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8. 若$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是方程$2x+ay=5$的一组解，则$a=$ ______ 。
答案
8.$\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二元一次方程解的含义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。已知给出了方程的一组解，我们只需要将这组解代入原方程，就可以把原来的二元一次方程转化为只含有未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算就能求出a的值。
【解析】
解：将$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入方程$2x+ay=5$，可得：
$2×1 + a×2 = 5$
化简得：$2 + 2a = 5$
移项得：$2a = 5 - 2$
计算得：$2a = 3$
系数化为1得：$a = \dfrac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握二元一次方程解的概念，将已知解代入原方程构造一元一次方程求解即可，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆二元一次方程解的含义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。已知给出了方程的一组解，我们只需要将这组解代入原方程，就可以把原来的二元一次方程转化为只含有未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算就能求出a的值。
【解析】
解：将$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$代入方程$2x+ay=5$，可得：
$2×1 + a×2 = 5$
化简得：$2 + 2a = 5$
移项得：$2a = 5 - 2$
计算得：$2a = 3$
系数化为1得：$a = \dfrac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握二元一次方程解的概念，将已知解代入原方程构造一元一次方程求解即可，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
9. 已知$\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$是二元一次方程$ax - by = 1$的一组解，则$6a - 4b + 2024 =$ ______ 。
答案
9.2026
解析
【分析】
首先回忆二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，所以第一步可以将已知的x、y的值代入方程，得到a和b的数量关系；接下来观察所求代数式$6a-4b+2024$的结构，发现$6a-4b$是刚才得到的$3a-2b$的2倍，不需要单独求出a、b的具体值，用整体代入的方法就能快速算出结果。
【解析】
解：
∵$\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$是二元一次方程$ax - by = 1$的一组解，
∴将$x=3$，$y=2$代入方程$ax - by = 1$，可得：
$3a - 2b = 1$，
观察待求式可知$6a-4b=2(3a-2b)$，
将$3a-2b=1$代入得：$6a-4b=2×1=2$，
∴$6a - 4b + 2024 = 2 + 2024 = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
二元一次方程的解的定义；整体代入求代数式的值
【点评】
本题核心是利用二元一次方程解的性质得到a、b的关系式，再通过整体代入思想简化计算，无需单独求解a、b的具体值，是代数式求值类的基础典型题。
【难度系数】
0.8
首先回忆二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，所以第一步可以将已知的x、y的值代入方程，得到a和b的数量关系；接下来观察所求代数式$6a-4b+2024$的结构，发现$6a-4b$是刚才得到的$3a-2b$的2倍，不需要单独求出a、b的具体值，用整体代入的方法就能快速算出结果。
【解析】
解：
∵$\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$是二元一次方程$ax - by = 1$的一组解，
∴将$x=3$，$y=2$代入方程$ax - by = 1$，可得：
$3a - 2b = 1$，
观察待求式可知$6a-4b=2(3a-2b)$，
将$3a-2b=1$代入得：$6a-4b=2×1=2$，
∴$6a - 4b + 2024 = 2 + 2024 = 2026$。
【答案】
2026
【知识点】
二元一次方程的解的定义；整体代入求代数式的值
【点评】
本题核心是利用二元一次方程解的性质得到a、b的关系式，再通过整体代入思想简化计算，无需单独求解a、b的具体值，是代数式求值类的基础典型题。
【难度系数】
0.8
10.已知甲、乙两种物品共有 13 个,甲种物品每个重 4 kg,乙种物品每个重 7 kg,设有甲种物品 $x$ 个,乙种物品 $y$ 个,共重 76 kg.
(1)列出关于 $x,y$ 的二元一次方程组；
(2) $\begin{cases} x=12, \\ y=4 \end{cases}$与$\begin{cases} x=5, \\ y=8, \end{cases}$哪组是(1)中所列方程组的解？
(1)列出关于 $x,y$ 的二元一次方程组；
(2) $\begin{cases} x=12, \\ y=4 \end{cases}$与$\begin{cases} x=5, \\ y=8, \end{cases}$哪组是(1)中所列方程组的解？
答案
(1)由题意可列方程组为
$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76.\end{cases}$
(2)把$\begin{cases} x=12, \\ y=4 \end{cases}$代入$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76,\end{cases}$
得$12+4=16≠13$，
$\therefore \begin{cases} x=12, \\ y=4 \end{cases}$不是方程组$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76 \end{cases}$的解；
把$\begin{cases} x=5, \\ y=8 \end{cases}$代入$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76,\end{cases}$得
$5+8=13$，$4×5+7×8=20+56=76$，
$\therefore \begin{cases} x=5, \\ y=8 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76 \end{cases}$的解。
$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76.\end{cases}$
(2)把$\begin{cases} x=12, \\ y=4 \end{cases}$代入$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76,\end{cases}$
得$12+4=16≠13$，
$\therefore \begin{cases} x=12, \\ y=4 \end{cases}$不是方程组$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76 \end{cases}$的解；
把$\begin{cases} x=5, \\ y=8 \end{cases}$代入$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76,\end{cases}$得
$5+8=13$，$4×5+7×8=20+56=76$，
$\therefore \begin{cases} x=5, \\ y=8 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76 \end{cases}$的解。
解析
【分析】
(1) 列二元一次方程组首先要提取题目中的等量关系：一是甲乙两种物品总数量为13个，二是两种物品总重量为76kg，结合给出的未知数x、y，将等量关系转化为方程即可得到方程组。
(2) 判断一组数值是否为二元一次方程组的解，只需将数值分别代入方程组的两个方程，若两个方程左右两边都相等，就是方程组的解，只要有一个方程不满足就不是方程组的解。
【解析】
(1) 根据甲乙总数量的等量关系可得$x+y=13$，根据总重量的等量关系可得$4x+7y=76$，因此列方程组为：
$\begin{cases} x+y=13 \\4x+7y=76 \end{cases}$
(2) 把$\begin{cases} x=12, \\ y=4 \end{cases}$代入$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76,\end{cases}$
得$12+4=16≠13$，不满足第一个方程，
$\therefore \begin{cases} x=12, \\ y=4 \end{cases}$不是方程组$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76 \end{cases}$的解；
把$\begin{cases} x=5, \\ y=8 \end{cases}$代入$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76,\end{cases}$得
$5+8=13$，$4×5+7×8=20+56=76$，两个方程都满足，
$\therefore \begin{cases} x=5, \\ y=8 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76 \end{cases}$的解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x+y=13 \\4x+7y=76 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=5, \\ y=8 \end{cases}$是(1)中所列方程组的解。
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 方程组的解的检验
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用类题目，解题关键是找准实际问题中的等量关系，检验解时需注意必须同时满足方程组的所有方程才是方程组的解。
【难度系数】
0.8
(1) 列二元一次方程组首先要提取题目中的等量关系：一是甲乙两种物品总数量为13个，二是两种物品总重量为76kg，结合给出的未知数x、y，将等量关系转化为方程即可得到方程组。
(2) 判断一组数值是否为二元一次方程组的解，只需将数值分别代入方程组的两个方程，若两个方程左右两边都相等，就是方程组的解，只要有一个方程不满足就不是方程组的解。
【解析】
(1) 根据甲乙总数量的等量关系可得$x+y=13$，根据总重量的等量关系可得$4x+7y=76$，因此列方程组为：
$\begin{cases} x+y=13 \\4x+7y=76 \end{cases}$
(2) 把$\begin{cases} x=12, \\ y=4 \end{cases}$代入$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76,\end{cases}$
得$12+4=16≠13$，不满足第一个方程，
$\therefore \begin{cases} x=12, \\ y=4 \end{cases}$不是方程组$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76 \end{cases}$的解；
把$\begin{cases} x=5, \\ y=8 \end{cases}$代入$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76,\end{cases}$得
$5+8=13$，$4×5+7×8=20+56=76$，两个方程都满足，
$\therefore \begin{cases} x=5, \\ y=8 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} x+y=13, \\4x+7y=76 \end{cases}$的解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x+y=13 \\4x+7y=76 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=5, \\ y=8 \end{cases}$是(1)中所列方程组的解。
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 方程组的解的检验
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用类题目，解题关键是找准实际问题中的等量关系，检验解时需注意必须同时满足方程组的所有方程才是方程组的解。
【难度系数】
0.8
11. 下列方程中是二元一次方程的是（
A.$2x - y = 3$
B.$3x - 1 = 2$
C.$2x + y^2 = 0$
D.$2y + \frac{3}{y} = 1$
A
）A.$2x - y = 3$
B.$3x - 1 = 2$
C.$2x + y^2 = 0$
D.$2y + \frac{3}{y} = 1$
答案
11.A
解析
【分析】
要判断是否为二元一次方程，首先明确二元一次方程需同时满足三个核心条件：①含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的最高次数为1；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时只需用这三个条件逐一核对每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合二元一次方程的判定条件逐一分析选项：
选项A：$2x - y = 3$，含有x、y两个未知数，x和y的次数都是1，且是整式方程，同时满足三个条件，属于二元一次方程；
选项B：$3x - 1 = 2$，只含有x1个未知数，属于一元一次方程，不符合“二元”的要求，排除；
选项C：$2x + y^2 = 0$，其中y的次数是2，不符合“一次”的要求，排除；
选项D：$2y + \frac{3}{y} = 1$，分母含有未知数y，属于分式方程，且只含有1个未知数，不符合要求，排除。
综上，符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程判定、整式方程概念、方程次数判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对方程分类相关定义的掌握，解题关键是牢记二元、一次、整式方程这三个判定要点，逐一排查选项即可，注意不要忽略分母含未知数的方程属于分式方程这一易错点。
【难度系数】
0.8
要判断是否为二元一次方程，首先明确二元一次方程需同时满足三个核心条件：①含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的最高次数为1；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时只需用这三个条件逐一核对每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合二元一次方程的判定条件逐一分析选项：
选项A：$2x - y = 3$，含有x、y两个未知数，x和y的次数都是1，且是整式方程，同时满足三个条件，属于二元一次方程；
选项B：$3x - 1 = 2$，只含有x1个未知数，属于一元一次方程，不符合“二元”的要求，排除；
选项C：$2x + y^2 = 0$，其中y的次数是2，不符合“一次”的要求，排除；
选项D：$2y + \frac{3}{y} = 1$，分母含有未知数y，属于分式方程，且只含有1个未知数，不符合要求，排除。
综上，符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程判定、整式方程概念、方程次数判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对方程分类相关定义的掌握，解题关键是牢记二元、一次、整式方程这三个判定要点，逐一排查选项即可，注意不要忽略分母含未知数的方程属于分式方程这一易错点。
【难度系数】
0.8
12.若$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$5x - ay = -3$的一组解，则$a$的值为（ ）
A.$-1$
B.$1$
C.$-4$
D.$4$
A.$-1$
B.$1$
C.$-4$
D.$4$
答案
12.A
解析
【分析】
解题的核心是利用二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需将已知的x、y的值代入原方程，就可以得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出a的取值。
【解析】
将$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$代入方程$5x - ay = -3$，可得：
$5×(-1) - a×2 = -3$
计算得：$-5 - 2a = -3$
移项，将常数项移到等号右侧：$-2a = -3 + 5$
合并同类项得：$-2a = 2$
系数化为1，两边同时除以-2：$a = -1$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解方程的解满足原方程，代入计算时注意正负号的运算，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。我们只需将已知的x、y的值代入原方程，就可以得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出a的取值。
【解析】
将$\begin{cases}x=-1, \\ y=2\end{cases}$代入方程$5x - ay = -3$，可得：
$5×(-1) - a×2 = -3$
计算得：$-5 - 2a = -3$
移项，将常数项移到等号右侧：$-2a = -3 + 5$
合并同类项得：$-2a = 2$
系数化为1，两边同时除以-2：$a = -1$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解方程的解满足原方程，代入计算时注意正负号的运算，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
