1.在数学实践课上，嘉琪将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的n个点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，如图所示。当五边形内有1个点时，可分割成5个三角形；当五边形内有2个点时，可分制得7个三角形（不计被分割的三角形）……则当五边形内有2026个点时，可分得三角形（不计被分割的三角形）的个数为。

$\boldsymbol{4055}$

解：
观察已知条件找规律：
当五边形内有1个点（n=1）时，三角形个数为5 = 2×1 + 3；
当五边形内有2个点（n=2）时，三角形个数为7 = 2×2 + 3；
当五边形内有3个点（n=3）时，三角形个数为9 = 2×3 + 3；
归纳可得：当五边形内有n个点时，分割得到的三角形总个数为$2n+3$。
将$n=2026$代入公式：
$2×2026 + 3 = 4055$

2.已知有公共端点的射线OA,OB,OC,OD,若点$P_1,P_2,P_3,\dots$按图示规律排列,则点$P_{2024}$落在射线上。

3.如图,从点A开始,以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆……按此规律继续画半圆,第7个半圆的面积为(结果保留π)。

$\boldsymbol{512π}$

解：观察可得：
第1个半圆的直径为$1=2^{0}$，
第2个半圆的直径为$2=2^{1}$，
第3个半圆的直径为$4=2^{2}$，
第4个半圆的直径为$8=2^{3}$，
……
归纳得到第$n$个半圆的直径为$2^{n-1}$。
因此第7个半圆的直径为$2^{7-1}=64$，对应半径为$\frac{64}{2}=32$。
根据半圆面积公式$S=\frac{1}{2}π r^2$，代入计算：
$S=\frac{1}{2}×π×32^2=512π$。
最终

4. 提升题 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示。
第1次分割时将正方形纸片三等分，并记空白部分的面积为$S_1$；
第2次分割时将第1次分割得到的空白部分继续三等分，记空白部分的面积为$S_2$；
第3次分割时将第2次分割得到的空白部分继续三等分，记空白部分的面积为$S_3$；
……

根据以上规律，回答下列问题。
(1)第四次分割后，空白部分的面积$S_4=$。
(2)求$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$的值。
(3)求$\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+…+\frac{1}{3^n}$的值。

解：
(1) 根据分割规律：
$S_1=\frac{1}{3}$，$S_2=\frac{1}{3^2}$，$S_3=\frac{1}{3^3}$，因此$S_4=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$。
(2) 由分割过程可知，$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$是前4次分割所有新增阴影部分的面积总和，等于正方形总面积1减去第4次分割后剩余空白部分的面积$S_4$：
$\begin{aligned}\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}&=1 - S_4\\&=1-\frac{1}{81}\\&=\frac{80}{81}\end{aligned}$
(3) 设$A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots+\frac{1}{3^n}$，则：
$2A=\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\dots+\frac{2}{3^n}$
类比(2)的分割规律可得$2A=1-\frac{1}{3^n}$，两边同时除以2：
$A=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3^n})=\frac{3^n - 1}{2· 3^n}$
综上，
(1) $\boldsymbol{S_4=\frac{1}{81}}$；
(2) $\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{2}{3^4}$的值为$\boldsymbol{\frac{80}{81}}$；
(3) $\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots+\frac{1}{3^n}$的值为$\boldsymbol{\frac{3^n - 1}{2×3^n}}$。