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5. 为响应国家“双碳”战略,某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究. 数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能源汽车进行使用费用对比分析,探究其经济性差异.信息如下表所示:
据调查,燃油汽车的每千米行驶费用比新能源汽车多0.6元,燃油汽车和新能源汽车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.
(1)用含a的代数式表示新能源汽车的每千米行驶费用;
(2)分别求出燃油汽车和新能源汽车的每千米行驶费用;
(3)每年行驶里程满足什么条件时,买新能源汽车的年费用比燃油汽车的年费用更低? (年费用=年行驶费用+年其他费用)
据调查,燃油汽车的每千米行驶费用比新能源汽车多0.6元,燃油汽车和新能源汽车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.
(1)用含a的代数式表示新能源汽车的每千米行驶费用;
(2)分别求出燃油汽车和新能源汽车的每千米行驶费用;
(3)每年行驶里程满足什么条件时,买新能源汽车的年费用比燃油汽车的年费用更低? (年费用=年行驶费用+年其他费用)
答案
(1)新能源汽车的每千米行驶费用为$\frac{50×1}{\frac{a}{2}}=\frac{100}{a}$(元).
(2)由题意,得$\frac{50×8}{a}-\frac{100}{a}=0.6$,解得$a=500$.经检验,$a=500$是原分式方程的解,且符合题意.
∴ $\frac{50×8}{a}=\frac{50×8}{500}=0.8$(元),$\frac{100}{a}=\frac{100}{500}=0.2$(元).答:燃油汽车的每千米行驶费用为0.8元,新能源汽车的每千米行驶费用为0.2元.
(3)设每年行驶里程为x km,由题意,得$0.8x+4\ 800＞0.2x+7\ 500$,解得$x＞4\ 500$.答:当每年行驶里程大于4 500 km时,买新能源汽车的年费用比燃油汽车的年费用更低.
(2)由题意,得$\frac{50×8}{a}-\frac{100}{a}=0.6$,解得$a=500$.经检验,$a=500$是原分式方程的解,且符合题意.
∴ $\frac{50×8}{a}=\frac{50×8}{500}=0.8$(元),$\frac{100}{a}=\frac{100}{500}=0.2$(元).答:燃油汽车的每千米行驶费用为0.8元,新能源汽车的每千米行驶费用为0.2元.
(3)设每年行驶里程为x km,由题意,得$0.8x+4\ 800＞0.2x+7\ 500$,解得$x＞4\ 500$.答:当每年行驶里程大于4 500 km时,买新能源汽车的年费用比燃油汽车的年费用更低.
解析
【分析】
(1) 求新能源汽车每千米行驶费用，先计算新能源汽车满电的总能源费用，再除以满电续航里程，用“总费用÷总里程”即可得到每千米行驶费用。
(2) 先类比第一问的方法，用含a的代数式表示出燃油汽车的每千米行驶费用，再根据“燃油汽车每千米行驶费用比新能源汽车多0.6元”的等量关系列分式方程，求解a后代入计算两种车的每千米费用即可，注意分式方程需要检验根是否符合题意。
(3) 设每年行驶里程为x km，分别表示出两种车的年费用（年费用=每千米行驶费用×年行驶里程+年其他费用），根据“新能源汽车年费用更低”列不等式，求解得到x的取值范围即可。
【解析】
(1) 新能源汽车满电总费用为$50×1=50$元，满电续航里程为$\frac{a}{2}$km，
因此每千米行驶费用为$\frac{50}{\frac{a}{2}}=\frac{100}{a}$（元）。
(2) 燃油汽车满油总费用为$50×8=400$元，满油续航里程为a km，因此燃油汽车每千米行驶费用为$\frac{400}{a}$元。
根据题意列方程：$\frac{400}{a}-\frac{100}{a}=0.6$，
化简得$\frac{300}{a}=0.6$，解得$a=500$。
经检验，$a=500$是原分式方程的解，且符合实际意义。
代入计算得：燃油汽车每千米行驶费用为$\frac{400}{500}=0.8$（元），
新能源汽车每千米行驶费用为$\frac{100}{500}=0.2$（元）。
(3) 设每年行驶里程为x km，
燃油汽车年费用为$(0.8x+4800)$元，新能源汽车年费用为$(0.2x+7500)$元，
根据新能源汽车年费用更低列不等式：
$0.8x+4800＞0.2x+7500$，
移项合并得$0.6x＞2700$，
解得$x＞4500$。
【答案】
(1) $\frac{100}{a}$元；
(2) 燃油汽车每千米行驶费用为0.8元，新能源汽车每千米行驶费用为0.2元；
(3) 当每年行驶里程大于4500 km时，买新能源汽车的年费用比燃油汽车更低。
【知识点】
列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活中汽车经济性对比的实际场景命题，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题关键是理清各类费用的数量关系，同时要注意分式方程求解后需要检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 求新能源汽车每千米行驶费用，先计算新能源汽车满电的总能源费用，再除以满电续航里程，用“总费用÷总里程”即可得到每千米行驶费用。
(2) 先类比第一问的方法，用含a的代数式表示出燃油汽车的每千米行驶费用，再根据“燃油汽车每千米行驶费用比新能源汽车多0.6元”的等量关系列分式方程，求解a后代入计算两种车的每千米费用即可，注意分式方程需要检验根是否符合题意。
(3) 设每年行驶里程为x km，分别表示出两种车的年费用（年费用=每千米行驶费用×年行驶里程+年其他费用），根据“新能源汽车年费用更低”列不等式，求解得到x的取值范围即可。
【解析】
(1) 新能源汽车满电总费用为$50×1=50$元，满电续航里程为$\frac{a}{2}$km，
因此每千米行驶费用为$\frac{50}{\frac{a}{2}}=\frac{100}{a}$（元）。
(2) 燃油汽车满油总费用为$50×8=400$元，满油续航里程为a km，因此燃油汽车每千米行驶费用为$\frac{400}{a}$元。
根据题意列方程：$\frac{400}{a}-\frac{100}{a}=0.6$，
化简得$\frac{300}{a}=0.6$，解得$a=500$。
经检验，$a=500$是原分式方程的解，且符合实际意义。
代入计算得：燃油汽车每千米行驶费用为$\frac{400}{500}=0.8$（元），
新能源汽车每千米行驶费用为$\frac{100}{500}=0.2$（元）。
(3) 设每年行驶里程为x km，
燃油汽车年费用为$(0.8x+4800)$元，新能源汽车年费用为$(0.2x+7500)$元，
根据新能源汽车年费用更低列不等式：
$0.8x+4800＞0.2x+7500$，
移项合并得$0.6x＞2700$，
解得$x＞4500$。
【答案】
(1) $\frac{100}{a}$元；
(2) 燃油汽车每千米行驶费用为0.8元，新能源汽车每千米行驶费用为0.2元；
(3) 当每年行驶里程大于4500 km时，买新能源汽车的年费用比燃油汽车更低。
【知识点】
列代数式，分式方程的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活中汽车经济性对比的实际场景命题，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题关键是理清各类费用的数量关系，同时要注意分式方程求解后需要检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
