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1. 如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,3),B(-3,1),C(-1,3).请按要求画图:
(1)将△ABC先向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)将△ABC以原点O为旋转中心,旋转180°后得到△A₂B₂C₂,画出△A₂B₂C₂;
(3)若△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂关于点Q成中心对称,则点Q的坐标为
(1)将△ABC先向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)将△ABC以原点O为旋转中心,旋转180°后得到△A₂B₂C₂,画出△A₂B₂C₂;
(3)若△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂关于点Q成中心对称,则点Q的坐标为
(2,1)
.答案
解:(1)略. (2)略. (3)(2,1)
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中的图形变换及中心对称的性质：
1. 平移变换：点向右平移横坐标加平移单位，向上平移纵坐标加平移单位，据此求出△ABC三个顶点平移后的对应点坐标，描点连线即可得到△A₁B₁C₁；
2. 绕原点旋转180°的变换：旋转后对应点与原点点关于原点对称，即横、纵坐标均为原坐标的相反数，求出对应点坐标后描点连线得到△A₂B₂C₂；
3. 求对称中心Q：成中心对称的两个图形，对称中心是任意两组对应点连线的中点，利用中点坐标公式计算即可得到Q的坐标。
【解析】
(1) 平移变换规律：向右平移4个单位横坐标+4，向上平移2个单位纵坐标+2：
A(-4,3)平移后得A₁(-4+4,3+2)=(0,5)，
B(-3,1)平移后得B₁(-3+4,1+2)=(1,3)，
C(-1,3)平移后得C₁(-1+4,3+2)=(3,5)，
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，依次连接即可得到△A₁B₁C₁；
(2) 绕原点旋转180°后，对应点与原点点关于原点对称，横、纵坐标均取相反数：
A(-4,3)旋转后得A₂(4,-3)，
B(-3,1)旋转后得B₂(3,-1)，
C(-1,3)旋转后得C₂(1,-3)，
在坐标系中描出A₂、B₂、C₂，依次连接即可得到△A₂B₂C₂；
(3) 成中心对称的两个图形，对称中心为对应点连线的中点，取A₁(0,5)和A₂(4,-3)，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，
代入得Q的横坐标：$\frac{0+4}{2}=2$，纵坐标：$\frac{5+(-3)}{2}=1$，即Q(2,1)。
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) $\boldsymbol{(2,1)}$
【知识点】
坐标与平移变换；坐标与旋转变换；中心对称的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，需要熟练掌握平移、旋转180°对应的坐标变化规律，理解中心对称的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查平面直角坐标系中的图形变换及中心对称的性质：
1. 平移变换：点向右平移横坐标加平移单位，向上平移纵坐标加平移单位，据此求出△ABC三个顶点平移后的对应点坐标，描点连线即可得到△A₁B₁C₁；
2. 绕原点旋转180°的变换：旋转后对应点与原点点关于原点对称，即横、纵坐标均为原坐标的相反数，求出对应点坐标后描点连线得到△A₂B₂C₂；
3. 求对称中心Q：成中心对称的两个图形，对称中心是任意两组对应点连线的中点，利用中点坐标公式计算即可得到Q的坐标。
【解析】
(1) 平移变换规律：向右平移4个单位横坐标+4，向上平移2个单位纵坐标+2：
A(-4,3)平移后得A₁(-4+4,3+2)=(0,5)，
B(-3,1)平移后得B₁(-3+4,1+2)=(1,3)，
C(-1,3)平移后得C₁(-1+4,3+2)=(3,5)，
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，依次连接即可得到△A₁B₁C₁；
(2) 绕原点旋转180°后，对应点与原点点关于原点对称，横、纵坐标均取相反数：
A(-4,3)旋转后得A₂(4,-3)，
B(-3,1)旋转后得B₂(3,-1)，
C(-1,3)旋转后得C₂(1,-3)，
在坐标系中描出A₂、B₂、C₂，依次连接即可得到△A₂B₂C₂；
(3) 成中心对称的两个图形，对称中心为对应点连线的中点，取A₁(0,5)和A₂(4,-3)，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，
代入得Q的横坐标：$\frac{0+4}{2}=2$，纵坐标：$\frac{5+(-3)}{2}=1$，即Q(2,1)。
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) $\boldsymbol{(2,1)}$
【知识点】
坐标与平移变换；坐标与旋转变换；中心对称的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，需要熟练掌握平移、旋转180°对应的坐标变化规律，理解中心对称的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 在如图所示的网格中,每个小正方形的边长是1,△A'B'C'是由△ABC旋转180°得到的.
(1)请在图中找出旋转中心O;
(2)以点C为旋转中心,将△ABC逆时针旋转90°得到△A₁B₁C₁,请画出△A₁B₁C₁;
(3)连接AA₁,求AA₁的长.
(1)请在图中找出旋转中心O;
(2)以点C为旋转中心,将△ABC逆时针旋转90°得到△A₁B₁C₁,请画出△A₁B₁C₁;
(3)连接AA₁,求AA₁的长.
答案
解:(1)略. (2)略.
(3)由网格的特点和勾股定理,得AA₁=√(2²+4²)=2√5.
(3)由网格的特点和勾股定理,得AA₁=√(2²+4²)=2√5.
解析
【分析】
(1) 找旋转中心：旋转180°的两个图形成中心对称，中心对称的对称中心是所有对应点连线的公共交点，只需连接两组对应点（如AA'和BB'），交点即为旋转中心O。
(2) 旋转作图：要画△ABC绕点C逆时针旋转90°的图形，需根据旋转性质，先确定A、B两点绕点C逆时针旋转90°后的对应点A₁、B₁，保证对应点到C的距离不变，对应线段夹角为90°，结合网格找到A₁、B₁后顺次连接即可。
(3) 求AA₁长度：在网格中数出A和A₁的横向、纵向距离，以这两个距离为直角边构造直角三角形，用勾股定理计算斜边AA₁的长度即可。
【解析】
(1) 连接AA'、BB'，两条线段的交点即为旋转中心O，在图中标注即可。
(2) 先将线段CA、CB分别绕点C逆时针旋转90°，结合网格格点确定A、B的对应点A₁、B₁，再顺次连接C、A₁、B₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(3) 由网格特征可得，点A与点A₁的水平距离为2，竖直距离为4，根据勾股定理：
$AA_1=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) $AA_1=2\sqrt{5}$
【知识点】
中心对称的性质，旋转作图，勾股定理
【点评】
本题结合网格考查旋转的相关应用，作图时需要准确把握旋转的中心、方向和角度，计算时需熟练结合网格特征运用勾股定理求解线段长度，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 找旋转中心：旋转180°的两个图形成中心对称，中心对称的对称中心是所有对应点连线的公共交点，只需连接两组对应点（如AA'和BB'），交点即为旋转中心O。
(2) 旋转作图：要画△ABC绕点C逆时针旋转90°的图形，需根据旋转性质，先确定A、B两点绕点C逆时针旋转90°后的对应点A₁、B₁，保证对应点到C的距离不变，对应线段夹角为90°，结合网格找到A₁、B₁后顺次连接即可。
(3) 求AA₁长度：在网格中数出A和A₁的横向、纵向距离，以这两个距离为直角边构造直角三角形，用勾股定理计算斜边AA₁的长度即可。
【解析】
(1) 连接AA'、BB'，两条线段的交点即为旋转中心O，在图中标注即可。
(2) 先将线段CA、CB分别绕点C逆时针旋转90°，结合网格格点确定A、B的对应点A₁、B₁，再顺次连接C、A₁、B₁，即可得到△A₁B₁C₁。
(3) 由网格特征可得，点A与点A₁的水平距离为2，竖直距离为4，根据勾股定理：
$AA_1=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) $AA_1=2\sqrt{5}$
【知识点】
中心对称的性质，旋转作图，勾股定理
【点评】
本题结合网格考查旋转的相关应用，作图时需要准确把握旋转的中心、方向和角度，计算时需熟练结合网格特征运用勾股定理求解线段长度，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在7×8的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段AB,点A,B,C均在小正方形的顶点上.
(1)将线段AB绕着点C逆时针旋转$90°$得到线段DE(点A,B的对应点分别为点D,E),请画出线段DE;
(2)以AD为对角线作$□ AEDF$,画出$□ AEDF$,并直接写出$□ AEDF$的面积.
(1)将线段AB绕着点C逆时针旋转$90°$得到线段DE(点A,B的对应点分别为点D,E),请画出线段DE;
(2)以AD为对角线作$□ AEDF$,画出$□ AEDF$,并直接写出$□ AEDF$的面积.
答案
解:(1)略. (2)略. □AEDF的面积为8.
解析
【分析】
(1) 作旋转后的线段需先明确旋转三要素：旋转中心为点C，旋转方向是逆时针，旋转角度为90°。首先分别确定点A、B相对于点C的水平、垂直偏移量，逆时针旋转90°时，以C为原点，原坐标为$(x,y)$的点旋转后坐标变为$(-y,x)$，据此找到A、B的对应点D、E，连接DE即可。
(2) 作以AD为对角线的平行四边形AEDF，可利用平行四边形对角线互相平分的性质：AD的中点也是EF的中点，结合已经得到的E点位置即可确定F点，画出平行四边形后用割补法就能计算出面积。
【解析】
(1) ①观察得点A在点C正上方4格处，将线段CA绕点C逆时针旋转90°，得到对应线段CD，D点位于点C正左方4格处；
②观察得点B在点C右侧2格、下方1格处，将线段CB绕点C逆时针旋转90°，得到对应线段CE，E点位于点C上方2格、左侧1格处；
③连接D、E，线段DE即为所求。
(2) ①找到AD的中点，根据平行四边形对角线互相平分的性质，该中点也是EF的中点，结合E点位置确定F点，顺次连接A、E、D、F，得到$□ AEDF$；
②用割补法计算面积：将平行四边形放入边长为4的正方形中，减去周围4个直角三角形的面积，即$S=4×4 - 2×(\frac{1}{2}×2×2) - 2×(\frac{1}{2}×2×2)=16-4-4=8$。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) 作图见解析，$□ AEDF$的面积为$\boxed{8}$
【知识点】
1. 旋转作图
2. 平行四边形的性质
3. 网格面积计算
【点评】
本题属于基础作图题，重点考查旋转的性质和平行四边形的性质，要求学生具备基础的网格识图能力和动手操作能力，面积计算用常用的割补法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 作旋转后的线段需先明确旋转三要素：旋转中心为点C，旋转方向是逆时针，旋转角度为90°。首先分别确定点A、B相对于点C的水平、垂直偏移量，逆时针旋转90°时，以C为原点，原坐标为$(x,y)$的点旋转后坐标变为$(-y,x)$，据此找到A、B的对应点D、E，连接DE即可。
(2) 作以AD为对角线的平行四边形AEDF，可利用平行四边形对角线互相平分的性质：AD的中点也是EF的中点，结合已经得到的E点位置即可确定F点，画出平行四边形后用割补法就能计算出面积。
【解析】
(1) ①观察得点A在点C正上方4格处，将线段CA绕点C逆时针旋转90°，得到对应线段CD，D点位于点C正左方4格处；
②观察得点B在点C右侧2格、下方1格处，将线段CB绕点C逆时针旋转90°，得到对应线段CE，E点位于点C上方2格、左侧1格处；
③连接D、E，线段DE即为所求。
(2) ①找到AD的中点，根据平行四边形对角线互相平分的性质，该中点也是EF的中点，结合E点位置确定F点，顺次连接A、E、D、F，得到$□ AEDF$；
②用割补法计算面积：将平行四边形放入边长为4的正方形中，减去周围4个直角三角形的面积，即$S=4×4 - 2×(\frac{1}{2}×2×2) - 2×(\frac{1}{2}×2×2)=16-4-4=8$。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) 作图见解析，$□ AEDF$的面积为$\boxed{8}$
【知识点】
1. 旋转作图
2. 平行四边形的性质
3. 网格面积计算
【点评】
本题属于基础作图题，重点考查旋转的性质和平行四边形的性质，要求学生具备基础的网格识图能力和动手操作能力，面积计算用常用的割补法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
