，统计发现共有360人参加本次活动，请问合理的租车方案有哪几种？最省钱的租车方式是哪一种？
答案
(1)解:设租用A型客车x辆,则租用B型客车$(10-x)$辆,由题意,得$400x+280(10-x)≤ 3\ 500$,解得$x≤ 5\frac{5}{6}$.
∵ 两种车型都要租用,$\therefore 1≤ x≤ 5\frac{5}{6}$.
∵ x为正整数,
∴ 校方最多租用A型客车5辆.
(2)
∵ 共有360人参加本次活动,$\therefore 50x+30(10-x)≥ 360$,解得$x≥ 3$.$\therefore 3≤ x≤ 5\frac{5}{6}$.
∴ x可取3,4,5.
∴ 有三种租车方案:①租用A型客车3辆,B型客车7辆,租车费用为$3×400+7×280=3\ 160$(元),②租用A型客车4辆,B型客车6辆,租车费用为$4×400+6×280=3\ 280$(元),③租用A型客车5辆,B型客车5辆,租车费用为$5×400+5×280=3\ 400$(元),其中最省钱的租车方式是租用A型客车3辆,B型客车7辆.
∵ 两种车型都要租用,$\therefore 1≤ x≤ 5\frac{5}{6}$.
∵ x为正整数,
∴ 校方最多租用A型客车5辆.
(2)
∵ 共有360人参加本次活动,$\therefore 50x+30(10-x)≥ 360$,解得$x≥ 3$.$\therefore 3≤ x≤ 5\frac{5}{6}$.
∴ x可取3,4,5.
∴ 有三种租车方案:①租用A型客车3辆,B型客车7辆,租车费用为$3×400+7×280=3\ 160$(元),②租用A型客车4辆,B型客车6辆,租车费用为$4×400+6×280=3\ 280$(元),③租用A型客车5辆,B型客车5辆,租车费用为$5×400+5×280=3\ 400$(元),其中最省钱的租车方式是租用A型客车3辆,B型客车7辆.
解析
【分析】
(1) 问先设租用A型客车的数量为未知数，用总车辆数减去A型车数量表示B型车数量，结合“租车总费用不超过3500元”的限制列一元一次不等式，同时注意两种车型都要租用、车辆数为正整数的隐含条件，解不等式后取最大正整数解即可得到最多租用A型车的数量。
(2) 问在(1)得到的x取值范围基础上，再根据“总载客量不少于360人”列第二个不等式，联立两个不等式得到x的有效取值范围，提取范围内的正整数即可得到所有合理租车方案，分别计算各方案的租车费用，对比后就能找到最省钱的方案。
【解析】
(1) 设租用A型客车$x$辆，则租用B型客车$(10-x)$辆，根据题意列不等式：
$400x+280(10-x) ≤ 3500$
展开整理得：$120x ≤ 700$
解得：$x ≤ 5\frac{5}{6}$
∵两种车型都要租用，
∴$1 ≤ x ≤ 5\frac{5}{6}$，且$x$为正整数
因此$x$的最大正整数值为5。
(2) 根据总载客量需求列不等式：
$50x+30(10-x) ≥ 360$
展开整理得：$20x ≥ 60$
解得：$x ≥ 3$
结合(1)的结论，得$3 ≤ x ≤ 5\frac{5}{6}$，且$x$为正整数，因此$x$可取3、4、5，对应三种方案：
① 租用A型3辆，B型7辆，费用：$3 × 400 +7 × 280=3160$元
② 租用A型4辆，B型6辆，费用：$4 × 400 +6 × 280=3280$元
③ 租用A型5辆，B型5辆，费用：$5 × 400 +5 × 280=3400$元
对比费用可知3160元最低，即租用A型3辆、B型7辆最省钱。
【答案】
(1) 校方最多租用A型客车5辆；
(2) 合理租车方案共3种：①租A型客车3辆，B型客车7辆；②租A型客车4辆，B型客车6辆；③租A型客车5辆，B型客车5辆。最省钱的租车方式是租用A型客车3辆，B型客车7辆。
【知识点】
一元一次不等式应用、方案设计、最优解选择
【点评】
本题是典型的不等式实际应用题型，结合生活中的租车场景，解题时要注意挖掘车辆数为正整数、两种车型都要租用等隐含条件，准确根据限制条件列不等式求解，再通过计算对比得到最优方案，考察学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 问先设租用A型客车的数量为未知数，用总车辆数减去A型车数量表示B型车数量，结合“租车总费用不超过3500元”的限制列一元一次不等式，同时注意两种车型都要租用、车辆数为正整数的隐含条件，解不等式后取最大正整数解即可得到最多租用A型车的数量。
(2) 问在(1)得到的x取值范围基础上，再根据“总载客量不少于360人”列第二个不等式，联立两个不等式得到x的有效取值范围，提取范围内的正整数即可得到所有合理租车方案，分别计算各方案的租车费用，对比后就能找到最省钱的方案。
【解析】
(1) 设租用A型客车$x$辆，则租用B型客车$(10-x)$辆，根据题意列不等式：
$400x+280(10-x) ≤ 3500$
展开整理得：$120x ≤ 700$
解得：$x ≤ 5\frac{5}{6}$
∵两种车型都要租用，
∴$1 ≤ x ≤ 5\frac{5}{6}$，且$x$为正整数
因此$x$的最大正整数值为5。
(2) 根据总载客量需求列不等式：
$50x+30(10-x) ≥ 360$
展开整理得：$20x ≥ 60$
解得：$x ≥ 3$
结合(1)的结论，得$3 ≤ x ≤ 5\frac{5}{6}$，且$x$为正整数，因此$x$可取3、4、5，对应三种方案：
① 租用A型3辆，B型7辆，费用：$3 × 400 +7 × 280=3160$元
② 租用A型4辆，B型6辆，费用：$4 × 400 +6 × 280=3280$元
③ 租用A型5辆，B型5辆，费用：$5 × 400 +5 × 280=3400$元
对比费用可知3160元最低，即租用A型3辆、B型7辆最省钱。
【答案】
(1) 校方最多租用A型客车5辆；
(2) 合理租车方案共3种：①租A型客车3辆，B型客车7辆；②租A型客车4辆，B型客车6辆；③租A型客车5辆，B型客车5辆。最省钱的租车方式是租用A型客车3辆，B型客车7辆。
【知识点】
一元一次不等式应用、方案设计、最优解选择
【点评】
本题是典型的不等式实际应用题型，结合生活中的租车场景，解题时要注意挖掘车辆数为正整数、两种车型都要租用等隐含条件，准确根据限制条件列不等式求解，再通过计算对比得到最优方案，考察学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为$a$ m($a＞1$)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为$(a-1)$ m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg.
(1)①“丰收1号”单位面积产量为
②哪种小麦的单位面积产量高？请说明理由；
(2)某农户试种“丰收1号”“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与试验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为450 $\mathrm{m}^2$，“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45 $\mathrm{m}^2$，若两种小麦种植后，收获的产量相同，求$a$的值.
(1)①“丰收1号”单位面积产量为
$\frac{500}{a^2-1}$
$\mathrm{kg/m}^2$，“丰收2号”单位面积产量为$\frac{500}{(a-1)^2}$
$\mathrm{kg/m}^2$（以上结果均用含$a$的式子表示）；②哪种小麦的单位面积产量高？请说明理由；
(2)某农户试种“丰收1号”“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与试验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为450 $\mathrm{m}^2$，“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45 $\mathrm{m}^2$，若两种小麦种植后，收获的产量相同，求$a$的值.
答案
(1)①$\frac{500}{a^2-1}$，$\frac{500}{(a-1)^2}$
②“丰收2号”小麦的单位面积产量高,理由如下:
∵ $a＞1$,
∴ $(a-1)^2=(a-1)(a-1)＞0$,$a^2-1=(a+1)(a-1)＞0$.
∵ $a+1＞a-1$,
∴ $a^2-1＞(a-1)^2$.
∴ $\frac{500}{a^2-1}＜\frac{500}{(a-1)^2}$,即“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
(2)根据题意,得$450· \frac{500}{a^2-1}=(450-45)· \frac{500}{(a-1)^2}$,解得$a=19$.经检验,$a=19$是原方程的解且符合题意.
∴ 若两种小麦种植后,收获的产量相同,则a的值是19.
②“丰收2号”小麦的单位面积产量高,理由如下:
∵ $a＞1$,
∴ $(a-1)^2=(a-1)(a-1)＞0$,$a^2-1=(a+1)(a-1)＞0$.
∵ $a+1＞a-1$,
∴ $a^2-1＞(a-1)^2$.
∴ $\frac{500}{a^2-1}＜\frac{500}{(a-1)^2}$,即“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
(2)根据题意,得$450· \frac{500}{a^2-1}=(450-45)· \frac{500}{(a-1)^2}$,解得$a=19$.经检验,$a=19$是原方程的解且符合题意.
∴ 若两种小麦种植后,收获的产量相同,则a的值是19.
解析
【分析】
(1)①首先明确单位面积产量=总产量÷种植面积，先分别计算两块试验田的面积：“丰收1号”面积是边长为a的正方形面积减边长为1的正方形面积，即$a^2-1$；“丰收2号”面积是边长为$(a-1)$的正方形面积，即$(a-1)^2$，再结合总产量500kg即可写出对应单位面积产量。②要比较两种小麦单位面积产量的大小，两个分式分子相同均为正数，只需比较分母大小即可，结合$a＞1$的条件，通过因式分解比较$a^2-1$和$(a-1)^2$的大小，即可得到分式的大小关系。(2)首先分别表示出两种小麦的总产量，根据“收获产量相同”列分式方程，解方程后检验根是否符合题意即可求出a的值。
【解析】
(1)①“丰收1号”试验田面积为$(a^2 - 1)\mathrm{m}^2$，因此单位面积产量为$\frac{500}{a^2-1}\mathrm{kg/m^2}$；“丰收2号”试验田面积为$(a-1)^2\mathrm{m}^2$，因此单位面积产量为$\frac{500}{(a-1)^2}\mathrm{kg/m^2}$。
②“丰收2号”小麦的单位面积产量高，理由如下：
∵$a＞1$，
∴$(a-1)^2=(a-1)(a-1)＞0$，$a^2-1=(a+1)(a-1)＞0$，
∵$a+1 ＞ a-1$，两边同乘正数$(a-1)$可得$(a+1)(a-1) ＞ (a-1)(a-1)$，即$a^2-1 ＞ (a-1)^2$，
分子相同的正分数，分母越大分数值越小，因此$\frac{500}{a^2-1} ＜ \frac{500}{(a-1)^2}$，故“丰收2号”单位面积产量更高。
(2)根据题意，“丰收2号”种植面积为$450-45=405\mathrm{m^2}$，两种小麦产量相同，可列方程：
$450× \frac{500}{a^2-1} = 405× \frac{500}{(a-1)^2}$
两边同时约去500，将$a^2-1$因式分解为$(a+1)(a-1)$，得：
$\frac{450}{(a+1)(a-1)} = \frac{405}{(a-1)^2}$
∵$a＞1$，故$a-1≠0$，两边同乘$(a+1)(a-1)^2$去分母得：
$450(a-1) = 405(a+1)$
展开得：$450a - 450 = 405a + 405$
移项合并同类项得：$45a = 855$
解得：$a=19$
经检验，$a=19$时原方程分母不为0，符合题意。
【答案】
(1)①$\frac{500}{a^2-1}$，$\frac{500}{(a-1)^2}$；②“丰收2号”小麦的单位面积产量高，理由见解析；(2)$a=19$
【知识点】
分式的实际应用，分式大小比较，分式方程求解
【点评】
本题结合实际种植场景考查分式相关知识，解题的核心是正确理解单位面积产量的计算方法，根据数量关系列式或建立方程，求解分式方程时注意要检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1)①首先明确单位面积产量=总产量÷种植面积，先分别计算两块试验田的面积：“丰收1号”面积是边长为a的正方形面积减边长为1的正方形面积，即$a^2-1$；“丰收2号”面积是边长为$(a-1)$的正方形面积，即$(a-1)^2$，再结合总产量500kg即可写出对应单位面积产量。②要比较两种小麦单位面积产量的大小，两个分式分子相同均为正数，只需比较分母大小即可，结合$a＞1$的条件，通过因式分解比较$a^2-1$和$(a-1)^2$的大小，即可得到分式的大小关系。(2)首先分别表示出两种小麦的总产量，根据“收获产量相同”列分式方程，解方程后检验根是否符合题意即可求出a的值。
【解析】
(1)①“丰收1号”试验田面积为$(a^2 - 1)\mathrm{m}^2$，因此单位面积产量为$\frac{500}{a^2-1}\mathrm{kg/m^2}$；“丰收2号”试验田面积为$(a-1)^2\mathrm{m}^2$，因此单位面积产量为$\frac{500}{(a-1)^2}\mathrm{kg/m^2}$。
②“丰收2号”小麦的单位面积产量高，理由如下：
∵$a＞1$，
∴$(a-1)^2=(a-1)(a-1)＞0$，$a^2-1=(a+1)(a-1)＞0$，
∵$a+1 ＞ a-1$，两边同乘正数$(a-1)$可得$(a+1)(a-1) ＞ (a-1)(a-1)$，即$a^2-1 ＞ (a-1)^2$，
分子相同的正分数，分母越大分数值越小，因此$\frac{500}{a^2-1} ＜ \frac{500}{(a-1)^2}$，故“丰收2号”单位面积产量更高。
(2)根据题意，“丰收2号”种植面积为$450-45=405\mathrm{m^2}$，两种小麦产量相同，可列方程：
$450× \frac{500}{a^2-1} = 405× \frac{500}{(a-1)^2}$
两边同时约去500，将$a^2-1$因式分解为$(a+1)(a-1)$，得：
$\frac{450}{(a+1)(a-1)} = \frac{405}{(a-1)^2}$
∵$a＞1$，故$a-1≠0$，两边同乘$(a+1)(a-1)^2$去分母得：
$450(a-1) = 405(a+1)$
展开得：$450a - 450 = 405a + 405$
移项合并同类项得：$45a = 855$
解得：$a=19$
经检验，$a=19$时原方程分母不为0，符合题意。
【答案】
(1)①$\frac{500}{a^2-1}$，$\frac{500}{(a-1)^2}$；②“丰收2号”小麦的单位面积产量高，理由见解析；(2)$a=19$
【知识点】
分式的实际应用，分式大小比较，分式方程求解
【点评】
本题结合实际种植场景考查分式相关知识，解题的核心是正确理解单位面积产量的计算方法，根据数量关系列式或建立方程，求解分式方程时注意要检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
