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1.（青海中考）如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ CAB=40°$，则$∠ ADC$的度数是 （
A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
B
）A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件“AB是$\odot O$的直径”入手，首先联想到直径所对的圆周角为直角，可得到$∠ ACB=90°$；再结合直角三角形两锐角互余的性质，已知$∠ CAB=40°$，即可求出$∠ ABC$的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，$∠ ADC$与$∠ ABC$均对应弧$AC$，因此二者相等，就能求出$∠ ADC$的度数。
【解析】
解：$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ CAB=40°$，
$\therefore ∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-40°=50°$。
又$\because ∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ADC=∠ ABC=50°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，直角三角形性质
【点评】
本题是圆周角相关知识的基础考查题，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，属于基础类常考题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“AB是$\odot O$的直径”入手，首先联想到直径所对的圆周角为直角，可得到$∠ ACB=90°$；再结合直角三角形两锐角互余的性质，已知$∠ CAB=40°$，即可求出$∠ ABC$的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，$∠ ADC$与$∠ ABC$均对应弧$AC$，因此二者相等，就能求出$∠ ADC$的度数。
【解析】
解：$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ CAB=40°$，
$\therefore ∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-40°=50°$。
又$\because ∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ADC=∠ ABC=50°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，直角三角形性质
【点评】
本题是圆周角相关知识的基础考查题，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，属于基础类常考题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，若$∠ CDB=60°$，则$∠ ABC$的度数等于（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
2. A
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步，根据“同弧所对的圆周角相等”，找到与∠CDB同对弧CB的圆周角∠CAB，可得∠CAB=∠CDB；第二步，AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，得出△ACB是直角三角形，∠ACB=90°；第三步，利用三角形内角和为180°，即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵∠CDB和∠CAB都是弧CB所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠CAB=∠CDB=60°，
∵AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-60°=30°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角性质；直径所对圆周角特征；三角形内角和
【点评】
本题属于圆周角相关的基础常考题，解题的关键是准确找到同弧对应的相等圆周角，结合直径对应的直角三角形特征即可快速求解，掌握基础性质是解题核心。
【难度系数】
0.8
解题可按三步推导：第一步，根据“同弧所对的圆周角相等”，找到与∠CDB同对弧CB的圆周角∠CAB，可得∠CAB=∠CDB；第二步，AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，得出△ACB是直角三角形，∠ACB=90°；第三步，利用三角形内角和为180°，即可计算出∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵∠CDB和∠CAB都是弧CB所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠CAB=∠CDB=60°，
∵AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-60°=30°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角性质；直径所对圆周角特征；三角形内角和
【点评】
本题属于圆周角相关的基础常考题，解题的关键是准确找到同弧对应的相等圆周角，结合直径对应的直角三角形特征即可快速求解，掌握基础性质是解题核心。
【难度系数】
0.8
3.如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，若$∠ B=30°$，$AC=3$，则$\odot O$的直径为
6
。答案
3. 6
解析
【分析】
要求⊙O的直径，已知圆周角∠B=30°及其所对的弦AC=3，可借助圆周角相关性质求解：首先构造直径所对的直角，利用同弧所对的圆周角相等，将已知角转移到直角三角形中，再结合直角三角形30°角的性质即可求出直径长度。
【解析】
作⊙O的直径AD，连接CD。
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵∠D和∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴∠D=∠B=30°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=3，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AD=2AC=2×3=6，即⊙O的直径为6。
【答案】
6
【知识点】
圆周角定理，直角三角形30°角性质
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，解题关键是通过构造直径得到直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.7
要求⊙O的直径，已知圆周角∠B=30°及其所对的弦AC=3，可借助圆周角相关性质求解：首先构造直径所对的直角，利用同弧所对的圆周角相等，将已知角转移到直角三角形中，再结合直角三角形30°角的性质即可求出直径长度。
【解析】
作⊙O的直径AD，连接CD。
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵∠D和∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴∠D=∠B=30°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=3，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AD=2AC=2×3=6，即⊙O的直径为6。
【答案】
6
【知识点】
圆周角定理，直角三角形30°角性质
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，解题关键是通过构造直径得到直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.7
4.如图,点A,B,C,D都在$\odot O$上,$∠ ABC=90°$,$AD=3$,$CD=2$,则$\odot O$的直径是
$\sqrt{13}$
.答案
4. $\sqrt{13}$
解析
【分析】
首先观察图形，已知圆内接四边形中∠ABC=90°，结合圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可判断出AC是⊙O的直径；再根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADC=90°，即△ADC是直角三角形，最后已知直角三角形两条直角边AD、CD的长度，用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是⊙O的直径。
【解析】
∵点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴∠ADC=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ADC中，AD=3，CD=2，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，
即⊙O的直径为$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题解题的核心是利用圆周角的相关推论确定圆的直径，再结合勾股定理计算长度，属于常规基础题，熟练掌握圆周角定理的相关推论是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，已知圆内接四边形中∠ABC=90°，结合圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可判断出AC是⊙O的直径；再根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADC=90°，即△ADC是直角三角形，最后已知直角三角形两条直角边AD、CD的长度，用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是⊙O的直径。
【解析】
∵点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∴∠ADC=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ADC中，AD=3，CD=2，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，
即⊙O的直径为$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题解题的核心是利用圆周角的相关推论确定圆的直径，再结合勾股定理计算长度，属于常规基础题，熟练掌握圆周角定理的相关推论是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 如图,点A,B,C在$\odot O$上,$BC// OA$,连接BO并延长,交$\odot O$于点D,连接AC,DC.若$∠ A=25°$,则$∠ D$的大小为$\_\_\_\_\_\_°$.
答案
5. 40
解析
【分析】解题时先从已知的平行线条件入手，利用平行线的内错角相等求出∠ACB的度数；再结合圆周角定理，得到同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出∠AOB的度数；再次利用平行线性质得到∠OBC的度数；最后根据直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠D的大小。
【解析】
解：
∵$BC// OA$，$∠ A=25°$
∴$∠ ACB=∠ A=25°$（两直线平行，内错角相等）
根据圆周角定理，同弧$AB$所对的圆心角$∠ AOB$是圆周角$∠ ACB$的2倍
∴$∠ AOB=2∠ ACB=2×25°=50°$
又
∵$BC// OA$
∴$∠ OBC=∠ AOB=50°$（两直线平行，内错角相等）
∵$BD$是$\odot O$的直径
∴$∠ BCD=90°$（直径所对的圆周角是直角）
在$Rt△ BCD$中，$∠ D+∠ CBD=90°$，其中$∠ CBD=∠ OBC=50°$
∴$∠ D=90°-50°=40°$
【答案】40
【知识点】平行线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理和平行线、直角三角形的基础性质，梳理清楚角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵$BC// OA$，$∠ A=25°$
∴$∠ ACB=∠ A=25°$（两直线平行，内错角相等）
根据圆周角定理，同弧$AB$所对的圆心角$∠ AOB$是圆周角$∠ ACB$的2倍
∴$∠ AOB=2∠ ACB=2×25°=50°$
又
∵$BC// OA$
∴$∠ OBC=∠ AOB=50°$（两直线平行，内错角相等）
∵$BD$是$\odot O$的直径
∴$∠ BCD=90°$（直径所对的圆周角是直角）
在$Rt△ BCD$中，$∠ D+∠ CBD=90°$，其中$∠ CBD=∠ OBC=50°$
∴$∠ D=90°-50°=40°$
【答案】40
【知识点】平行线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理和平行线、直角三角形的基础性质，梳理清楚角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】0.7
6. 如图，AB是$\odot O$的直径，D是弦AC的延长线上的一点，DB的延长线交$\odot O$于点E，且$CD=CE$.
(1) 求证:$AC=CD$;
(2) 连接AE，若$∠ D=25°$，求$∠ BAE$的度数.
(1) 求证:$AC=CD$;
(2) 连接AE，若$∠ D=25°$，求$∠ BAE$的度数.
答案
6. (1)证明:连接 BC,$\because CD = CE,\therefore ∠CED = ∠D. \because ∠CED = ∠CAB,\therefore ∠D=∠CAB. \therefore DB=AB. \because AB$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ACB=90°. \because DB = AB, BC ⊥ AD, \therefore AC = CD$;
(2) 解:由(1)得$∠D = ∠CAB, \because ∠D = 25°, \therefore ∠ABE = ∠D+∠CAB = 2∠D = 50°. \because AB$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠AEB = 90°. \therefore ∠BAE = 90°-∠ABE = 40°$.
解析
【分析】
(1) 要证$AC=CD$，可先连接辅助线$BC$：已知$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得$BC⊥ AD$，若能证明$△ ABD$为等腰三角形（即$AB=BD$），即可根据等腰三角形三线合一的性质得到$AC=CD$。由$CD=CE$可得$∠ CED=∠ D$，再结合同弧所对圆周角相等，得$∠ CED=∠ CAB$，即可推出$∠ CAB=∠ D$，得到$AB=BD$，完成证明。
(2) 求$∠ BAE$的度数，可结合(1)的结论先求$∠ ABE$的度数：由$∠ D=∠ CAB=25°$，根据三角形外角的性质可得$∠ ABE=∠ D+∠ CAB=50°$，再由$AB$是直径得$∠ AEB=90°$，根据直角三角形两锐角互余即可求出$∠ BAE$的度数。
【解析】
(1) 证明：连接$BC$，
$\because CD = CE$，$\therefore ∠ CED = ∠ D$，
$\because ∠ CED$和$∠ CAB$都是弧$CB$所对的圆周角，$\therefore ∠ CED = ∠ CAB$，
$\therefore ∠ D = ∠ CAB$，$\therefore DB = AB$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB = 90°$，即$BC⊥ AD$，
又$\because DB = AB$，$BC⊥ AD$，$\therefore AC = CD$。
(2) 解：由(1)得$∠ D = ∠ CAB$，
$\because ∠ D = 25°$，$\therefore ∠ CAB = 25°$，
$\because ∠ ABE$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ABE = ∠ D + ∠ CAB = 2×25° = 50°$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ AEB = 90°$，
$\therefore ∠ BAE = 90° - ∠ ABE = 90° - 50° = 40°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{40°}$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；直角三角形性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是合理添加辅助线$BC$，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合等腰三角形三线合一、三角形外角、直角三角形两锐角互余的性质求解，能够有效考查学生对圆相关基础性质的掌握和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AC=CD$，可先连接辅助线$BC$：已知$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得$BC⊥ AD$，若能证明$△ ABD$为等腰三角形（即$AB=BD$），即可根据等腰三角形三线合一的性质得到$AC=CD$。由$CD=CE$可得$∠ CED=∠ D$，再结合同弧所对圆周角相等，得$∠ CED=∠ CAB$，即可推出$∠ CAB=∠ D$，得到$AB=BD$，完成证明。
(2) 求$∠ BAE$的度数，可结合(1)的结论先求$∠ ABE$的度数：由$∠ D=∠ CAB=25°$，根据三角形外角的性质可得$∠ ABE=∠ D+∠ CAB=50°$，再由$AB$是直径得$∠ AEB=90°$，根据直角三角形两锐角互余即可求出$∠ BAE$的度数。
【解析】
(1) 证明：连接$BC$，
$\because CD = CE$，$\therefore ∠ CED = ∠ D$，
$\because ∠ CED$和$∠ CAB$都是弧$CB$所对的圆周角，$\therefore ∠ CED = ∠ CAB$，
$\therefore ∠ D = ∠ CAB$，$\therefore DB = AB$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB = 90°$，即$BC⊥ AD$，
又$\because DB = AB$，$BC⊥ AD$，$\therefore AC = CD$。
(2) 解：由(1)得$∠ D = ∠ CAB$，
$\because ∠ D = 25°$，$\therefore ∠ CAB = 25°$，
$\because ∠ ABE$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ABE = ∠ D + ∠ CAB = 2×25° = 50°$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ AEB = 90°$，
$\therefore ∠ BAE = 90° - ∠ ABE = 90° - 50° = 40°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{40°}$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；直角三角形性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，解题的核心是合理添加辅助线$BC$，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合等腰三角形三线合一、三角形外角、直角三角形两锐角互余的性质求解，能够有效考查学生对圆相关基础性质的掌握和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图，把直角三角尺的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8 cm，ON=6 cm，则该圆形玻璃镜的半径是 （
A.$\sqrt{10}$ cm
B.5 cm
C.6 cm
D.10 cm
B
）A.$\sqrt{10}$ cm
B.5 cm
C.6 cm
D.10 cm
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：直角三角尺的直角顶点O在圆周上，两直角边与圆弧交于M、N，即∠MON=90°，且O、M、N三点都在圆上。根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可判断MN是该圆形玻璃镜的直径，再在直角三角形OMN中用勾股定理求出直径长度，除以2即可得到半径。
【解析】
∵ 点O、M、N都在圆周上，且∠MON=90°，
∴ 根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得MN是该圆的直径。
在Rt△MON中，OM=8 cm，ON=6 cm，由勾股定理得：
$MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$，
∴ 该圆形玻璃镜的半径为$10÷2=5\ \mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的核心是通过圆周角定理推论快速确定直径，再结合勾股定理计算，掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：直角三角尺的直角顶点O在圆周上，两直角边与圆弧交于M、N，即∠MON=90°，且O、M、N三点都在圆上。根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可判断MN是该圆形玻璃镜的直径，再在直角三角形OMN中用勾股定理求出直径长度，除以2即可得到半径。
【解析】
∵ 点O、M、N都在圆周上，且∠MON=90°，
∴ 根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得MN是该圆的直径。
在Rt△MON中，OM=8 cm，ON=6 cm，由勾股定理得：
$MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$，
∴ 该圆形玻璃镜的半径为$10÷2=5\ \mathrm{cm}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理
【点评】
本题是几何基础应用题，解题的核心是通过圆周角定理推论快速确定直径，再结合勾股定理计算，掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8. 如图，AB，AC是$\odot O$的弦，OB，OC是$\odot O$的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP。若$∠ BAC=70°$，则$∠ BPC$的度数可能是（
A.$70°$
B.$105°$
C.$125°$
D.$155°$
D
）A.$70°$
B.$105°$
C.$125°$
D.$155°$
答案
8. D
解析
【分析】
解题时首先运用圆周角定理求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，再结合三角形外角的性质分析∠BPC的取值范围，最后匹配选项得到答案。第一步：已知圆周角∠BAC的度数，根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，可直接求出圆心角∠BOC的大小；第二步：观察∠BPC的位置，它是△POC的外角，根据三角形外角性质可知∠BPC等于∠BOC与∠OCP的和，由于点P不与点B重合，∠OCP大于0°，因此∠BPC一定大于∠BOC的度数，据此即可选出符合要求的选项。
【解析】
解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°。
∵∠BPC是△POC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠BPC=∠BOC+∠OCP。
又
∵点P在OB上且不与点B重合，
∴∠OCP＞0°，
∴∠BPC＞140°。
对比四个选项，只有155°满足∠BPC＞140°，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，将圆周角定理和三角形外角性质结合考查，解题的关键是先求出固定的圆心角度数，再通过外角性质确定所求角的取值范围，需要注意题目中点P不与点B重合的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先运用圆周角定理求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，再结合三角形外角的性质分析∠BPC的取值范围，最后匹配选项得到答案。第一步：已知圆周角∠BAC的度数，根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，可直接求出圆心角∠BOC的大小；第二步：观察∠BPC的位置，它是△POC的外角，根据三角形外角性质可知∠BPC等于∠BOC与∠OCP的和，由于点P不与点B重合，∠OCP大于0°，因此∠BPC一定大于∠BOC的度数，据此即可选出符合要求的选项。
【解析】
解：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°。
∵∠BPC是△POC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠BPC=∠BOC+∠OCP。
又
∵点P在OB上且不与点B重合，
∴∠OCP＞0°，
∴∠BPC＞140°。
对比四个选项，只有155°满足∠BPC＞140°，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，将圆周角定理和三角形外角性质结合考查，解题的关键是先求出固定的圆心角度数，再通过外角性质确定所求角的取值范围，需要注意题目中点P不与点B重合的限制条件。
【难度系数】
0.7
