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3.将某二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到新的二次函数$y=(x-1)^2+1$的图象，则原二次函数的解析式是（
A.$y=(x+1)^2 -2$
B.$y=(x+2)^2 +3$
C.$y=(x-4)^2 -1$
D.$y=(x+2)^2 -3$
B
）A.$y=(x+1)^2 -2$
B.$y=(x+2)^2 +3$
C.$y=(x-4)^2 -1$
D.$y=(x+2)^2 -3$
答案
3.B 【解析】把新的二次函数$y=(x-1)^2+1$的图象向上平移2个单位长度后,再向左平移3个单位长度,可得原二次函数$y=(x-1+3)^2+1+2$的图象,
∴原二次函数的解析式是$y=(x+2)^2+3$.
∴原二次函数的解析式是$y=(x+2)^2+3$.
解析
【分析】
解决本题可利用二次函数图象平移的可逆性思考：已知原函数向右平移3个单位、向下平移2个单位得到新函数，要推导原函数，只需将新函数按相反方向平移回去，即向上平移2个单位、向左平移3个单位即可。平移时牢记“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体值）”的规则，按步骤运算即可求解。
【解析】
根据平移的可逆性，对新二次函数$y=(x-1)^2+1$进行反向平移：
1. 先向上平移2个单位长度，依据“上加下减”规律，解析式变为：
$y=(x-1)^2+1+2=(x-1)^2+3$
2. 再向左平移3个单位长度，依据“左加右减”（给自变量x加3）规律，解析式变为：
$y=(x-1+3)^2+3=(x+2)^2+3$
因此原二次函数的解析式为$y=(x+2)^2+3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移；图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心考查平移规律的正向和逆向应用，解题的关键是区分“左加右减”是仅针对自变量x的操作，避免混淆平移方向和加减的对应关系。
【难度系数】
0.8
解决本题可利用二次函数图象平移的可逆性思考：已知原函数向右平移3个单位、向下平移2个单位得到新函数，要推导原函数，只需将新函数按相反方向平移回去，即向上平移2个单位、向左平移3个单位即可。平移时牢记“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体值）”的规则，按步骤运算即可求解。
【解析】
根据平移的可逆性，对新二次函数$y=(x-1)^2+1$进行反向平移：
1. 先向上平移2个单位长度，依据“上加下减”规律，解析式变为：
$y=(x-1)^2+1+2=(x-1)^2+3$
2. 再向左平移3个单位长度，依据“左加右减”（给自变量x加3）规律，解析式变为：
$y=(x-1+3)^2+3=(x+2)^2+3$
因此原二次函数的解析式为$y=(x+2)^2+3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移；图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心考查平移规律的正向和逆向应用，解题的关键是区分“左加右减”是仅针对自变量x的操作，避免混淆平移方向和加减的对应关系。
【难度系数】
0.8
4. (2025—2026 瑞金检测)二次函数 $y=2(x-2)^2 -1$ 图象的对称轴是 （
A.直线 $x=-1$
B.直线 $x=2$
C.直线 $x=-2$
D.直线 $x=1$
B
）A.直线 $x=-1$
B.直线 $x=2$
C.直线 $x=-2$
D.直线 $x=1$
答案
4.B
解析
【分析】
本题给出的二次函数是顶点式形式，解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：该形式下二次函数的对称轴为直线$x=h$，注意括号内是$x$减去$h$，因此要准确对应参数$h$的取值，不要混淆符号。找到题干函数中对应的$h$值，即可直接得到对称轴。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其图象的对称轴为直线$x=h$。
将题干中的二次函数$y=2(x-2)^2 -1$与顶点式对照，可得$h=2$，因此该二次函数图象的对称轴是直线$x=2$。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数对称轴的判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查对二次函数顶点式各参数含义的掌握，只要熟记顶点式对应的对称轴公式，注意不要错判参数$h$的符号，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题给出的二次函数是顶点式形式，解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：该形式下二次函数的对称轴为直线$x=h$，注意括号内是$x$减去$h$，因此要准确对应参数$h$的取值，不要混淆符号。找到题干函数中对应的$h$值，即可直接得到对称轴。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其图象的对称轴为直线$x=h$。
将题干中的二次函数$y=2(x-2)^2 -1$与顶点式对照，可得$h=2$，因此该二次函数图象的对称轴是直线$x=2$。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数对称轴的判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查对二次函数顶点式各参数含义的掌握，只要熟记顶点式对应的对称轴公式，注意不要错判参数$h$的符号，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5. (2025—2026 赣州章贡区期中)抛物线 $y=3(x-1)^2+4$ 的开口方向和顶点坐标是 (
A.开口向上,$(-1,4)$
B.开口向下,$(-1,-4)$
C.开口向上,$(1,4)$
D.开口向下,$(1,-4)$
C
)A.开口向上,$(-1,4)$
B.开口向下,$(-1,-4)$
C.开口向上,$(1,4)$
D.开口向下,$(1,-4)$
答案
5.C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的基本性质，解题思路如下：第一步，先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的参数意义：参数$a$决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；顶点坐标为$(h,k)$，注意$h$是括号内$x$减去的数值，不要搞反符号。第二步，对应题目所给解析式找到$a、h、k$的值，分别判断开口方向和顶点坐标，最后匹配选项即可。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$：
1. 判断开口方向：所给解析式中$a=3＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 确定顶点坐标：解析式为$y=3(x-1)^2+4$，对应可得$h=1$，$k=4$，因此顶点坐标为$(1,4)$。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、开口方向判断、顶点坐标确定
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查对顶点式中各参数含义的掌握，易错点是容易误将$h$的符号记反，牢记参数对应规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的基本性质，解题思路如下：第一步，先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的参数意义：参数$a$决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；顶点坐标为$(h,k)$，注意$h$是括号内$x$减去的数值，不要搞反符号。第二步，对应题目所给解析式找到$a、h、k$的值，分别判断开口方向和顶点坐标，最后匹配选项即可。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$：
1. 判断开口方向：所给解析式中$a=3＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 确定顶点坐标：解析式为$y=3(x-1)^2+4$，对应可得$h=1$，$k=4$，因此顶点坐标为$(1,4)$。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、开口方向判断、顶点坐标确定
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查对顶点式中各参数含义的掌握，易错点是容易误将$h$的符号记反，牢记参数对应规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9
6.关于二次函数$y=-4(x+1)^2 -3$的图象，下列说法正确的是（
A.与$y$轴交点的坐标是$(0,-3)$
B.对称轴是直线$x=1$
C.顶点坐标为$(-1,3)$
D.当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大
D
）A.与$y$轴交点的坐标是$(0,-3)$
B.对称轴是直线$x=1$
C.顶点坐标为$(-1,3)$
D.当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
6.D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题思路如下：首先从给定的顶点式中提取参数$a$、$h$、$k$的值，明确函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，再逐一验证四个选项：与$y$轴交点代入$x=0$计算$y$值即可判断；对称轴直接对应$x=h$；顶点坐标为$(h,k)$；增减性结合开口方向和对称轴区间判断即可。
【解析】
将二次函数$y=-4(x+1)^2 -3$与顶点式$y=a(x-h)^2+k$对应，可得$a=-4$，$h=-1$，$k=-3$，逐一分析选项：
1. 验证A选项：求与$y$轴交点，令$x=0$，代入得$y=-4×(0+1)^2-3=-7$，即交点坐标为$(0,-7)$，A错误；
2. 验证B选项：顶点式的对称轴为直线$x=h$，即直线$x=-1$，B错误；
3. 验证C选项：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，即$(-1,-3)$，C错误；
4. 验证D选项：$a=-4＜0$，函数图象开口向下，在对称轴左侧（$x＜-1$）时，$y$随$x$的增大而增大，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查顶点式各参数的含义，以及结合开口方向、对称轴分析函数性质的能力，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题思路如下：首先从给定的顶点式中提取参数$a$、$h$、$k$的值，明确函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，再逐一验证四个选项：与$y$轴交点代入$x=0$计算$y$值即可判断；对称轴直接对应$x=h$；顶点坐标为$(h,k)$；增减性结合开口方向和对称轴区间判断即可。
【解析】
将二次函数$y=-4(x+1)^2 -3$与顶点式$y=a(x-h)^2+k$对应，可得$a=-4$，$h=-1$，$k=-3$，逐一分析选项：
1. 验证A选项：求与$y$轴交点，令$x=0$，代入得$y=-4×(0+1)^2-3=-7$，即交点坐标为$(0,-7)$，A错误；
2. 验证B选项：顶点式的对称轴为直线$x=h$，即直线$x=-1$，B错误；
3. 验证C选项：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，即$(-1,-3)$，C错误；
4. 验证D选项：$a=-4＜0$，函数图象开口向下，在对称轴左侧（$x＜-1$）时，$y$随$x$的增大而增大，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查顶点式各参数的含义，以及结合开口方向、对称轴分析函数性质的能力，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. (2025—2026 赣州信丰期中)设$A(-2,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(2,y_3)$是抛物线$y=-(x-1)^2 +k$上的三点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为
$y_2＞y_3＞y_1$
（用“＞”连接）。答案
7.$y_2＞y_3＞y_1$
解析
【分析】
要比较三个点的纵坐标大小，首先需明确抛物线$y=-(x-1)^2 +k$的开口方向与对称轴：该式是二次函数的顶点式，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，开口向下的抛物线上的点，横坐标离对称轴越近，对应的函数值越大。接下来计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可得出$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【解析】
对于抛物线$y=-(x-1)^2 +k$：
1. 由解析式得$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$；
2. 开口向下的抛物线上，点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大；
3. 分别计算三点到对称轴$x=1$的距离：
点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离：$\vert -2 -1\vert=3$
点$B(1,y_2)$到对称轴的距离：$\vert 1 -1\vert=0$
点$C(2,y_3)$到对称轴的距离：$\vert 2 -1\vert=1$
4. 距离大小关系为$0＜1＜3$，因此对应的函数值大小为$y_2＞y_3＞y_1$。
【答案】
$y_2＞y_3＞y_1$
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题关键是先确定抛物线的开口方向和对称轴，利用开口向下时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大的规律，无需代入计算即可快速比较函数值大小，是二次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的纵坐标大小，首先需明确抛物线$y=-(x-1)^2 +k$的开口方向与对称轴：该式是二次函数的顶点式，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，开口向下的抛物线上的点，横坐标离对称轴越近，对应的函数值越大。接下来计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可得出$y_1,y_2,y_3$的大小关系。
【解析】
对于抛物线$y=-(x-1)^2 +k$：
1. 由解析式得$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$；
2. 开口向下的抛物线上，点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大；
3. 分别计算三点到对称轴$x=1$的距离：
点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离：$\vert -2 -1\vert=3$
点$B(1,y_2)$到对称轴的距离：$\vert 1 -1\vert=0$
点$C(2,y_3)$到对称轴的距离：$\vert 2 -1\vert=1$
4. 距离大小关系为$0＜1＜3$，因此对应的函数值大小为$y_2＞y_3＞y_1$。
【答案】
$y_2＞y_3＞y_1$
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题关键是先确定抛物线的开口方向和对称轴，利用开口向下时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大的规律，无需代入计算即可快速比较函数值大小，是二次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
8.已知二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 +4$.若y随x的增大而减小,则x的取值范围是
$x＜1$
.答案
8.$x＜1$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：第一步先判断开口方向，由$a$的正负决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；第二步确定对称轴，顶点式的对称轴为直线$x=h$；第三步结合开口方向判断增减性：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，开口向下则相反。本题据此逐步推导即可得到x的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 +4$：
1. 确定参数：$a=\frac{1}{2}＞0$，$h=1$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$；
2. 根据开口向上的二次函数增减性：在对称轴左侧，y随x的增大而减小，因此当$x＜1$时，y随x的增大而减小。
【答案】
$x＜1$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用类题目，核心考查顶点式中参数对函数增减性的影响，熟练掌握顶点式的图象特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：第一步先判断开口方向，由$a$的正负决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；第二步确定对称轴，顶点式的对称轴为直线$x=h$；第三步结合开口方向判断增减性：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，开口向下则相反。本题据此逐步推导即可得到x的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 +4$：
1. 确定参数：$a=\frac{1}{2}＞0$，$h=1$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$；
2. 根据开口向上的二次函数增减性：在对称轴左侧，y随x的增大而减小，因此当$x＜1$时，y随x的增大而减小。
【答案】
$x＜1$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用类题目，核心考查顶点式中参数对函数增减性的影响，熟练掌握顶点式的图象特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
变式题 由性质确定自变量范围→由性质
确定字母范围
已知二次函数$y=(x-m)^2 -1$，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的取值范围是________。
确定字母范围
已知二次函数$y=(x-m)^2 -1$，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的取值范围是________。
答案
变式题 $m≥1$
解析
【分析】
先明确该二次函数为顶点式，首先判断开口方向：式中二次项系数a=1＞0，因此抛物线开口向上，其增减性以对称轴为分界点：对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。本题要求x＜1时y随x增大而减小，说明x＜1的区间必须全部落在对称轴左侧（含对称轴本身），据此列不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=(x-m)^2 -1$，
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=m$，
根据开口向上的二次函数性质：当$x＜m$时，$y$随$x$的增大而减小，
已知当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，说明$x＜1$的区间全部在对称轴左侧，
因此对称轴$x=m$需在直线$x=1$的右侧或与$x=1$重合，即$m≥1$。
【答案】
$m≥1$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；参数范围求解
【点评】
本题考查二次函数增减性的应用，解题时需结合抛物线开口方向、对称轴判断增减区间，易错点是容易遗漏m=1的情况，借助数形结合思想分析区间和对称轴的位置关系可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
先明确该二次函数为顶点式，首先判断开口方向：式中二次项系数a=1＞0，因此抛物线开口向上，其增减性以对称轴为分界点：对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大。本题要求x＜1时y随x增大而减小，说明x＜1的区间必须全部落在对称轴左侧（含对称轴本身），据此列不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
解：对于二次函数$y=(x-m)^2 -1$，
∵二次项系数$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=m$，
根据开口向上的二次函数性质：当$x＜m$时，$y$随$x$的增大而减小，
已知当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，说明$x＜1$的区间全部在对称轴左侧，
因此对称轴$x=m$需在直线$x=1$的右侧或与$x=1$重合，即$m≥1$。
【答案】
$m≥1$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；参数范围求解
【点评】
本题考查二次函数增减性的应用，解题时需结合抛物线开口方向、对称轴判断增减区间，易错点是容易遗漏m=1的情况，借助数形结合思想分析区间和对称轴的位置关系可有效降低错误率。
【难度系数】
0.7
9.已知点$A(m-1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2 +n$的图象上.若$y_1 ＜ y_2$，则$m$的取值范围为
$m＞\frac{3}{2}$
答案
9.$m＞\frac{3}{2}$
解析
【分析】
首先，已知二次函数的解析式为顶点式，可直接将A、B两点坐标代入解析式表示出$y_1$和$y_2$，再结合$y_1＜y_2$的条件列不等式求解。思路如下：①将两点横坐标代入函数，分别写出$y_1$、$y_2$的表达式；②根据$y_1＜y_2$列出关于m的不等式；③化简不等式求出m的取值范围即可。
【解析】
∵ 点$A(m-1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2 +n$的图象上
∴ $y_1=(m-1-1)^2 +n=(m-2)^2 +n$，$y_2=(m-1)^2 +n$
∵ $y_1 ＜ y_2$
∴ $(m-2)^2 +n ＜ (m-1)^2 +n$
两边同时减去n，得：$(m-2)^2 ＜ (m-1)^2$
展开平方项：$m^2 -4m +4 ＜ m^2 -2m +1$
移项、合并同类项：$-2m ＜ -3$
系数化为1（不等号方向改变）：$m ＞ \frac{3}{2}$
【答案】
$m＞\frac{3}{2}$
【知识点】
二次函数顶点式的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数性质的基础应用，解题方法灵活，既可以通过代入列不等式直接求解，也可以结合开口方向和点到对称轴的距离关系快速判断，是巩固二次函数顶点式性质的典型习题。
【难度系数】
0.7
首先，已知二次函数的解析式为顶点式，可直接将A、B两点坐标代入解析式表示出$y_1$和$y_2$，再结合$y_1＜y_2$的条件列不等式求解。思路如下：①将两点横坐标代入函数，分别写出$y_1$、$y_2$的表达式；②根据$y_1＜y_2$列出关于m的不等式；③化简不等式求出m的取值范围即可。
【解析】
∵ 点$A(m-1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2 +n$的图象上
∴ $y_1=(m-1-1)^2 +n=(m-2)^2 +n$，$y_2=(m-1)^2 +n$
∵ $y_1 ＜ y_2$
∴ $(m-2)^2 +n ＜ (m-1)^2 +n$
两边同时减去n，得：$(m-2)^2 ＜ (m-1)^2$
展开平方项：$m^2 -4m +4 ＜ m^2 -2m +1$
移项、合并同类项：$-2m ＜ -3$
系数化为1（不等号方向改变）：$m ＞ \frac{3}{2}$
【答案】
$m＞\frac{3}{2}$
【知识点】
二次函数顶点式的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数性质的基础应用，解题方法灵活，既可以通过代入列不等式直接求解，也可以结合开口方向和点到对称轴的距离关系快速判断，是巩固二次函数顶点式性质的典型习题。
【难度系数】
0.7
10.(教材变式)在体育训练中，小明掷出的实心球的运动轨迹呈如图所示的抛物线形.若实心球运动的竖直高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的函数关系式为$y=-\frac{1}{9}(x-3)^2+\frac{25}{9}(x≥0)$，则小明此次掷球的水平距离OA为
8
m.答案
10.8 【解析】令$y=0$,则$-\frac{1}{9}(x-3)^2+\frac{25}{9}=0$,解得$x_1=8,x_2=-2$(不符合题意,舍去),
∴$A(8,0)$,
∴$OA=8$ m.
∴$A(8,0)$,
∴$OA=8$ m.
解析
【分析】
要求OA的长度，首先观察图象可知，点A是抛物线与x轴正半轴的交点，对应实心球落地的状态，此时竖直高度y=0。解题思路为：先令函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求解方程后结合x≥0的实际意义舍去负根，得到的正根就是点A的横坐标，也就是OA的长度。
【解析】
解：实心球落地时竖直高度为0，即y=0，将y=0代入函数解析式$y=-\frac{1}{9}(x-3)^2+\frac{25}{9}$，得：
$-\frac{1}{9}(x-3)^2+\frac{25}{9}=0$
方程两边同时乘9，得：$-(x-3)^2+25=0$
移项得：$(x-3)^2=25$
开平方得：$x-3=\pm5$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$
因为水平距离$x≥0$，所以$x=-2$不符合题意，舍去，即点A坐标为$(8,0)$，因此$OA=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的求解
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的应用，解题关键是结合实际意义明确y=0对应实心球落地的状态，求解方程后需根据实际情境舍去不合逻辑的根，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
要求OA的长度，首先观察图象可知，点A是抛物线与x轴正半轴的交点，对应实心球落地的状态，此时竖直高度y=0。解题思路为：先令函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求解方程后结合x≥0的实际意义舍去负根，得到的正根就是点A的横坐标，也就是OA的长度。
【解析】
解：实心球落地时竖直高度为0，即y=0，将y=0代入函数解析式$y=-\frac{1}{9}(x-3)^2+\frac{25}{9}$，得：
$-\frac{1}{9}(x-3)^2+\frac{25}{9}=0$
方程两边同时乘9，得：$-(x-3)^2+25=0$
移项得：$(x-3)^2=25$
开平方得：$x-3=\pm5$
解得$x_1=8$，$x_2=-2$
因为水平距离$x≥0$，所以$x=-2$不符合题意，舍去，即点A坐标为$(8,0)$，因此$OA=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的求解
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的应用，解题关键是结合实际意义明确y=0对应实心球落地的状态，求解方程后需根据实际情境舍去不合逻辑的根，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
11. (2025—2026 南昌期中)已知二次函数 $y = a(x-2)^2 -1(a≠0)$，且图象过点$(3,0)$.
(1)求$a$的值.
(2)若二次函数的图象交$x$轴于$A,B$两点,求$AB$的长.
(1)求$a$的值.
(2)若二次函数的图象交$x$轴于$A,B$两点,求$AB$的长.
答案
11.解:(1)把点$(3,0)$代入$y=a(x-2)^2-1$,得$a-1=0$,解得$a=1$.
(2)令$y=0$,得$(x-2)^2-1=0$,
∴$x_1=1,x_2=3$,则$AB=2$.
(2)令$y=0$,得$(x-2)^2-1=0$,
∴$x_1=1,x_2=3$,则$AB=2$.
解析
【分析】
(1) 第一问已知二次函数的顶点式解析式，以及图象经过的定点坐标，可通过待定系数法，将点的横、纵坐标代入解析式，得到关于参数a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
(2) 第二问求二次函数与x轴两个交点A、B的距离，x轴上点的纵坐标为0，因此先令y=0，将二次函数转化为一元二次方程，求解得到两个交点的横坐标，再计算两个横坐标差值的绝对值，即为AB的长度。
【解析】
(1) 把点$(3,0)$代入$y=a(x-2)^2-1$，得：
$0=a×(3-2)^2-1$
化简得$a-1=0$，解得$a=1$。
(2) 由(1)可知二次函数解析式为$y=(x-2)^2-1$，令$y=0$，得：
$(x-2)^2-1=0$
移项开方得$x-2=\pm1$，解得$x_1=1,x_2=3$，
因此A、B两点横坐标分别为1和3，$AB=|3-1|=2$。
【答案】
(1) $a=1$；(2) $AB=2$
【知识点】
待定系数法，二次函数与x轴交点，数轴两点距离
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础应用题型，侧重考查基础运算能力以及对二次函数与一元二次方程关联的理解，属于二次函数章节的常考基础题，掌握核心方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问已知二次函数的顶点式解析式，以及图象经过的定点坐标，可通过待定系数法，将点的横、纵坐标代入解析式，得到关于参数a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
(2) 第二问求二次函数与x轴两个交点A、B的距离，x轴上点的纵坐标为0，因此先令y=0，将二次函数转化为一元二次方程，求解得到两个交点的横坐标，再计算两个横坐标差值的绝对值，即为AB的长度。
【解析】
(1) 把点$(3,0)$代入$y=a(x-2)^2-1$，得：
$0=a×(3-2)^2-1$
化简得$a-1=0$，解得$a=1$。
(2) 由(1)可知二次函数解析式为$y=(x-2)^2-1$，令$y=0$，得：
$(x-2)^2-1=0$
移项开方得$x-2=\pm1$，解得$x_1=1,x_2=3$，
因此A、B两点横坐标分别为1和3，$AB=|3-1|=2$。
【答案】
(1) $a=1$；(2) $AB=2$
【知识点】
待定系数法，二次函数与x轴交点，数轴两点距离
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础应用题型，侧重考查基础运算能力以及对二次函数与一元二次方程关联的理解，属于二次函数章节的常考基础题，掌握核心方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
