登录
【例】如
，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=4$.将$△ ABC$绕直角顶点$C$顺时针旋转$90°$得到$△ DEC$.若$F$是$DE$的中点，连接$AF$，求$AF$的长.
【点拨】取$EC$的中点$G$，连接$FG$.利用旋转的性质可得$EC$，$DC$的长和$∠ ACD$的大小，再证明$GF$是$△ ECD$的中位线，进而求出$GF$和$AG$的长，最后根据勾股定理即可求出$AF$的长.
【解】如
，取$EC$的中点$G$，连接$FG$.
根据旋转的性质，得$EC=BC=4$，$DC=AC=6$，$∠ ACD=∠ ACB=90°$.
$\because F$是$DE$的中点，$G$是$EC$的中点，
$\therefore GF$是$△ ECD$的中位线，$EG=\frac{1}{2}EC=2$，
$\therefore GF// CD$，$GF=\frac{1}{2}DC=3$，
$\therefore ∠ AGF=∠ ECD=90°$.
$\because AE=AC-EC=2$，
$\therefore AG=AE+EG=4$.
根据勾股定理，得$AF=\sqrt{AG^2+GF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=4$.将$△ ABC$绕直角顶点$C$顺时针旋转$90°$得到$△ DEC$.若$F$是$DE$的中点，连接$AF$，求$AF$的长.【点拨】取$EC$的中点$G$，连接$FG$.利用旋转的性质可得$EC$，$DC$的长和$∠ ACD$的大小，再证明$GF$是$△ ECD$的中位线，进而求出$GF$和$AG$的长，最后根据勾股定理即可求出$AF$的长.
【解】如
，取$EC$的中点$G$，连接$FG$.根据旋转的性质，得$EC=BC=4$，$DC=AC=6$，$∠ ACD=∠ ACB=90°$.
$\because F$是$DE$的中点，$G$是$EC$的中点，
$\therefore GF$是$△ ECD$的中位线，$EG=\frac{1}{2}EC=2$，
$\therefore GF// CD$，$GF=\frac{1}{2}DC=3$，
$\therefore ∠ AGF=∠ ECD=90°$.
$\because AE=AC-EC=2$，
$\therefore AG=AE+EG=4$.
根据勾股定理，得$AF=\sqrt{AG^2+GF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
答案
解：取$EC$的中点$G$，连接$FG$。
根据旋转的性质，得
$EC=BC=4$，$DC=AC=6$，$∠ ACD=∠ ACB=90°$。
$\because F$是$DE$的中点，$G$是$EC$的中点，
$\therefore GF$是$△ ECD$的中位线，$EG=\frac{1}{2}EC=2$，
$\therefore GF// CD$，$GF=\frac{1}{2}DC=3$，
$\therefore ∠ AGF=∠ ECD=90°$。
$\because AE=AC-EC=2$，
$\therefore AG=AE+EG=4$。
根据勾股定理，得$AF=\sqrt{AG^2+GF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
答：$AF$的长为$5$。
根据旋转的性质，得
$EC=BC=4$，$DC=AC=6$，$∠ ACD=∠ ACB=90°$。
$\because F$是$DE$的中点，$G$是$EC$的中点，
$\therefore GF$是$△ ECD$的中位线，$EG=\frac{1}{2}EC=2$，
$\therefore GF// CD$，$GF=\frac{1}{2}DC=3$，
$\therefore ∠ AGF=∠ ECD=90°$。
$\because AE=AC-EC=2$，
$\therefore AG=AE+EG=4$。
根据勾股定理，得$AF=\sqrt{AG^2+GF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
答：$AF$的长为$5$。
解析
【分析】
本题要求旋转后线段AF的长度，可按以下思路解题：首先，根据旋转的性质，先确定旋转后对应边、对应角的等量关系，得到EC、DC的长度以及∠ACD为直角；其次，已知F是DE的中点，联想到三角形中位线定理，因此取EC的中点G，连接FG，构造△ECD的中位线，即可得到GF的长度，同时可证∠AGF为直角，将待求的AF转化为直角三角形的斜边；最后，计算直角边AG的长度，利用勾股定理即可求出AF的长。
【解析】
取$EC$的中点$G$，连接$FG$。
根据旋转的性质，得
$EC=BC=4$，$DC=AC=6$，$∠ ACD=∠ ACB=90°$。
$\because F$是$DE$的中点，$G$是$EC$的中点，
$\therefore GF$是$△ ECD$的中位线，$EG=\frac{1}{2}EC=2$，
$\therefore GF// CD$，$GF=\frac{1}{2}DC=3$，
$\therefore ∠ AGF=∠ ECD=90°$。
$\because AE=AC-EC=2$，
$\therefore AG=AE+EG=4$。
根据勾股定理，得$AF=\sqrt{AG^2+GF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
【答案】
$5$
【知识点】
旋转的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是结合中点特征构造中位线辅助线，将未知线段转化到直角三角形中求解，能有效锻炼学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题要求旋转后线段AF的长度，可按以下思路解题：首先，根据旋转的性质，先确定旋转后对应边、对应角的等量关系，得到EC、DC的长度以及∠ACD为直角；其次，已知F是DE的中点，联想到三角形中位线定理，因此取EC的中点G，连接FG，构造△ECD的中位线，即可得到GF的长度，同时可证∠AGF为直角，将待求的AF转化为直角三角形的斜边；最后，计算直角边AG的长度，利用勾股定理即可求出AF的长。
【解析】
取$EC$的中点$G$，连接$FG$。
根据旋转的性质，得
$EC=BC=4$，$DC=AC=6$，$∠ ACD=∠ ACB=90°$。
$\because F$是$DE$的中点，$G$是$EC$的中点，
$\therefore GF$是$△ ECD$的中位线，$EG=\frac{1}{2}EC=2$，
$\therefore GF// CD$，$GF=\frac{1}{2}DC=3$，
$\therefore ∠ AGF=∠ ECD=90°$。
$\because AE=AC-EC=2$，
$\therefore AG=AE+EG=4$。
根据勾股定理，得$AF=\sqrt{AG^2+GF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
【答案】
$5$
【知识点】
旋转的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是结合中点特征构造中位线辅助线，将未知线段转化到直角三角形中求解，能有效锻炼学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
1.(教材变式)如图,该图形绕点O按下列角度旋转后,不能与其自身重合的是 (
A.$72°$
B.$108°$
C.$144°$
D.$216°$
B
)A.$72°$
B.$108°$
C.$144°$
D.$216°$
答案
1.B
解析
【分析】
首先观察图形特征，该图形由5个完全相同的花瓣均匀分布组成，属于旋转对称图形。解题思路为：先计算出该图形能与自身重合的最小旋转角度，即周角360°除以等分数5，得到最小旋转角为72°；只要旋转角度是72°的正整数倍，图形旋转后就能与自身重合，逐一判断选项是否为72°的整数倍即可得到答案。
【解析】
解：该图形被均匀分成5个全等的部分，
则能使其与自身重合的最小旋转角度为 $ \frac{360°}{5}=72° $，
因此旋转角度为72°的正整数倍时，图形旋转后可与自身重合：
A选项：$ 72°÷72°=1 $，是72°的整数倍，旋转后可重合，不符合题意；
B选项：$ 108°÷72°=1.5 $，不是72°的整数倍，旋转后不能重合，符合题意；
C选项：$ 144°÷72°=2 $，是72°的整数倍，旋转后可重合，不符合题意；
D选项：$ 216°÷72°=3 $，是72°的整数倍，旋转后可重合，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
旋转对称图形，最小旋转角计算，旋转的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是先确定旋转对称图形的最小旋转角，再通过判断旋转角是否为最小旋转角的整数倍得出结论，掌握旋转对称的基本特征即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
首先观察图形特征，该图形由5个完全相同的花瓣均匀分布组成，属于旋转对称图形。解题思路为：先计算出该图形能与自身重合的最小旋转角度，即周角360°除以等分数5，得到最小旋转角为72°；只要旋转角度是72°的正整数倍，图形旋转后就能与自身重合，逐一判断选项是否为72°的整数倍即可得到答案。
【解析】
解：该图形被均匀分成5个全等的部分，
则能使其与自身重合的最小旋转角度为 $ \frac{360°}{5}=72° $，
因此旋转角度为72°的正整数倍时，图形旋转后可与自身重合：
A选项：$ 72°÷72°=1 $，是72°的整数倍，旋转后可重合，不符合题意；
B选项：$ 108°÷72°=1.5 $，不是72°的整数倍，旋转后不能重合，符合题意；
C选项：$ 144°÷72°=2 $，是72°的整数倍，旋转后可重合，不符合题意；
D选项：$ 216°÷72°=3 $，是72°的整数倍，旋转后可重合，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
旋转对称图形，最小旋转角计算，旋转的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是先确定旋转对称图形的最小旋转角，再通过判断旋转角是否为最小旋转角的整数倍得出结论，掌握旋转对称的基本特征即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ ABC=30°$,$AC=1\ \mathrm{cm}$. 将$Rt△ ABC$绕点A逆时针旋转得到$Rt△ AB'C'$,使点$C'$落在AB边上,连接$BB'$.$BB'$的长度是
第2题图 变式题图
2
cm. 第2题图 变式题图
答案
2.2
解析
【分析】
解题时首先利用直角三角形30°角对的直角边等于斜边的一半求出斜边AB的长度，再结合旋转的性质得到AB'=AB、旋转角∠BAB'等于原三角形的∠BAC=60°，据此可判定△ABB'为等边三角形，最后根据等边三角形三边相等即可求出BB'的长度。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=30°$，$AC=1\ \mathrm{cm}$，
$\therefore ∠ BAC=180°-90°-30°=60°$，且$AB=2AC=2×1=2\ \mathrm{cm}$。
∵$Rt△AB'C'$是$Rt△ABC$绕点A逆时针旋转得到的，
∴由旋转的性质可得：$AB'=AB=2\ \mathrm{cm}$，$∠ B'AC'=∠ BAC=60°$，即$∠ BAB'=60°$，
∴$△ ABB'$中，$AB=AB'$，$∠ BAB'=60°$，
∴$△ ABB'$是等边三角形，
$\therefore BB'=AB=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
直角三角形30°角的性质；旋转的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是结合已知条件通过旋转得到边和角的等量关系，进而判断等边三角形求解，需要熟练掌握特殊直角三角形和等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用直角三角形30°角对的直角边等于斜边的一半求出斜边AB的长度，再结合旋转的性质得到AB'=AB、旋转角∠BAB'等于原三角形的∠BAC=60°，据此可判定△ABB'为等边三角形，最后根据等边三角形三边相等即可求出BB'的长度。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=30°$，$AC=1\ \mathrm{cm}$，
$\therefore ∠ BAC=180°-90°-30°=60°$，且$AB=2AC=2×1=2\ \mathrm{cm}$。
∵$Rt△AB'C'$是$Rt△ABC$绕点A逆时针旋转得到的，
∴由旋转的性质可得：$AB'=AB=2\ \mathrm{cm}$，$∠ B'AC'=∠ BAC=60°$，即$∠ BAB'=60°$，
∴$△ ABB'$中，$AB=AB'$，$∠ BAB'=60°$，
∴$△ ABB'$是等边三角形，
$\therefore BB'=AB=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
直角三角形30°角的性质；旋转的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是结合已知条件通过旋转得到边和角的等量关系，进而判断等边三角形求解，需要熟练掌握特殊直角三角形和等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.8
变式题 旋转构造等边三角形→构造等腰直角三角形
如图，在$△ AOB$中，$AO=1$.将$△ AOB$绕点$O$逆时针旋转$90°$得到$△ A'OB'$，连接$AA'$.线段$AA'$的长为________.
如图，在$△ AOB$中，$AO=1$.将$△ AOB$绕点$O$逆时针旋转$90°$得到$△ A'OB'$，连接$AA'$.线段$AA'$的长为________.
答案
变式题 $\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。先根据旋转性质得到OA与OA'的长度关系，以及∠AOA'的度数，判断出△AOA'的形状，再借助勾股定理计算AA'的长度即可。
【解析】
∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，
∴根据旋转的性质可得：$OA = OA' = 1$，旋转角$∠ AOA' = 90°$，
∴$△ AOA'$是等腰直角三角形，
在$Rt△ AOA'$中，由勾股定理得：
$AA' = \sqrt{OA^2 + OA'^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的核心是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的特点，快速判断出等腰直角三角形，再结合勾股定理求解，掌握旋转的基本性质是解这类题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。先根据旋转性质得到OA与OA'的长度关系，以及∠AOA'的度数，判断出△AOA'的形状，再借助勾股定理计算AA'的长度即可。
【解析】
∵△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，
∴根据旋转的性质可得：$OA = OA' = 1$，旋转角$∠ AOA' = 90°$，
∴$△ AOA'$是等腰直角三角形，
在$Rt△ AOA'$中，由勾股定理得：
$AA' = \sqrt{OA^2 + OA'^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的核心是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的特点，快速判断出等腰直角三角形，再结合勾股定理求解，掌握旋转的基本性质是解这类题的前提。
【难度系数】
0.8
