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三、解答题(共50分)
11 (1)计算：$38°25'+50°28'=$
(2)一个角的余角比这个角的补角的三分之一多$6°$，求这个角的度数。
11 (1)计算：$38°25'+50°28'=$
88°53'
，$82°-15°26'=$66°34'
；(2)一个角的余角比这个角的补角的三分之一多$6°$，求这个角的度数。
答案
11.【解】(1) $38°25'+50°28' = 88°53'$, $82°-15°26' = 66°34'$. 故答案为 $88°53'$,$66°34'$.
(2)设这个角的度数为 $x°$,则这个角的余角为 $(90-x)°$,补角为 $(180-x)°$.
由题意得 $(90-x)°=\frac{1}{3}(180-x)°+6°$,解得 $x=36$.
答:这个角为 $36°$.
(2)设这个角的度数为 $x°$,则这个角的余角为 $(90-x)°$,补角为 $(180-x)°$.
由题意得 $(90-x)°=\frac{1}{3}(180-x)°+6°$,解得 $x=36$.
答:这个角为 $36°$.
12[2026重庆渝中区期末]如图,已知线段a和线段b.
(1)尺规作图:求作线段$AB=a+b$,并在线段BA的延长线上,求作线段$AC=a-b$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若M,N分别是AB,AC的中点,求MN的长(用含a,b的式子表示).
(1)尺规作图:求作线段$AB=a+b$,并在线段BA的延长线上,求作线段$AC=a-b$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若M,N分别是AB,AC的中点,求MN的长(用含a,b的式子表示).
答案
12.【解】(1)如图所示,$AB,AC$即为所求.
(2)因为 $AB=a+b$,$AC=a-b$,$M,N$ 分别是 $AB,AC$ 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AB$,$AN=\frac{1}{2}AC$,
所以 $MN=\frac{1}{2}(AB+AC)=\frac{1}{2}(a+b+a-b)=a$.
13[2026重庆南岸区调研]已知点B在线段AC上，点D在线段AB上.
(1)如图(1),若$AB=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm},D$为线段AC的中点,求线段DB的长度;
(2)如图(2),若$BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,E为线段AB的中点,$EC=12\ \mathrm{cm}$,求线段AC的长度.
(1)如图(1),若$AB=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm},D$为线段AC的中点,求线段DB的长度;
(2)如图(2),若$BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,E为线段AB的中点,$EC=12\ \mathrm{cm}$,求线段AC的长度.
答案
13.【解】(1)因为 $AC=AB+BC$,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,所以 $AC=6+4=10(\mathrm{cm})$. 因为 $D$ 为线段 $AC$ 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm})$,所以 $DB=DC-BC=5-4=1(\mathrm{cm})$.
(2)设 $BD=x\ \mathrm{cm}$. 因为 $BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,所以 $AB=4BD=4x\ \mathrm{cm}$,$CD=3BD=3x\ \mathrm{cm}$,所以 $BC=CD-BD=3x-x=2x(\mathrm{cm})$,所以 $AC=AB+BC=6x\ \mathrm{cm}$. 因为 $E$ 为线段 $AB$ 的中点,所以 $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x(\mathrm{cm})$,所以 $EC=EB+BC=2x+2x=4x(\mathrm{cm})$. 又因为 $EC=12\ \mathrm{cm}$,所以 $4x=12$,解得 $x=3$,所以 $AC=6×3=18(\mathrm{cm})$.
(2)设 $BD=x\ \mathrm{cm}$. 因为 $BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,所以 $AB=4BD=4x\ \mathrm{cm}$,$CD=3BD=3x\ \mathrm{cm}$,所以 $BC=CD-BD=3x-x=2x(\mathrm{cm})$,所以 $AC=AB+BC=6x\ \mathrm{cm}$. 因为 $E$ 为线段 $AB$ 的中点,所以 $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x(\mathrm{cm})$,所以 $EC=EB+BC=2x+2x=4x(\mathrm{cm})$. 又因为 $EC=12\ \mathrm{cm}$,所以 $4x=12$,解得 $x=3$,所以 $AC=6×3=18(\mathrm{cm})$.
14[2025浙江嘉兴期末]如图，$∠ AOB$是一个直角，在$∠ AOB$内部作射线$OC$，再分别作$∠ AOC$和$∠ BOC$的平分线$OD$和$OE$.
(1)【尝试】若$∠ BOC=60°$,则$∠ DOE$的度数是________.
(2)【猜想】若射线$OC$在$∠ AOB$内部绕$O$点旋转,则$∠ DOE$的度数是________.
(3)【验证】请给出(2)中你的猜想成立的理由.
(1)【尝试】若$∠ BOC=60°$,则$∠ DOE$的度数是________.
(2)【猜想】若射线$OC$在$∠ AOB$内部绕$O$点旋转,则$∠ DOE$的度数是________.
(3)【验证】请给出(2)中你的猜想成立的理由.
答案
14.【解】(1)因为 $∠ BOC=60°$,$OE$ 平分 $∠ BOC$,所以 $∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=30°$. 因为 $∠ AOB$ 是直角,即 $∠ AOB=90°$,所以 $∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=30°$. 因为 $OD$ 平分 $∠ AOC$,所以 $∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=15°$,所以 $∠ DOE=∠ DOC+∠ COE=45°$,故答案为 $45°$.
(2)若射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 内部绕 $O$ 点旋转,则 $∠ DOE$ 的度数是 $45°$,故答案为 $45°$.
(3)因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC$ 和 $∠ BOC$,所以 $∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$,$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$,所以 $∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC$,即 $∠ DOE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$.
因为 $∠ AOB$ 是直角,即 $∠ AOB=90°$,所以 $∠ DOE=45°$.
(2)若射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 内部绕 $O$ 点旋转,则 $∠ DOE$ 的度数是 $45°$,故答案为 $45°$.
(3)因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC$ 和 $∠ BOC$,所以 $∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$,$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC$,所以 $∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC+\frac{1}{2}∠ BOC$,即 $∠ DOE=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$.
因为 $∠ AOB$ 是直角,即 $∠ AOB=90°$,所以 $∠ DOE=45°$.
15小明在学习了正方体的展开图后,明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒,可是一不小心多剪开了一条棱,把纸盒剪成了两部分,如图(1)、图(2)所示.请根据你所学的知识,回答下列问题:
(1)观察判断:小明共剪开了
(2)动手操作:现在小明想将剪断的图(2)重新粘贴到图(1)上去,而且经过折叠以后,仍然可以还原成一个长方体纸盒(如图(3)),请你帮助小明在图(1)中补全图形;(画出一种即可)
(3)解决问题:经过测量,小明发现这个纸盒的底面是一个正方形,其边长是长方体的高的5倍,并且纸盒所有棱长的和是880 cm,求这个纸盒的体积.
(1)观察判断:小明共剪开了
8
条棱;(2)动手操作:现在小明想将剪断的图(2)重新粘贴到图(1)上去,而且经过折叠以后,仍然可以还原成一个长方体纸盒(如图(3)),请你帮助小明在图(1)中补全图形;(画出一种即可)
(3)解决问题:经过测量,小明发现这个纸盒的底面是一个正方形,其边长是长方体的高的5倍,并且纸盒所有棱长的和是880 cm,求这个纸盒的体积.
答案
15.【解】(1)小明共剪开了8条棱,故答案为8.
(2)(画出一种即可)如图,存在四种情况.
(3)设长方体纸盒的高为 $a\ \mathrm{cm}$,则长方体纸盒的长与宽均为 $5a\ \mathrm{cm}$. 因为长方体纸盒所有棱长的和是 $880\ \mathrm{cm}$,所以 $4(a+5a+5a)=880$,解得 $a=20$,所以这个长方体纸盒的高为 $20\ \mathrm{cm}$,长和宽均为 $5×20=100(\mathrm{cm})$,所以这个长方体纸盒的体积为 $20×100×100=200\ 000(\mathrm{cm}^3)$.
