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5. 某登山队大本营所在地的气温为$5\ °\mathrm{C}$，气温随着海拔的增加而下降.已知登山队所在位置的气温是$y(°\mathrm{C})$，登山队员由大本营向上攀登的高度是$x(\mathrm{km})$，$y$是$x$的一次函数.下表记录了四次测量的数据，其中数据记录错误的是（ ）
| 组序 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 |
| ------ | ------ | ------ | ------ | ------ |
| $x$ | $1$ |
| $4$ | $5$ |
| $y$ | $-1$ | $-7$ | $-15$ | $-25$ |
A. 第一组
B. 第二组
C. 第三组
D. 第四组
| 组序 | 第一组 | 第二组 | 第三组 | 第四组 |
| ------ | ------ | ------ | ------ | ------ |
| $x$ | $1$ |
| $4$ | $5$ || $y$ | $-1$ | $-7$ | $-15$ | $-25$ |
A. 第一组
B. 第二组
C. 第三组
D. 第四组
答案
C
6. 在一条直线上依次有 A、B、C 三个海岛，某海巡船从 A 岛出发沿直线匀速经 B 岛驶向 C岛，执行海巡任务，最终到达 C岛.设该海巡船行驶 x(h)后，与 B 岛的距离为 y(km)，已知 y 与x 的函数图象如图所示.
(1)A、C 两海岛间的距离为 ______ km；a= ______.
(2)求线段 PN 所对应的函数表达式.
(3)在 B 岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为 15 km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长.
(1)A、C 两海岛间的距离为 ______ km；a= ______.
(2)求线段 PN 所对应的函数表达式.
(3)在 B 岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为 15 km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长.
答案
$70$ ; $1.4$ ; 解：（2）设线段$PN$所对应的函数表达式为$y = kx + b(k\neq0)，$
将$N(0.4,0)$和$P(1.4,50)$代入，可得$\begin{cases}0.4k + b = 0\\1.4k + b = 50\end{cases}，$
用第二个方程减去第一个方程得：$(1.4k + b)-(0.4k + b)=50 - 0，$
即$1.4k + b - 0.4k - b = 50，$$k = 50，$
把$k = 50$代入$0.4k + b = 0$得$0.4×50 + b = 0，$
$20 + b = 0，$$b = - 20，$所以线段$PN$所对应的函数表达式为$y = 50x - 20(0.4\leq x\leq1.4)。$ （3）设线段$MN$所对应的函数表达式为$y = k_1x + b_1(k_1\neq0)，$将$M(0,20)$和$N(0.4,0)$代入，可得$\begin{cases}b_1 = 20\\0.4k_1 + b_1 = 0\end{cases}，$
把$b_1 = 20$代入$0.4k_1 + b_1 = 0$得$0.4k_1+20 = 0，$$0.4k_1=-20，$
$k_1 = - 50，$所以线段$MN$所对应的函数表达式为$y = - 50x + 20(0\leq x\leq0.4)。$
当$-50x + 20 = 15$时，移项可得$-50x=15 - 20=-5，$
解得$x = 0.1；$
当$50x - 20 = 15$时，移项可得$50x=15 + 20 = 35，$
解得$x = 0.7。$则$0.7 - 0.1 = 0.6(h)。$
答：该海巡船能接收到该信号的时间为$0.6h。$
将$N(0.4,0)$和$P(1.4,50)$代入，可得$\begin{cases}0.4k + b = 0\\1.4k + b = 50\end{cases}，$
用第二个方程减去第一个方程得：$(1.4k + b)-(0.4k + b)=50 - 0，$
即$1.4k + b - 0.4k - b = 50，$$k = 50，$
把$k = 50$代入$0.4k + b = 0$得$0.4×50 + b = 0，$
$20 + b = 0，$$b = - 20，$所以线段$PN$所对应的函数表达式为$y = 50x - 20(0.4\leq x\leq1.4)。$ （3）设线段$MN$所对应的函数表达式为$y = k_1x + b_1(k_1\neq0)，$将$M(0,20)$和$N(0.4,0)$代入，可得$\begin{cases}b_1 = 20\\0.4k_1 + b_1 = 0\end{cases}，$
把$b_1 = 20$代入$0.4k_1 + b_1 = 0$得$0.4k_1+20 = 0，$$0.4k_1=-20，$
$k_1 = - 50，$所以线段$MN$所对应的函数表达式为$y = - 50x + 20(0\leq x\leq0.4)。$
当$-50x + 20 = 15$时，移项可得$-50x=15 - 20=-5，$
解得$x = 0.1；$
当$50x - 20 = 15$时，移项可得$50x=15 + 20 = 35，$
解得$x = 0.7。$则$0.7 - 0.1 = 0.6(h)。$
答：该海巡船能接收到该信号的时间为$0.6h。$
7. (2024·无锡)某校积极开展劳动教育,两次购买 A、B 两种型号的劳动用品,购买记录如下表:
(1)求 A、B 两种型号劳动用品的单价.
(2)若该校计划再次购买 A、B 两种型号的劳动用品共 40 件,其中 A 型劳动用品购买数量不少于 10 件且不多于 25 件.该校购买这 40 件劳动用品至少需要多少元?(注:A、B 两种型号劳动用品的单价保持不变)
(1)求 A、B 两种型号劳动用品的单价.
(2)若该校计划再次购买 A、B 两种型号的劳动用品共 40 件,其中 A 型劳动用品购买数量不少于 10 件且不多于 25 件.该校购买这 40 件劳动用品至少需要多少元?(注:A、B 两种型号劳动用品的单价保持不变)
答案
解：（1）设$A$种型号劳动用品的单价为$x$元，$B$种型号劳动用品的单价为$y$元。根据题意，得$\begin{cases}20x + 25y = 1150\\10x + 20y = 800\end{cases}，$
将第二个方程两边同时乘以$2$得$20x + 40y = 1600，$用该式减去第一个方程得$(20x + 40y)-(20x + 25y)=1600 - 1150，$即$20x + 40y - 20x - 25y = 450，$$15y = 450，$解得$y = 30，$把$y = 30$代入$10x + 20y = 800$得$10x+20×30 = 800，$$10x+600 = 800，$$10x = 200，$解得$x = 20。$答：$A$种型号劳动用品的单价为$20$元，$B$种型号劳动用品的单价为$30$元。 （2）设购买$A$种型号劳动用品$a(10\leq a\leq25)$件，则购买$B$种型号劳动用品$(40 - a)$件，设购买这$40$件劳动用品需要$W$元，则$W = 20a + 30(40 - a)=20a + 1200 - 30a=-10a + 1200。$因为$-10＜0，$所以$W$随$a$的增大而减小，所以当$a = 25$时，$W$取得最小值，最小值为$W=-10×25 + 1200=-250 + 1200 = 950$（元）。答：该校购买这$40$件劳动用品至少需要$950$元。
将第二个方程两边同时乘以$2$得$20x + 40y = 1600，$用该式减去第一个方程得$(20x + 40y)-(20x + 25y)=1600 - 1150，$即$20x + 40y - 20x - 25y = 450，$$15y = 450，$解得$y = 30，$把$y = 30$代入$10x + 20y = 800$得$10x+20×30 = 800，$$10x+600 = 800，$$10x = 200，$解得$x = 20。$答：$A$种型号劳动用品的单价为$20$元，$B$种型号劳动用品的单价为$30$元。 （2）设购买$A$种型号劳动用品$a(10\leq a\leq25)$件，则购买$B$种型号劳动用品$(40 - a)$件，设购买这$40$件劳动用品需要$W$元，则$W = 20a + 30(40 - a)=20a + 1200 - 30a=-10a + 1200。$因为$-10＜0，$所以$W$随$a$的增大而减小，所以当$a = 25$时，$W$取得最小值，最小值为$W=-10×25 + 1200=-250 + 1200 = 950$（元）。答：该校购买这$40$件劳动用品至少需要$950$元。
