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【例】设$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$是抛物线$y=-(x+1)^2+a$上的三点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（）
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_3＞y_2＞y_1$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
【点拨】∵函数的解析式是$y=-(x+1)^2+a$，∴函数图象的对称轴是直线$x=-1$，∴与点$A$关于对称轴对称的点$A'$的坐标是$(0,y_1)$，那么点$A',B,C$都在对称轴的右侧。在对称轴的右侧，$y$的值随$x$的增大而减小，从而可以得到$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【答案】A
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_3＞y_2＞y_1$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
【点拨】∵函数的解析式是$y=-(x+1)^2+a$，∴函数图象的对称轴是直线$x=-1$，∴与点$A$关于对称轴对称的点$A'$的坐标是$(0,y_1)$，那么点$A',B,C$都在对称轴的右侧。在对称轴的右侧，$y$的值随$x$的增大而减小，从而可以得到$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【答案】A
答案
A
解析
【分析】
要比较抛物线上三点的纵坐标大小，首先需明确该抛物线的开口方向和对称轴：对于开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大；也可将各点转化到对称轴的同侧，结合抛物线的增减性判断大小。第一步先从解析式中提取开口方向、对称轴信息，第二步计算各点到对称轴的距离（或找对称点移到同侧），第三步根据性质比较大小即可。
【解析】
已知抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2+a$，
① 确定抛物线基本性质：二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$；
② 计算各点到对称轴$x=-1$的距离：
点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离：$\vert -2 - (-1) \vert =1$，
点$B(1,y_2)$到对称轴的距离：$\vert 1 - (-1) \vert =2$，
点$C(2,y_3)$到对称轴的距离：$\vert 2 - (-1) \vert =3$；
③ 结合开口方向判断函数值大小：开口向下的抛物线上，点离对称轴越近，对应的函数值越大，因为$1＜2＜3$，所以$y_1＞y_2＞y_3$。
（也可通过对称法验证：点$A$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(0,y_1)$，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，$0＜1＜2$，因此$y_1＞y_2＞y_3$）
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数增减性，二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数性质的典型基础题，解题核心是先明确抛物线的开口方向与对称轴，再结合增减性或点到对称轴的距离比较函数值大小，掌握二次函数$y=a(x-h)^2+k$的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上三点的纵坐标大小，首先需明确该抛物线的开口方向和对称轴：对于开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大；也可将各点转化到对称轴的同侧，结合抛物线的增减性判断大小。第一步先从解析式中提取开口方向、对称轴信息，第二步计算各点到对称轴的距离（或找对称点移到同侧），第三步根据性质比较大小即可。
【解析】
已知抛物线的解析式为$y=-(x+1)^2+a$，
① 确定抛物线基本性质：二次项系数为$-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$；
② 计算各点到对称轴$x=-1$的距离：
点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离：$\vert -2 - (-1) \vert =1$，
点$B(1,y_2)$到对称轴的距离：$\vert 1 - (-1) \vert =2$，
点$C(2,y_3)$到对称轴的距离：$\vert 2 - (-1) \vert =3$；
③ 结合开口方向判断函数值大小：开口向下的抛物线上，点离对称轴越近，对应的函数值越大，因为$1＜2＜3$，所以$y_1＞y_2＞y_3$。
（也可通过对称法验证：点$A$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(0,y_1)$，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，$0＜1＜2$，因此$y_1＞y_2＞y_3$）
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数增减性，二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数性质的典型基础题，解题核心是先明确抛物线的开口方向与对称轴，再结合增减性或点到对称轴的距离比较函数值大小，掌握二次函数$y=a(x-h)^2+k$的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1. (2025—2026 赣州于都期中)将抛物线 $ y = -3x^2 $ 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为 (
A.$ y=-3(x+1)^2+2 $
B.$ y=-3(x-1)^2+2 $
C.$ y=-3(x+1)^2-2 $
D.$ y=-3(x-1)^2-2 $
A
)A.$ y=-3(x+1)^2+2 $
B.$ y=-3(x-1)^2+2 $
C.$ y=-3(x+1)^2-2 $
D.$ y=-3(x-1)^2-2 $
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移，解题的核心是掌握二次函数平移的“左加右减，上加下减”规则：①左右平移是对自变量x进行操作，向左平移m个单位，将x替换为x+m，向右平移m个单位，将x替换为x-m；②上下平移是对函数整体进行操作，向上平移n个单位，给解析式整体加n，向下平移n个单位，给解析式整体减n。解题时可先按平移规则逐步推导，也可通过平移方向快速排除错误选项：向左平移对应x后要加1，可先排除含x-1的B、D选项，向上平移对应解析式末尾加2，再排除末尾减2的C选项，即可得到正确答案。
【解析】
二次函数图象平移遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）”的规律：
原抛物线解析式为$y=-3x^2$，
第一步：向左平移1个单位长度，将x替换为$x+1$，得$y=-3(x+1)^2$；
第二步：向上平移2个单位长度，给解析式整体加2，得$y=-3(x+1)^2+2$。
因此所得抛物线解析式对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的常规基础题，易错点是容易混淆左右平移的加减方向，注意“左加右减”仅针对自变量x本身操作，若x前有系数，需要先给x加/减平移单位后再乘系数，掌握规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移，解题的核心是掌握二次函数平移的“左加右减，上加下减”规则：①左右平移是对自变量x进行操作，向左平移m个单位，将x替换为x+m，向右平移m个单位，将x替换为x-m；②上下平移是对函数整体进行操作，向上平移n个单位，给解析式整体加n，向下平移n个单位，给解析式整体减n。解题时可先按平移规则逐步推导，也可通过平移方向快速排除错误选项：向左平移对应x后要加1，可先排除含x-1的B、D选项，向上平移对应解析式末尾加2，再排除末尾减2的C选项，即可得到正确答案。
【解析】
二次函数图象平移遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）”的规律：
原抛物线解析式为$y=-3x^2$，
第一步：向左平移1个单位长度，将x替换为$x+1$，得$y=-3(x+1)^2$；
第二步：向上平移2个单位长度，给解析式整体加2，得$y=-3(x+1)^2+2$。
因此所得抛物线解析式对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的常规基础题，易错点是容易混淆左右平移的加减方向，注意“左加右减”仅针对自变量x本身操作，若x前有系数，需要先给x加/减平移单位后再乘系数，掌握规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
变式题 抛物线平移→坐标轴平移
在平面直角坐标系中，如果抛物线 $ y = x^2 $ 不动，而把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系中，抛物线的解析式为 （
A.$ y=(x+2)^2 +2 $
B.$ y=(x+2)^2 -2 $
C.$ y=(x-2)^2 -2 $
D.$ y=(x-2)^2 +2 $
在平面直角坐标系中，如果抛物线 $ y = x^2 $ 不动，而把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系中，抛物线的解析式为 （
A
）A.$ y=(x+2)^2 +2 $
B.$ y=(x+2)^2 -2 $
C.$ y=(x-2)^2 -2 $
D.$ y=(x-2)^2 +2 $
答案
变式题 A 【解析】把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位长度相当于在原坐标系内，把抛物线$y=x^2$向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，
∴新坐标系中，抛物线的解析式为$y=(x+2)^2+2$。
∴新坐标系中，抛物线的解析式为$y=(x+2)^2+2$。
解析
【分析】
我们可以通过相对运动的思路转化问题：当抛物线位置固定不变，坐标轴发生平移时，等价于坐标轴固定，抛物线向相反方向平移。x轴向下平移2个单位，就相当于抛物线向上平移2个单位；y轴向右平移2个单位，就相当于抛物线向左平移2个单位。再结合二次函数图象平移的“左加右减、上加下减”规律，即可求出新坐标系下的抛物线解析式。
【解析】
解：已知抛物线$y=x^2$位置保持不动，
① x轴向下平移2个单位，等价于抛物线相对于原坐标系向上平移2个单位；
② y轴向右平移2个单位，等价于抛物线相对于原坐标系向左平移2个单位。
根据二次函数平移规律：自变量左移加、右移减，函数值上移加、下移减。
将$y=x^2$先向左平移2个单位，得到$y=(x+2)^2$，再向上平移2个单位，最终得到解析式$y=(x+2)^2+2$。
【答案】A
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.坐标平移的相对性
【点评】
本题解题关键是将坐标轴的平移转化为抛物线的反向平移，降低坐标转换的难度，解题时要注意平移方向和加减运算的对应关系，避免搞反平移方向导致出错。
【难度系数】
0.7
我们可以通过相对运动的思路转化问题：当抛物线位置固定不变，坐标轴发生平移时，等价于坐标轴固定，抛物线向相反方向平移。x轴向下平移2个单位，就相当于抛物线向上平移2个单位；y轴向右平移2个单位，就相当于抛物线向左平移2个单位。再结合二次函数图象平移的“左加右减、上加下减”规律，即可求出新坐标系下的抛物线解析式。
【解析】
解：已知抛物线$y=x^2$位置保持不动，
① x轴向下平移2个单位，等价于抛物线相对于原坐标系向上平移2个单位；
② y轴向右平移2个单位，等价于抛物线相对于原坐标系向左平移2个单位。
根据二次函数平移规律：自变量左移加、右移减，函数值上移加、下移减。
将$y=x^2$先向左平移2个单位，得到$y=(x+2)^2$，再向上平移2个单位，最终得到解析式$y=(x+2)^2+2$。
【答案】A
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.坐标平移的相对性
【点评】
本题解题关键是将坐标轴的平移转化为抛物线的反向平移，降低坐标转换的难度，解题时要注意平移方向和加减运算的对应关系，避免搞反平移方向导致出错。
【难度系数】
0.7
2.已知抛物线$y=(x+2)^2 -1$先向左平移$h$个单位长度，再向下平移$k$个单位长度，得到的抛物线的解析式为$y=(x+3)^2 -4$，则$h$和$k$的值分别为（
A.1,3
B.3,−4
C.1,−3
D.3,−3
A
）A.1,3
B.3,−4
C.1,−3
D.3,−3
答案
2.A 【解析】
∵抛物线$y=(x+2)^2-1$的顶点坐标是(-2,-1),
∴先向左平移h个单位长度,再向下平移k个单位长度后的坐标为(-2-h,-1-k),
∴平移后抛物线的解析式为$y=(x+2+h)^2-1-k$.
∵平移后抛物线的解析式为$y=(x+3)^2-4$,
∴2+h=3,-1-k=-4,
∴h=1,k=3.
∵抛物线$y=(x+2)^2-1$的顶点坐标是(-2,-1),
∴先向左平移h个单位长度,再向下平移k个单位长度后的坐标为(-2-h,-1-k),
∴平移后抛物线的解析式为$y=(x+2+h)^2-1-k$.
∵平移后抛物线的解析式为$y=(x+3)^2-4$,
∴2+h=3,-1-k=-4,
∴h=1,k=3.
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律，可通过两种思路推导：一是抓住二次函数平移仅改变顶点位置、不改变图象形状大小的特点，先求原抛物线顶点坐标，按平移规则得到平移后的顶点坐标，与新抛物线顶点对应列方程求解；二是直接用“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”的平移规则，写出平移后的解析式，和已知新解析式对应系数相等列方程求解即可。
【解析】
抛物线$y=(x+2)^2-1$的顶点坐标为$(-2,-1)$，将其先向左平移$h$个单位长度，再向下平移$k$个单位长度后，新顶点的坐标为$(-2-h,-1-k)$。
平移后抛物线的解析式为$y=(x+3)^2-4$，其顶点坐标为$(-3,-4)$，因此可列方程：
$\begin{cases}-2-h=-3\\-1-k=-4\end{cases}$
解第一个方程：$-2-h=-3$，移项得$h=1$；
解第二个方程：$-1-k=-4$，移项得$k=3$。
也可直接对解析式平移变形：向左平移$h$个单位得$y=(x+2+h)^2-1$，再向下平移$k$个单位得$y=(x+2+h)^2-1-k$，与$y=(x+3)^2-4$对应得$2+h=3$，$-1-k=-4$，同样解得$h=1,k=3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题关键是牢记平移规则，找准平移前后顶点或解析式的对应关系，熟练掌握规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律，可通过两种思路推导：一是抓住二次函数平移仅改变顶点位置、不改变图象形状大小的特点，先求原抛物线顶点坐标，按平移规则得到平移后的顶点坐标，与新抛物线顶点对应列方程求解；二是直接用“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”的平移规则，写出平移后的解析式，和已知新解析式对应系数相等列方程求解即可。
【解析】
抛物线$y=(x+2)^2-1$的顶点坐标为$(-2,-1)$，将其先向左平移$h$个单位长度，再向下平移$k$个单位长度后，新顶点的坐标为$(-2-h,-1-k)$。
平移后抛物线的解析式为$y=(x+3)^2-4$，其顶点坐标为$(-3,-4)$，因此可列方程：
$\begin{cases}-2-h=-3\\-1-k=-4\end{cases}$
解第一个方程：$-2-h=-3$，移项得$h=1$；
解第二个方程：$-1-k=-4$，移项得$k=3$。
也可直接对解析式平移变形：向左平移$h$个单位得$y=(x+2+h)^2-1$，再向下平移$k$个单位得$y=(x+2+h)^2-1-k$，与$y=(x+3)^2-4$对应得$2+h=3$，$-1-k=-4$，同样解得$h=1,k=3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，解题关键是牢记平移规则，找准平移前后顶点或解析式的对应关系，熟练掌握规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
