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【例】(2025—2026 高安检测)已知(-1，$ y_1 $)，(-2，$ y_2 $)，(-4，$ y_3 $)是抛物线 $ y=-2x^2 -8x +m $ 上的点，则 $ y_1,y_2,y_3 $ 的大小关系为（用“＜”连接）。
【点拨】∵ $ y=-2x^2 -8x +m=-2(x+2)^2 +m+8 $，
∴抛物线的对称轴为直线 $ x=-2 $。
∵ $ a=-2＜0 $，
∴抛物线开口向下，
∴当 $ x＜-2 $ 时，y随x的增大而增大，当 $ x=-2 $ 时，函数有最大值。
∵(-1，$ y_1 $)关于直线 $ x=-2 $ 的对称点为(-3，$ y_1 $)，-4＜-3＜-2，∴ $ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $。
【解】$ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $
【点拨】∵ $ y=-2x^2 -8x +m=-2(x+2)^2 +m+8 $，
∴抛物线的对称轴为直线 $ x=-2 $。
∵ $ a=-2＜0 $，
∴抛物线开口向下，
∴当 $ x＜-2 $ 时，y随x的增大而增大，当 $ x=-2 $ 时，函数有最大值。
∵(-1，$ y_1 $)关于直线 $ x=-2 $ 的对称点为(-3，$ y_1 $)，-4＜-3＜-2，∴ $ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $。
【解】$ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $
答案
解：
将抛物线解析式配方变形：
$y=-2x^2-8x+m=-2(x+2)^2+m+8$
∴抛物线的对称轴为直线$x=-2$。
∵$a=-2＜0$，
∴抛物线开口向下，
∴当$x=-2$时，函数取得最大值；当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大。
点$(-1,y_1)$关于直线$x=-2$的对称点为$(-3,y_1)$，
又∵$-4＜-3＜-2$，
∴$y_3＜y_1＜y_2$。
将抛物线解析式配方变形：
$y=-2x^2-8x+m=-2(x+2)^2+m+8$
∴抛物线的对称轴为直线$x=-2$。
∵$a=-2＜0$，
∴抛物线开口向下，
∴当$x=-2$时，函数取得最大值；当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大。
点$(-1,y_1)$关于直线$x=-2$的对称点为$(-3,y_1)$，
又∵$-4＜-3＜-2$，
∴$y_3＜y_1＜y_2$。
解析
【分析】
要比较抛物线上三个点的函数值大小，需先明确抛物线的开口方向与对称轴，这是判断二次函数增减性的核心依据。解题思路如下：第一步将二次函数一般式配方为顶点式，确定对称轴；第二步根据二次项系数的正负判断开口方向，明确函数的增减规律；第三步由于给出的点分布在对称轴两侧，可利用抛物线的对称性，将不在同侧的点转化到对称轴同侧，再根据同侧的增减性比较横坐标大小，最终得出函数值的大小关系。
【解析】
将抛物线解析式配方变形：
$y=-2x^2-8x+m=-2(x+2)^2+m+8$
∴抛物线的对称轴为直线$x=-2$。
∵$a=-2＜0$，
∴抛物线开口向下，
∴当$x=-2$时，函数取得最大值；当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大。
点$(-1,y_1)$关于直线$x=-2$的对称点为$(-3,y_1)$，
又
∵$-4＜-3＜-2$，
∴$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
【知识点】
二次函数的图象性质，二次函数的对称性，二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数函数值比较的典型题型，核心是利用二次函数的对称性和增减性解题，相比直接代入计算函数值的方法，利用性质求解更简便高效，解题时需注意先确定开口方向和对称轴，再对不同侧的点做对称转化。
【难度系数】
0.7
要比较抛物线上三个点的函数值大小，需先明确抛物线的开口方向与对称轴，这是判断二次函数增减性的核心依据。解题思路如下：第一步将二次函数一般式配方为顶点式，确定对称轴；第二步根据二次项系数的正负判断开口方向，明确函数的增减规律；第三步由于给出的点分布在对称轴两侧，可利用抛物线的对称性，将不在同侧的点转化到对称轴同侧，再根据同侧的增减性比较横坐标大小，最终得出函数值的大小关系。
【解析】
将抛物线解析式配方变形：
$y=-2x^2-8x+m=-2(x+2)^2+m+8$
∴抛物线的对称轴为直线$x=-2$。
∵$a=-2＜0$，
∴抛物线开口向下，
∴当$x=-2$时，函数取得最大值；当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大。
点$(-1,y_1)$关于直线$x=-2$的对称点为$(-3,y_1)$，
又
∵$-4＜-3＜-2$，
∴$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
【知识点】
二次函数的图象性质，二次函数的对称性，二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数函数值比较的典型题型，核心是利用二次函数的对称性和增减性解题，相比直接代入计算函数值的方法，利用性质求解更简便高效，解题时需注意先确定开口方向和对称轴，再对不同侧的点做对称转化。
【难度系数】
0.7
1. (2025—2026 高安检测)将二次函数$y=-x^2-2x+3$配方成$y=a(x-h)^2+k$的形式，下列选项正确的是（
A.$y=-(x-1)^2+3$
B.$y=-(x+1)^2+4$
C.$y=(x-1)^2+3$
D.$y=-(x-1)^2+4$
B
）A.$y=-(x-1)^2+3$
B.$y=-(x+1)^2+4$
C.$y=(x-1)^2+3$
D.$y=-(x-1)^2+4$
答案
1.B
解析
【分析】
要将二次函数的一般式配方为顶点式，需遵循配方法的固定步骤：首先把二次项和一次项组合，提取二次项系数，将括号内的二次项系数化为1；再加上一次项系数一半的平方凑完全平方，同时要做恒等变形，保证原式的值不变；最后整理成$y=a(x-h)^2+k$的形式，对应选项判断即可。解题时需注意，若二次项系数为负数，提取负号后括号内的各项要变号，避免出现符号错误。
【解析】
对$y=-x^2-2x+3$进行配方，步骤如下：
1. 提取二次项系数$-1$，将二次项、一次项放入括号内：
$y=-(x^2+2x)+3$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为2，其一半的平方为$1^2=1$，括号内加1再减1保证式子恒等：
$y=-(x^2+2x+1-1)+3$
3. 整理完全平方部分，去括号：
$y=-[(x+1)^2-1]+3=-(x+1)^2+1+3$
4. 合并常数项得：
$y=-(x+1)^2+4$
对比选项，B选项符合推导结果。
【答案】
B
【知识点】
二次函数配方法；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数配方的基础考法，重点考查配方法的操作规范，易错点是提取负系数时符号处理错误，熟练掌握配方法步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要将二次函数的一般式配方为顶点式，需遵循配方法的固定步骤：首先把二次项和一次项组合，提取二次项系数，将括号内的二次项系数化为1；再加上一次项系数一半的平方凑完全平方，同时要做恒等变形，保证原式的值不变；最后整理成$y=a(x-h)^2+k$的形式，对应选项判断即可。解题时需注意，若二次项系数为负数，提取负号后括号内的各项要变号，避免出现符号错误。
【解析】
对$y=-x^2-2x+3$进行配方，步骤如下：
1. 提取二次项系数$-1$，将二次项、一次项放入括号内：
$y=-(x^2+2x)+3$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为2，其一半的平方为$1^2=1$，括号内加1再减1保证式子恒等：
$y=-(x^2+2x+1-1)+3$
3. 整理完全平方部分，去括号：
$y=-[(x+1)^2-1]+3=-(x+1)^2+1+3$
4. 合并常数项得：
$y=-(x+1)^2+4$
对比选项，B选项符合推导结果。
【答案】
B
【知识点】
二次函数配方法；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数配方的基础考法，重点考查配方法的操作规范，易错点是提取负系数时符号处理错误，熟练掌握配方法步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 二次函数 $y=(x-2)(x-4)+6$ 图象的顶点坐标是 （
A.$(2,6)$
B.$(4,6)$
C.$(3,-5)$
D.$(3,5)$
D
）A.$(2,6)$
B.$(4,6)$
C.$(3,-5)$
D.$(3,5)$
答案
2.D
解析
【分析】
本题要求二次函数图象的顶点坐标，解题思路如下：首先需将给定的非标准形式的二次函数解析式展开整理为一般式$y=ax^2+bx+c$；接下来可通过两种常用方法求顶点：①配方法：将一般式配方为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到顶点坐标为$(h,k)$；②公式法：先通过对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出顶点的横坐标，再将横坐标代入解析式求出纵坐标即可。也可利用乘积项$(x-2)(x-4)$的对称性，直接得到对称轴为$x=\frac{2+4}{2}=3$，简化计算。
【解析】
首先将函数解析式展开整理为一般式：
$\begin{aligned}y&=(x-2)(x-4)+6\\&=x^2-4x-2x+8+6\\&=x^2-6x+14\end{aligned}$
使用配方法转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2-6x+14\\&=x^2-6x+9+5\\&=(x-3)^2+5\end{aligned}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得该函数图象的顶点坐标为$(3,5)$，对应选项D。
（也可使用公式法验证：$a=1,b=-6$，顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2×1}=3$，代入解析式得$y=(3-2)(3-4)+6=5$，顶点坐标为$(3,5)$）
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点坐标求解、二次函数表达式变形、二次函数对称性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题方法灵活，既可以通过常规的表达式变形求解，也可以利用二次函数的对称性简化计算，熟练掌握顶点坐标的核心求解方法即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
本题要求二次函数图象的顶点坐标，解题思路如下：首先需将给定的非标准形式的二次函数解析式展开整理为一般式$y=ax^2+bx+c$；接下来可通过两种常用方法求顶点：①配方法：将一般式配方为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到顶点坐标为$(h,k)$；②公式法：先通过对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出顶点的横坐标，再将横坐标代入解析式求出纵坐标即可。也可利用乘积项$(x-2)(x-4)$的对称性，直接得到对称轴为$x=\frac{2+4}{2}=3$，简化计算。
【解析】
首先将函数解析式展开整理为一般式：
$\begin{aligned}y&=(x-2)(x-4)+6\\&=x^2-4x-2x+8+6\\&=x^2-6x+14\end{aligned}$
使用配方法转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2-6x+14\\&=x^2-6x+9+5\\&=(x-3)^2+5\end{aligned}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得该函数图象的顶点坐标为$(3,5)$，对应选项D。
（也可使用公式法验证：$a=1,b=-6$，顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2×1}=3$，代入解析式得$y=(3-2)(3-4)+6=5$，顶点坐标为$(3,5)$）
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点坐标求解、二次函数表达式变形、二次函数对称性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题方法灵活，既可以通过常规的表达式变形求解，也可以利用二次函数的对称性简化计算，熟练掌握顶点坐标的核心求解方法即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
3. 将抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$向下平移2个单位长度，以下说法错误的是（
A.开口方向不变
B.对称轴不变
C.y随x的变化情况不变
D.与y轴的交点不变
D
）A.开口方向不变
B.对称轴不变
C.y随x的变化情况不变
D.与y轴的交点不变
答案
3.D
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数上下平移的规律：上下平移只改变常数项，二次项系数a和一次项系数b均不变。再结合二次函数的性质，逐一分析每个选项的正误即可。
【解析】
将抛物线$y=ax^2+bx+c$向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c-2$。
选项A：抛物线的开口方向由二次项系数$a$决定，平移后$a$不变，因此开口方向不变，A说法正确，不符合题意；
选项B：抛物线对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，平移后$a$、$b$均不变，因此对称轴不变，B说法正确，不符合题意；
选项C：$y$随$x$的变化情况（即函数增减性）由开口方向和对称轴共同决定，这两个要素平移后均未改变，因此增减性不变，C说法正确，不符合题意；
选项D：原抛物线与$y$轴交点为$(0,c)$，平移后新抛物线与$y$轴交点为$(0,c-2)$，交点位置发生了变化，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的平移规律；二次函数的性质；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数上下平移的性质，解题关键是明确上下平移时仅常数项发生变化，$a$、$b$保持不变，由此可快速判断开口、对称轴等性质是否改变。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确二次函数上下平移的规律：上下平移只改变常数项，二次项系数a和一次项系数b均不变。再结合二次函数的性质，逐一分析每个选项的正误即可。
【解析】
将抛物线$y=ax^2+bx+c$向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c-2$。
选项A：抛物线的开口方向由二次项系数$a$决定，平移后$a$不变，因此开口方向不变，A说法正确，不符合题意；
选项B：抛物线对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，平移后$a$、$b$均不变，因此对称轴不变，B说法正确，不符合题意；
选项C：$y$随$x$的变化情况（即函数增减性）由开口方向和对称轴共同决定，这两个要素平移后均未改变，因此增减性不变，C说法正确，不符合题意；
选项D：原抛物线与$y$轴交点为$(0,c)$，平移后新抛物线与$y$轴交点为$(0,c-2)$，交点位置发生了变化，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的平移规律；二次函数的性质；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数上下平移的性质，解题关键是明确上下平移时仅常数项发生变化，$a$、$b$保持不变，由此可快速判断开口、对称轴等性质是否改变。
【难度系数】
0.8
