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4.将函数$y=x^2+bx+c$的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为$y=x^2-2x-3$，则$b,c$的值分别为
2,0
。答案
4.2,0 【解析】
∵$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴该函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$.由题意可知,将函数$y=x^2-2x-3$的图象向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,就能得到函数$y=x^2+bx+c$的图象,
∴函数$y=x^2+bx+c$图象的顶点坐标为$(-1,-1),∴y=x^2+bx+c=(x+1)^2-1=x^2+2x,∴b=2,c=0.$
∵$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴该函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$.由题意可知,将函数$y=x^2-2x-3$的图象向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,就能得到函数$y=x^2+bx+c$的图象,
∴函数$y=x^2+bx+c$图象的顶点坐标为$(-1,-1),∴y=x^2+bx+c=(x+1)^2-1=x^2+2x,∴b=2,c=0.$
解析
【分析】
解决本题可采用逆推思路：二次函数平移过程中二次项系数a不变，且平移本质是顶点的平移。已知原函数经过向右平移2个单位、向下平移3个单位得到新函数，因此将新函数反向平移（向左平移2个单位、向上平移3个单位）即可得到原函数。解题时先将平移后的函数解析式配方为顶点式，求出其顶点坐标，再根据平移规则得到原函数的顶点坐标，写出原函数的顶点式后展开为一般式，对比系数就能求出b、c的值。
【解析】
首先将平移后的函数解析式配方为顶点式：
$y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4$，
可得平移后函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$。
根据题意，将该函数图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，即可得到原函数$y=x^2+bx+c$的图象：
顶点横坐标平移后为$1-2=-1$，纵坐标平移后为$-4+3=-1$，即原函数图象的顶点坐标为$(-1,-1)$。
因为二次项系数不变为1，所以原函数的顶点式为：
$y=(x+1)^2-1$，
展开得$y=x^2+2x+1-1=x^2+2x$，
对比$y=x^2+bx+c$，可得$b=2$，$c=0$。
【答案】
2，0
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数式的互化；二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数的平移问题，采用逆推法能简化计算过程，解题的关键是牢记平移“左加右减、上加下减”的规则，同时熟练掌握二次函数一般式和顶点式的互化方法。
【难度系数】
0.7
解决本题可采用逆推思路：二次函数平移过程中二次项系数a不变，且平移本质是顶点的平移。已知原函数经过向右平移2个单位、向下平移3个单位得到新函数，因此将新函数反向平移（向左平移2个单位、向上平移3个单位）即可得到原函数。解题时先将平移后的函数解析式配方为顶点式，求出其顶点坐标，再根据平移规则得到原函数的顶点坐标，写出原函数的顶点式后展开为一般式，对比系数就能求出b、c的值。
【解析】
首先将平移后的函数解析式配方为顶点式：
$y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4$，
可得平移后函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$。
根据题意，将该函数图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，即可得到原函数$y=x^2+bx+c$的图象：
顶点横坐标平移后为$1-2=-1$，纵坐标平移后为$-4+3=-1$，即原函数图象的顶点坐标为$(-1,-1)$。
因为二次项系数不变为1，所以原函数的顶点式为：
$y=(x+1)^2-1$，
展开得$y=x^2+2x+1-1=x^2+2x$，
对比$y=x^2+bx+c$，可得$b=2$，$c=0$。
【答案】
2，0
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数式的互化；二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数的平移问题，采用逆推法能简化计算过程，解题的关键是牢记平移“左加右减、上加下减”的规则，同时熟练掌握二次函数一般式和顶点式的互化方法。
【难度系数】
0.7
5. 二次函数 $y=ax^2+bx$ 的图象如图所示，则一次函数 $y=x+b$ 的图象一定不经过（
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
变式题 根据图象判断字母系数→根据字
(2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴。
D
）A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
变式题 根据图象判断字母系数→根据字
(2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴。
答案
5.D 变式题 C
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图象提取关键信息推导系数a、b的符号：①根据抛物线开口向下，可得a＜0；②根据对称轴位于y轴右侧，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$和a＜0的结论，可推出b＞0。再根据一次函数的一次项系数、常数项的符号，即可判断一次函数图象经过的象限，得到答案。
【解析】
第5题
1. 二次函数图象开口向下，因此$a＜0$；
2. 对称轴$x=-\frac{b}{2a}$在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，则$2a＜0$，要使分式值为正，分子$-b＜0$，解得$b＞0$；
3. 一次函数$y=x+b$中，一次项系数$k=1＞0$，常数项$b＞0$，图象从左到右上升且与y轴交于正半轴，经过第一、二、三象限，因此一定不经过第四象限。
变式题
由上述推导得$a＜0$，$b＞0$，一次函数$y=ax+b$的一次项系数$a＜0$，常数项$b＞0$，图象从左到右下降且与y轴交于正半轴，经过第一、二、四象限，因此一定不经过第三象限。
【答案】
5.D；变式题C
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 一次函数图象与性质
【点评】
本题是二次函数和一次函数的综合基础题，核心考查函数图象特征与系数的对应关系，解题时按“由二次函数图象推系数→由系数判断一次函数图象”的步骤推导即可，是函数部分的高频考点。
【难度系数】
0.7
解题时首先从二次函数图象提取关键信息推导系数a、b的符号：①根据抛物线开口向下，可得a＜0；②根据对称轴位于y轴右侧，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$和a＜0的结论，可推出b＞0。再根据一次函数的一次项系数、常数项的符号，即可判断一次函数图象经过的象限，得到答案。
【解析】
第5题
1. 二次函数图象开口向下，因此$a＜0$；
2. 对称轴$x=-\frac{b}{2a}$在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，则$2a＜0$，要使分式值为正，分子$-b＜0$，解得$b＞0$；
3. 一次函数$y=x+b$中，一次项系数$k=1＞0$，常数项$b＞0$，图象从左到右上升且与y轴交于正半轴，经过第一、二、三象限，因此一定不经过第四象限。
变式题
由上述推导得$a＜0$，$b＞0$，一次函数$y=ax+b$的一次项系数$a＜0$，常数项$b＞0$，图象从左到右下降且与y轴交于正半轴，经过第一、二、四象限，因此一定不经过第三象限。
【答案】
5.D；变式题C
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 一次函数图象与性质
【点评】
本题是二次函数和一次函数的综合基础题，核心考查函数图象特征与系数的对应关系，解题时按“由二次函数图象推系数→由系数判断一次函数图象”的步骤推导即可，是函数部分的高频考点。
【难度系数】
0.7
9.已知二次函数的图象经过点$(-1,-5),(0,-4)$和$(1,1)$,则该二次函数的解析式为（
A.$y=-6x^2+3x+4$
B.$y=-2x^2+3x-4$
C.$y=x^2+2x-4$
D.$y=2x^2+3x-4$
D
）A.$y=-6x^2+3x+4$
B.$y=-2x^2+3x-4$
C.$y=x^2+2x-4$
D.$y=2x^2+3x-4$
答案
9.D
解析
【分析】
本题是求二次函数解析式的基础题，解题思路有两种：①待定系数法：已知二次函数经过三个非特殊点，因此设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，即可确定解析式；②代入排除法：作为选择题，可将已知点的坐标逐一代入选项验证，不符合的直接排除，快速锁定正确答案。
【解析】
方法一：待定系数法
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将点$(0,-4)$代入解析式，得：$0+0+c=-4$，解得$c=-4$；
将点$(-1,-5)$、$c=-4$代入解析式，得：$a×(-1)^2 + b×(-1) -4 = -5$，整理得$a - b = -1$ ①；
将点$(1,1)$、$c=-4$代入解析式，得：$a×1^2 + b×1 -4 = 1$，整理得$a + b = 5$ ②；
①+②得：$2a=4$，解得$a=2$；
将$a=2$代入②得：$2 + b =5$，解得$b=3$；
因此二次函数解析式为$y=2x^2+3x-4$，对应选项D。
方法二：代入排除法
首先将点$(0,-4)$代入各选项：
A选项：当$x=0$时，$y=4≠-4$，排除A；
剩余B、C、D均满足$x=0$时$y=-4$，再代入点$(1,1)$验证：
B选项：当$x=1$时，$y=-2+3-4=-3≠1$，排除B；
C选项：当$x=1$时，$y=1+2-4=-1≠1$，排除C；
D选项：当$x=1$时，$y=2+3-4=1$，符合；再代入$(-1,-5)$验证：$y=2×(-1)^2+3×(-1)-4=2-3-4=-5$，完全符合，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式；三元一次方程组求解；二次函数一般式
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，侧重考查待定系数法的应用，选择题型可灵活选用代入排除法提高解题速度，掌握坐标代入计算和方程求解能力是解题核心。
【难度系数】
0.8
本题是求二次函数解析式的基础题，解题思路有两种：①待定系数法：已知二次函数经过三个非特殊点，因此设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，即可确定解析式；②代入排除法：作为选择题，可将已知点的坐标逐一代入选项验证，不符合的直接排除，快速锁定正确答案。
【解析】
方法一：待定系数法
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将点$(0,-4)$代入解析式，得：$0+0+c=-4$，解得$c=-4$；
将点$(-1,-5)$、$c=-4$代入解析式，得：$a×(-1)^2 + b×(-1) -4 = -5$，整理得$a - b = -1$ ①；
将点$(1,1)$、$c=-4$代入解析式，得：$a×1^2 + b×1 -4 = 1$，整理得$a + b = 5$ ②；
①+②得：$2a=4$，解得$a=2$；
将$a=2$代入②得：$2 + b =5$，解得$b=3$；
因此二次函数解析式为$y=2x^2+3x-4$，对应选项D。
方法二：代入排除法
首先将点$(0,-4)$代入各选项：
A选项：当$x=0$时，$y=4≠-4$，排除A；
剩余B、C、D均满足$x=0$时$y=-4$，再代入点$(1,1)$验证：
B选项：当$x=1$时，$y=-2+3-4=-3≠1$，排除B；
C选项：当$x=1$时，$y=1+2-4=-1≠1$，排除C；
D选项：当$x=1$时，$y=2+3-4=1$，符合；再代入$(-1,-5)$验证：$y=2×(-1)^2+3×(-1)-4=2-3-4=-5$，完全符合，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求解析式；三元一次方程组求解；二次函数一般式
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，侧重考查待定系数法的应用，选择题型可灵活选用代入排除法提高解题速度，掌握坐标代入计算和方程求解能力是解题核心。
【难度系数】
0.8
6.若$A(-6,y_1),B(-3,y_2),C(1,y_3)$为二次函数$y=x^2+4x+m$的图象上的三点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
答案
6.D
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三点的纵坐标大小，有两种常用思路：一是直接将三点横坐标代入函数表达式，计算出对应的y值后比较；二是先确定抛物线的开口方向和对称轴，结合“开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大”的规律判断。两种方法都适用本题，利用对称轴的方法计算更简便。
【解析】
解法一：利用二次函数性质求解
1. 确定抛物线开口方向和对称轴：
对于二次函数$y=x^2+4x+m$，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1,b=4$得：$x=-\frac{4}{2×1}=-2$。
2. 计算各点到对称轴的水平距离：
点$A(-6,y_1)$到$x=-2$的距离：$|-6-(-2)|=4$
点$B(-3,y_2)$到$x=-2$的距离：$|-3-(-2)|=1$
点$C(1,y_3)$到$x=-2$的距离：$|1-(-2)|=3$
3. 比较函数值大小：
开口向上的抛物线，点到对称轴距离越远，函数值越大。因为$1＜3＜4$，所以$y_2＜y_3＜y_1$。
解法二：代入求值法
将三点横坐标分别代入函数表达式：
$y_1=(-6)^2+4×(-6)+m=36-24+m=12+m$
$y_2=(-3)^2+4×(-3)+m=9-12+m=-3+m$
$y_3=1^2+4×1+m=1+4+m=5+m$
因为$-3+m＜5+m＜12+m$，所以$y_2＜y_3＜y_1$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质、函数值大小比较、对称轴计算
【点评】
本题是二次函数的常规基础题，两种解题方法都不难掌握，熟练运用二次函数开口方向、对称轴的性质可以快速解题，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上三点的纵坐标大小，有两种常用思路：一是直接将三点横坐标代入函数表达式，计算出对应的y值后比较；二是先确定抛物线的开口方向和对称轴，结合“开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大”的规律判断。两种方法都适用本题，利用对称轴的方法计算更简便。
【解析】
解法一：利用二次函数性质求解
1. 确定抛物线开口方向和对称轴：
对于二次函数$y=x^2+4x+m$，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1,b=4$得：$x=-\frac{4}{2×1}=-2$。
2. 计算各点到对称轴的水平距离：
点$A(-6,y_1)$到$x=-2$的距离：$|-6-(-2)|=4$
点$B(-3,y_2)$到$x=-2$的距离：$|-3-(-2)|=1$
点$C(1,y_3)$到$x=-2$的距离：$|1-(-2)|=3$
3. 比较函数值大小：
开口向上的抛物线，点到对称轴距离越远，函数值越大。因为$1＜3＜4$，所以$y_2＜y_3＜y_1$。
解法二：代入求值法
将三点横坐标分别代入函数表达式：
$y_1=(-6)^2+4×(-6)+m=36-24+m=12+m$
$y_2=(-3)^2+4×(-3)+m=9-12+m=-3+m$
$y_3=1^2+4×1+m=1+4+m=5+m$
因为$-3+m＜5+m＜12+m$，所以$y_2＜y_3＜y_1$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质、函数值大小比较、对称轴计算
【点评】
本题是二次函数的常规基础题，两种解题方法都不难掌握，熟练运用二次函数开口方向、对称轴的性质可以快速解题，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
7. (2025—2026 上饶鄱阳检测)二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1 $ 图象的对称轴是直线
x=2
。答案
7.x=2
解析
【分析】
求二次函数图象的对称轴有两种常用方法，一是公式法，利用二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；二是配方法，将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到对称轴为直线$x=h$。本题可先确定二次函数一般式中$a、b$的取值，优先用公式法快速计算，也可通过配方求解。
【解析】
方法一（公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$中，$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$，代入公式得：
$x=-\frac{-2}{2×\frac{1}{2}}=\frac{2}{1}=2$。
方法二（配方法）：
将二次函数化为顶点式：
$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$
$=\frac{1}{2}(x^2-4x)+1$
$=\frac{1}{2}(x^2-4x+4-4)+1$
$=\frac{1}{2}(x-2)^2 - 2 + 1$
$=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$
顶点式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$，因此对称轴为直线$x=2$。
【答案】
$\boldsymbol{x=2}$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式；2. 二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考题，核心考察二次函数对称轴的计算方法，两种求解方法都属于二次函数的核心基础技能，熟练掌握即可快速得分。
【难度系数】
0.8
求二次函数图象的对称轴有两种常用方法，一是公式法，利用二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；二是配方法，将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到对称轴为直线$x=h$。本题可先确定二次函数一般式中$a、b$的取值，优先用公式法快速计算，也可通过配方求解。
【解析】
方法一（公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$中，$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$，代入公式得：
$x=-\frac{-2}{2×\frac{1}{2}}=\frac{2}{1}=2$。
方法二（配方法）：
将二次函数化为顶点式：
$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$
$=\frac{1}{2}(x^2-4x)+1$
$=\frac{1}{2}(x^2-4x+4-4)+1$
$=\frac{1}{2}(x-2)^2 - 2 + 1$
$=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$
顶点式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$，因此对称轴为直线$x=2$。
【答案】
$\boldsymbol{x=2}$
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式；2. 二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考题，核心考察二次函数对称轴的计算方法，两种求解方法都属于二次函数的核心基础技能，熟练掌握即可快速得分。
【难度系数】
0.8
8.(2025—2026 南昌东湖区检测)二次函数$y=(m-2)x^2+(m+3)x+m+2$的图象过点$(0,5)$。
(1)求$m$的值，并写出二次函数的解析式。
(1)求$m$的值，并写出二次函数的解析式。
答案
8.解:(1)
∵图象过点$(0,5)$,
∴$\begin{cases} m-2≠0, \\ m+2=5, \end{cases}$解得$m=3$,
∴二次函数的解析式为$y=x^2+6x+5$.
(2)
∵$y=x^2+6x+5=(x+3)^2-4$,
∴此二次函数图象的顶点坐标为$(-3,-4)$,对称轴为直线$x=-3$.
∵图象过点$(0,5)$,
∴$\begin{cases} m-2≠0, \\ m+2=5, \end{cases}$解得$m=3$,
∴二次函数的解析式为$y=x^2+6x+5$.
(2)
∵$y=x^2+6x+5=(x+3)^2-4$,
∴此二次函数图象的顶点坐标为$(-3,-4)$,对称轴为直线$x=-3$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 求解第(1)问：首先明确两个核心依据，①二次函数的二次项系数不能为0，否则不属于二次函数；②函数图像过某点时，该点的坐标满足函数解析式。将点(0,5)的x=0、y=5代入解析式，可得到关于m的方程，结合二次项系数不为0的条件，即可求出符合要求的m值，再代回原式就能得到二次函数的解析式。
2. 求解第(2)问：要得到二次函数的顶点坐标和对称轴，可利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，转化后直接读取结果即可。
【解析】
(1)
∵二次函数的图象过点$(0,5)$，且二次函数的二次项系数不能为0
∴列方程组得：$\begin{cases} m-2≠0 \\ m+2=5 \end{cases}$
解得$m=3$，满足$m-2≠0$的条件
将$m=3$代入原解析式，得：
$y=(3-2)x^2+(3+3)x+3+2=x^2+6x+5$
(2) 将所得二次函数解析式配方：
$y=x^2+6x+5=x^2+6x+9-9+5=(x+3)^2-4$
根据顶点式的性质，可得此二次函数图象的顶点坐标为$(-3,-4)$，对称轴为直线$x=-3$。
【答案】
(1) $m=3$，二次函数解析式为$y=x^2+6x+5$；
(2) 顶点坐标为$(-3,-4)$，对称轴为直线$x=-3$。
【知识点】
二次函数的定义，二次函数图像上点的特征，二次函数的顶点式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次函数基本性质的理解与运用，解题时注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含条件，配方法转化顶点式是二次函数相关计算的常用技能，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 求解第(1)问：首先明确两个核心依据，①二次函数的二次项系数不能为0，否则不属于二次函数；②函数图像过某点时，该点的坐标满足函数解析式。将点(0,5)的x=0、y=5代入解析式，可得到关于m的方程，结合二次项系数不为0的条件，即可求出符合要求的m值，再代回原式就能得到二次函数的解析式。
2. 求解第(2)问：要得到二次函数的顶点坐标和对称轴，可利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，转化后直接读取结果即可。
【解析】
(1)
∵二次函数的图象过点$(0,5)$，且二次函数的二次项系数不能为0
∴列方程组得：$\begin{cases} m-2≠0 \\ m+2=5 \end{cases}$
解得$m=3$，满足$m-2≠0$的条件
将$m=3$代入原解析式，得：
$y=(3-2)x^2+(3+3)x+3+2=x^2+6x+5$
(2) 将所得二次函数解析式配方：
$y=x^2+6x+5=x^2+6x+9-9+5=(x+3)^2-4$
根据顶点式的性质，可得此二次函数图象的顶点坐标为$(-3,-4)$，对称轴为直线$x=-3$。
【答案】
(1) $m=3$，二次函数解析式为$y=x^2+6x+5$；
(2) 顶点坐标为$(-3,-4)$，对称轴为直线$x=-3$。
【知识点】
二次函数的定义，二次函数图像上点的特征，二次函数的顶点式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次函数基本性质的理解与运用，解题时注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含条件，配方法转化顶点式是二次函数相关计算的常用技能，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85
10.已知二次函数的图象的顶点坐标为(2，－3)，且经过点(1，－2)，则其解析式为
$y=(x-2)^2-3$
.答案
10. $y=(x-2)^2-3$
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，优先选择二次函数的顶点式求解，可减少计算量。解题思路为：第一步，回忆二次函数顶点式形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标；第二步，将已知顶点坐标代入顶点式，得到仅含待定系数$a$的解析式；第三步，将函数经过的点的坐标代入解析式，求出$a$的值，即可得到最终解析式。
【解析】
解：设该二次函数的解析式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）。
∵ 二次函数图象的顶点坐标为$(2,-3)$
∴ $h=2$，$k=-3$，代入得解析式为$y=a(x-2)^2 - 3$
∵ 函数图象经过点$(1,-2)$
∴ 将$x=1$、$y=-2$代入上式，可得：
$-2 = a(1-2)^2 - 3$
化简得：$-2 = a - 3$
解得：$a=1$
因此该二次函数的解析式为$y=(x-2)^2 - 3$
【答案】
$y=(x-2)^2-3$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅简化计算，需熟练掌握不同条件下解析式形式的选择技巧。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的顶点坐标，优先选择二次函数的顶点式求解，可减少计算量。解题思路为：第一步，回忆二次函数顶点式形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标；第二步，将已知顶点坐标代入顶点式，得到仅含待定系数$a$的解析式；第三步，将函数经过的点的坐标代入解析式，求出$a$的值，即可得到最终解析式。
【解析】
解：设该二次函数的解析式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）。
∵ 二次函数图象的顶点坐标为$(2,-3)$
∴ $h=2$，$k=-3$，代入得解析式为$y=a(x-2)^2 - 3$
∵ 函数图象经过点$(1,-2)$
∴ 将$x=1$、$y=-2$代入上式，可得：
$-2 = a(1-2)^2 - 3$
化简得：$-2 = a - 3$
解得：$a=1$
因此该二次函数的解析式为$y=(x-2)^2 - 3$
【答案】
$y=(x-2)^2-3$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅简化计算，需熟练掌握不同条件下解析式形式的选择技巧。
【难度系数】
0.8
11.已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8),则该抛物线的解析式为
$y=2x^2+2x-4$
.答案
11. $y=2x^2+2x-4$
解析
【分析】
已知抛物线与x轴的两个交点坐标和另外一个经过的点，求二次函数解析式时，可优先选用交点式简化计算：若抛物线与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，可设解析式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$），代入交点坐标得到仅含参数$a$的表达式，再将第三个已知点代入求出$a$的值，最后整理为一般式即可；也可设一般式$y=ax^2+bx+c$，代入三个点坐标解三元一次方程组求解。
【解析】
方法一（交点式法）：
∵ 抛物线与x轴交于点$A(-2,0)$、$B(1,0)$
∴ 设抛物线的解析式为$y=a(x+2)(x-1)$（$a≠0$）
将点$C(2,8)$代入解析式得：
$8=a×(2+2)×(2-1)$
即$8=4a$，解得$a=2$
将$a=2$代入所设解析式，展开整理得：
$y=2(x+2)(x-1)=2(x^2+x-2)=2x^2+2x-4$
方法二（一般式法）：
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）
将$A(-2,0)$、$B(1,0)$、$C(2,8)$分别代入得：
$\begin{cases}4a-2b+c=0 \\ a+b+c=0 \\4a+2b+c=8 \end{cases}$
解方程组得：$a=2$，$b=2$，$c=-4$
∴ 抛物线解析式为$y=2x^2+2x-4$
【答案】
$y=2x^2+2x-4$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数交点式
3. 二次函数一般式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知抛物线与x轴的两个交点时选用交点式可大幅降低计算量，需熟练掌握不同形式二次函数解析式的适用场景和求解步骤。
【难度系数】
0.8
已知抛物线与x轴的两个交点坐标和另外一个经过的点，求二次函数解析式时，可优先选用交点式简化计算：若抛物线与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，可设解析式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$），代入交点坐标得到仅含参数$a$的表达式，再将第三个已知点代入求出$a$的值，最后整理为一般式即可；也可设一般式$y=ax^2+bx+c$，代入三个点坐标解三元一次方程组求解。
【解析】
方法一（交点式法）：
∵ 抛物线与x轴交于点$A(-2,0)$、$B(1,0)$
∴ 设抛物线的解析式为$y=a(x+2)(x-1)$（$a≠0$）
将点$C(2,8)$代入解析式得：
$8=a×(2+2)×(2-1)$
即$8=4a$，解得$a=2$
将$a=2$代入所设解析式，展开整理得：
$y=2(x+2)(x-1)=2(x^2+x-2)=2x^2+2x-4$
方法二（一般式法）：
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）
将$A(-2,0)$、$B(1,0)$、$C(2,8)$分别代入得：
$\begin{cases}4a-2b+c=0 \\ a+b+c=0 \\4a+2b+c=8 \end{cases}$
解方程组得：$a=2$，$b=2$，$c=-4$
∴ 抛物线解析式为$y=2x^2+2x-4$
【答案】
$y=2x^2+2x-4$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数交点式
3. 二次函数一般式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知抛物线与x轴的两个交点时选用交点式可大幅降低计算量，需熟练掌握不同形式二次函数解析式的适用场景和求解步骤。
【难度系数】
0.8
12.分类讨论思想 已知二次函数图象的顶点是$(2,-1)$，且与$y$轴的交点到原点的距离为3，则这个二次函数的解析式为
$y=(x-2)^2-1$ 或 $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1$
.答案
12. $y=(x-2)^2-1$ 或 $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1$ 【解析】
∵二次函数图象的顶点是$(2,-1),∴$设这个二次函数的解析式为$y=a(x-2)^2-1$.
∵二次函数的图象与$y$轴的交点到原点的距离是$3,∴$交点坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$.把$(0,3)$代入$y=a(x-2)^2-1,$得$3=4a-1,$解得$a=1,$则这个二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1;$把$(0,-3)$代入$y=a(x-2)^2-1,$得$-3=4a-1,$解得$a=-\frac{1}{2},$则这个二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1.$
综上所述,二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1$ 或 $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1.$
∵二次函数图象的顶点是$(2,-1),∴$设这个二次函数的解析式为$y=a(x-2)^2-1$.
∵二次函数的图象与$y$轴的交点到原点的距离是$3,∴$交点坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$.把$(0,3)$代入$y=a(x-2)^2-1,$得$3=4a-1,$解得$a=1,$则这个二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1;$把$(0,-3)$代入$y=a(x-2)^2-1,$得$-3=4a-1,$解得$a=-\frac{1}{2},$则这个二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1.$
综上所述,二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1$ 或 $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1.$
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式设函数解析式，可简化计算；其次，与y轴交点到原点的距离为3，说明交点纵坐标的绝对值为3，因此交点坐标存在两种情况：$(0,3)$或$(0,-3)$，需分类讨论，将两个交点分别代入所设解析式求出参数$a$的值，即可得到对应的二次函数解析式，注意不要漏解。
【解析】
∵二次函数图象的顶点是$(2,-1)$，
∴设这个二次函数的解析式为$y=a(x-2)^2-1$（$a≠0$）。
∵二次函数的图象与$y$轴的交点到原点的距离是3，
∴交点纵坐标为$\pm3$，即交点坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$。
① 将$(0,3)$代入$y=a(x-2)^2-1$，得：
$3=a(0-2)^2-1$，即$3=4a-1$，解得$a=1$，
此时二次函数解析式为$y=(x-2)^2-1$；
② 将$(0,-3)$代入$y=a(x-2)^2-1$，得：
$-3=a(0-2)^2-1$，即$-3=4a-1$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
此时二次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1$。
综上，该二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1$或$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1$。
【答案】
$y=(x-2)^2-1$ 或 $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1$
【知识点】
二次函数顶点式、分类讨论思想、点到原点的距离
【点评】
本题重点考查二次函数解析式的求解，解题关键是根据顶点坐标选择合适的解析式形式，易错点是对“到原点距离为3”的理解不到位，仅考虑交点为$(0,3)$的情况，忽略$(0,-3)$的可能性，导致漏解，解题时要注意分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式设函数解析式，可简化计算；其次，与y轴交点到原点的距离为3，说明交点纵坐标的绝对值为3，因此交点坐标存在两种情况：$(0,3)$或$(0,-3)$，需分类讨论，将两个交点分别代入所设解析式求出参数$a$的值，即可得到对应的二次函数解析式，注意不要漏解。
【解析】
∵二次函数图象的顶点是$(2,-1)$，
∴设这个二次函数的解析式为$y=a(x-2)^2-1$（$a≠0$）。
∵二次函数的图象与$y$轴的交点到原点的距离是3，
∴交点纵坐标为$\pm3$，即交点坐标为$(0,3)$或$(0,-3)$。
① 将$(0,3)$代入$y=a(x-2)^2-1$，得：
$3=a(0-2)^2-1$，即$3=4a-1$，解得$a=1$，
此时二次函数解析式为$y=(x-2)^2-1$；
② 将$(0,-3)$代入$y=a(x-2)^2-1$，得：
$-3=a(0-2)^2-1$，即$-3=4a-1$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
此时二次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1$。
综上，该二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1$或$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1$。
【答案】
$y=(x-2)^2-1$ 或 $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2-1$
【知识点】
二次函数顶点式、分类讨论思想、点到原点的距离
【点评】
本题重点考查二次函数解析式的求解，解题关键是根据顶点坐标选择合适的解析式形式，易错点是对“到原点距离为3”的理解不到位，仅考虑交点为$(0,3)$的情况，忽略$(0,-3)$的可能性，导致漏解，解题时要注意分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
