10. (1)如图①,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,BA、DC的延长线相交于点E.若$∠ BOD=3∠ E=67.5°$,则$\frac{CE}{CD}=$______.

(2)(2024·盐城月考)如图②,过点D、A、C三点的圆的圆心为E,过B、E、F三点的圆的圆心为D,如果$∠ BAC=63°$,那么$∠ ABC=$______.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; 18°

11. 如图,正方形ABCD和正方形BEFG的顶点A、B、C、D、E、F分别在半圆O的直径和圆周上,若BG=4,则半圆O的半径为________.

$4\sqrt{5}$

12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$、$E$在$BC$上,$BD=CE$,过$A$、$D$、$E$三点作$\odot O$,连接$AO$并延长,交$BC$于点$F$.
(1)求证:$AF ⊥ BC$;
(2)若$AB=15$,$BC=18$,$BD=3$,求$\odot O$的半径长.

证明：​$(1) $​连接​$AD、$​​$AE、$​​$OD、$​​$OE，$​​$ $​因为​$AB = AC，$​所以​$∠B = ∠C($​等边对等角​$)。$​​$ $​又因为​$BD = EC，$​​$ $​在​$\triangle ABD$​和​$\triangle ACE$​中，​$\begin {cases}AB = AC\\∠B = ∠C\\BD = EC\end {cases}，$​​$ $​所以​$\triangle ABD\cong \triangle ACE，$​所以​$AD = AE。$​​$ $​又因为​$OD = OE，$​所以​$AF $​垂直平分​$DE，$​即​$AF\perp BC。$​​$ (2)$​因为​$AB = AC，$​​$AF\perp BC，$​所以​$BF = FC=\frac {1}{2}BC = 9。$​​$ $​因为​$BD = 3，$​所以​$DF = BF - BD=9 - 3 = 6。$​​$ $​因为​$∠AFB = 90°，$​根据勾股定理​$AF=\sqrt {AB^2-BF^2}=\sqrt {15^2-9^2} $​​$= 12。$​​$ $​设​$\odot O$​半径为​$r，$​则​$OF = 12 - r。$​​$ $​在​$Rt\triangle ODF_{中}，$​根据勾股定理​$OF^2+DF^2=OD^2，$​即​$(12 - r)^2+6^2=r^2。$​​$ $​展开得​$144-24r+r^2+36=r^2，$​​$ $​移项得​$144 + 36=24r，$​​$ $​即​$24r = 180，$​解得​$r=\frac {15}{2}。$​​$ $​所以​$\odot O$​的半径为​$\frac {15}{2}。$​

13. (2025·无锡期中)如图,在扇形AOB中,∠AOB=105°,OA=4,点C在半径OA上,将△BOC沿着BC翻折,点O的对称点D恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上,再将$\overset{\frown}{AD}$沿着CD翻折至$\overset{\frown}{A_1D}$(点$A_1$是点A的对称点),那么$OA_1$的长为________.

$4\sqrt{2}-4$

14. (天津中考改编)如图,直线AB经过$\odot O$的圆心,与$\odot O$相交于点A、B,点C在$\odot O$上,且$∠AOC=30°$,点P是直线AB上的一个动点(与点O不重合),直线PC与$\odot O$相交于点Q,问:点P在直线AB的什么位置上时,$QP=QO$?这样的点P共有几个?并相应地求出$∠OCP$的度数.

解​$：$​这样的点​$P_{共有}3$​个。​$ ①$​当点​$P $​在线段​$OA$​上时，使​$QP = OQ。$​​$ $​在​$\triangle OQC$​中，因为​$OC = OQ，$​所以​$∠OQC=∠OCP($​等边对等角​$)。$​​$ $​在​$\triangle OPQ_{中}，$​因为​$QP = OQ，$​所以​$∠QOP=∠QPO。$​​$ $​又因为​$∠QPO=∠OCP+∠AOC，$​​$∠AOC = 30°，$​​$∠QOP+∠QPO+∠OQC = 180°，$​​$ $​所以​$3∠OCP = 120°，$​则​$∠OCP = 40°。$​​$ ②$​当点​$P $​在线段​$OA$​的延长线上时，使​$QP = OQ。$​​$ $​因为​$OC = OQ，$​所以​$∠OQP=\frac {180°-∠QOC}{2} ①。$​​$ $​因为​$OQ = PQ，$​所以​$∠OPQ=\frac {180°-∠OQP}{2} ②。$​​$ $​在​$\triangle OQP_{中}，$​​$30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ = 180° ③。$​​$ $​把​$①②$​代入​$③$​得​$∠QOC = 20°，$​则​$∠OQP = 80°，$​所以​$∠OCP = 100°。$​​$ ③$​当点​$P $​在线段​$OA$​的反向延长线上时，使​$QP = OQ。$​​$ $​因为​$OC = OQ，$​所以​$∠OCP=∠OQC。$​因为​$OQ = PQ，$​所以​$∠QPO=∠QOP。$​​$ $​又因为​$∠OQC=∠QPO+∠QOP，$​所以​$∠OCP = 2∠OPQ，$​所以​$∠AOC=∠OCP+∠OPQ = 3∠OPQ。$​​$ $​因为​$∠AOC = 30°，$​所以​$3∠OPQ = 30°，$​则​$∠OPQ = 10°，$
​所以​$∠OCP = 2×10°=20°。$​ 综上，这样的点​$P_{共有}3$​个，相应的​$∠OCP $​的度数分别为​$40°、$​​$100°$​和​$20°。$


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