16[2026山东青岛期中]时钟是我们日常生活中常见的生活用品,钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转,表盘中数字1~12均匀分布,分针转动一周(360°)需要60分,时针转动一周的$\frac{1}{12}$需要60分,这样,分针的转速为每分转6°,时针的转速为每分转$(\frac{1}{2})°$.
【课题学习】
3:20时,时针与分针所成角为多少度?解决这个问题,可以先考虑3:00时,时针与分针所成角为90°;从3:00到3:20,我们可以先计算分针转动的角度:$20×6°=120°$,时针转动的角度:$20×(\frac{1}{2})°=10°$,$120°-(90°+10°)=20°$.故3:20时,时针与分针所成角是20°.
【问题解决】
(1)当3:30时,时针与分针所成角的度数是.
(2)如图(1),表盘上的点A对应数字“12”,点B对应数字“3”,若分针OM从OA的位置开始转动,经过多少分,OM第一次平分∠AOB?
(3)当时针和分针所成角为180°时,形成一条直线,这条直线刚好平分钟面,我们将这样的时刻称为“美妙时刻”,如图(2),六点整就是一个“美妙时刻”,从0时到24时共有个“美妙时刻”.

16.【解】(1)3:00时,时针与分针所成角为 $90°$,从3:00到3:30,分针转动的角度:$30×6°=180°$,时针转动的角度:$30×(\frac{1}{2})°=15°$,$180°-(90°+15°)=75°$. 故答案为 $75°$.
(2)设经过 $t$ 分,$OM$ 第一次平分 $∠ AOB$. 因为 $OM$ 平分 $∠ AOB$,所以 $∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOB$,即 $6t=\frac{1}{2}×90$,所以 $t=7.5$,故经过7.5分,$OM$ 第一次平分 $∠ AOB$.
(3)相邻两次成 $180°$ 角之间,分针比时针多走 $360°$,花费的时间为 $\frac{360}{6-\frac{1}{2}}=\frac{720}{11}$(分),24时 $=1\ 440$ 分,$1\ 440÷\frac{720}{11}=22$(个). 故答案为22.

17[2025 四川绵阳期末]如图,点 C 在线段 AB上,AC=6 cm,CB=4 cm,点 M 以1 cm/s 的速度从点 A 沿线段 AC 向点 C 运动;同时点 N 以2 cm/s 的速度从点 C 出发,在线段 CB 上做来回往返运动(即沿 C→B→C→B→…运动),当点 M 运动到点 C 时,点 M,N 都停止运动,设点 M 运动的时间为 t s.
(1)当 t=1 时,求 MN 的长.
(2)当 t 为何值时,点 C 为线段 MN 的中点?
(3)若点 P 是线段 CN 的中点,在整个运动过程中,是否存在某个时间段,使 PM 的长度保持不变?如果存在,求出 PM 的长度;如果不存在,请说明理由.

备用图

灵感爆棚鸭

17.【解】(1)当 $t=1$ 时,$AM=1\ \mathrm{cm}$,$CN=2\ \mathrm{cm}$,所以 $MC=AC-AM=6-1=5(\mathrm{cm})$,所以 $MN=MC+CN=5+2=7(\mathrm{cm})$.
(2)由题意,得 $AM=t\ \mathrm{cm}$,$MC=(6-t)\mathrm{cm}$. 因为点 $M$ 运动到点 $C$ 时,点 $M,N$ 都停止运动,所以 $0≤t≤6$. ①当 $0≤t≤2$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=2t\ \mathrm{cm}$. 因为点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点,所以 $MC=CN$,即 $6-t=2t$,解得 $t=2$. ②当 $2＜t≤4$ 时,点 $N$ 从 $B$ 向 $C$ 运动,$BN=(2t-4)\mathrm{cm}$,则 $CN=4-(2t-4)=(8-2t)\mathrm{cm}$. 因为点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点,所以 $MC=CN$,即 $6-t=8-2t$,解得 $t=2$(舍去). ③当 $4＜t≤6$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=(2t-8)\mathrm{cm}$. 因为点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点,所以 $MC=CN$,即 $6-t=2t-8$,解得 $t=\frac{14}{3}$. 综上所述,当 $t=2$ 或 $\frac{14}{3}$ 时,点 $C$ 为线段 $MN$ 的中点.
(3)存在. 如图,①当 $0≤t≤2$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=2t\ \mathrm{cm}$. 因为点 $P$ 是线段 $CN$ 的中点,所以 $CP=\frac{1}{2}CN=t\ \mathrm{cm}$,所以 $PM=MC+CP=6-t+t=6(\mathrm{cm})$,此时 $PM$ 的长度保持不变. ②当 $2＜t≤4$ 时,点 $N$ 从 $B$ 向 $C$ 运动,$CN=(8-2t)\mathrm{cm}$. 因为点 $P$ 是线段 $CN$ 的中点,所以 $CP=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}(8-2t)=(4-t)\mathrm{cm}$,所以 $PM=MC+CP=6-t+(4-t)=(10-2t)\mathrm{cm}$,此时 $PM$ 的长度发生变化. ③当 $4＜t≤6$ 时,点 $N$ 从 $C$ 向 $B$ 运动,$CN=(2t-8)\mathrm{cm}$. 因为点 $P$ 是线段 $CN$ 的中点,所以 $CP=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}(2t-8)=(t-4)\mathrm{cm}$,所以 $PM=MC+CP=6-t+(t-4)=2(\mathrm{cm})$,此时 $PM$ 的长度保持不变. 综上所述,当 $0≤t≤2$ 时,$PM$ 的长度保持不变,为 $6\ \mathrm{cm}$;当 $4＜t≤6$ 时,$PM$ 的长度保持不变,为 $2\ \mathrm{cm}$.