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例1 已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 - 6x + m = 0$的一个根是1，求它的另一个根及$m$的值。
思路导引
方法一:根据方程根的概念,将$x=1$代入原方程可求出$m$的值,再通过解一元二次方程即可求得方程的另一个根。
方法二:可根据一元二次方程根与系数的关系求解,$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$,$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$,得到关于另一个根和$m$的二元一次方程组,通过求方程组的解即可求出方程的另一个根和$m$的值。
思路导引
方法一:根据方程根的概念,将$x=1$代入原方程可求出$m$的值,再通过解一元二次方程即可求得方程的另一个根。
方法二:可根据一元二次方程根与系数的关系求解,$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$,$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$,得到关于另一个根和$m$的二元一次方程组,通过求方程组的解即可求出方程的另一个根和$m$的值。
答案
方程的另一个根是2，$m$的值为4。
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程先求出m的值，再解一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过两根之和直接求出另一根，再通过两根之积求出m的值，该方法无需解方程，计算更简便。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
∵ $x=1$是方程$2x^2 -6x +m=0$的根，将$x=1$代入方程得：
$2×1^2 -6×1 +m=0$
解得：$m=4$
将$m=4$代入原方程得：$2x^2 -6x +4=0$
化简为：$x^2 -3x +2=0$
因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=2$
∴ 方程的另一个根为2。
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=2$，$b=-6$，$c=m$，已知一个根$x_1=1$：
由$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{6}{2}=3$，得$1+x_2=3$，解得$x_2=2$；
由$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m}{2}$，得$1×2=\frac{m}{2}$，解得$m=4$。
【答案】
方程的另一个根是2，$m$的值为4。
【知识点】
一元二次方程根的定义、根与系数的关系、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程根的应用类基础题，两种解题方法均可得到正确结果，其中运用根与系数的关系求解更为快捷，可减少解方程的计算量，建议熟练掌握该方法在同类题型中的应用。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程先求出m的值，再解一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过两根之和直接求出另一根，再通过两根之积求出m的值，该方法无需解方程，计算更简便。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
∵ $x=1$是方程$2x^2 -6x +m=0$的根，将$x=1$代入方程得：
$2×1^2 -6×1 +m=0$
解得：$m=4$
将$m=4$代入原方程得：$2x^2 -6x +4=0$
化简为：$x^2 -3x +2=0$
因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=2$
∴ 方程的另一个根为2。
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=2$，$b=-6$，$c=m$，已知一个根$x_1=1$：
由$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{6}{2}=3$，得$1+x_2=3$，解得$x_2=2$；
由$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m}{2}$，得$1×2=\frac{m}{2}$，解得$m=4$。
【答案】
方程的另一个根是2，$m$的值为4。
【知识点】
一元二次方程根的定义、根与系数的关系、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程根的应用类基础题，两种解题方法均可得到正确结果，其中运用根与系数的关系求解更为快捷，可减少解方程的计算量，建议熟练掌握该方法在同类题型中的应用。
【难度系数】
0.8
1.如果－1是方程$2x^2 + bx - 4 = 0$的一个根，则方程的另一个根是
2
，b是-2
。答案
1. 2 -2
解析
【分析】
解题有两种常用思路：思路1：利用方程根的定义，将已知根x=-1代入原方程，先求出b的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先通过两根之积的关系直接求出另一个根，再通过两根之和的关系求出b的值，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$2x^2 + bx - 4 = 0$，$a=2$，$c=-4$，已知一个根为$-1$：
1. 求另一个根：$x_1 × (-1) = \frac{-4}{2} = -2$，解得$x_1=2$；
2. 求b的值：两根之和为$-1 + 2 = -\frac{b}{2}$，即$1 = -\frac{b}{2}$，解得$b=-2$。
方法二（代入法）：
1. 把$x=-1$代入原方程得：$2× (-1)^2 + b× (-1) -4 = 0$，
计算得：$2 - b - 4 = 0$，解得$b=-2$；
2. 将$b=-2$代入原方程得：$2x^2 - 2x - 4 = 0$，
化简为$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，即另一个根为2。
【答案】
2；-2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的基础题型，两种解题方法均为课标要求掌握的内容，熟练运用根与系数的关系可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
解题有两种常用思路：思路1：利用方程根的定义，将已知根x=-1代入原方程，先求出b的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先通过两根之积的关系直接求出另一个根，再通过两根之和的关系求出b的值，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$2x^2 + bx - 4 = 0$，$a=2$，$c=-4$，已知一个根为$-1$：
1. 求另一个根：$x_1 × (-1) = \frac{-4}{2} = -2$，解得$x_1=2$；
2. 求b的值：两根之和为$-1 + 2 = -\frac{b}{2}$，即$1 = -\frac{b}{2}$，解得$b=-2$。
方法二（代入法）：
1. 把$x=-1$代入原方程得：$2× (-1)^2 + b× (-1) -4 = 0$，
计算得：$2 - b - 4 = 0$，解得$b=-2$；
2. 将$b=-2$代入原方程得：$2x^2 - 2x - 4 = 0$，
化简为$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，即另一个根为2。
【答案】
2；-2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的基础题型，两种解题方法均为课标要求掌握的内容，熟练运用根与系数的关系可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
2.已知关于$x$的一元二次方程$(m-\sqrt{2})x^2 + 3x + m^2 - 2 = 0$的一个根是0，求$m$的值。
答案
$m=-\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时先抓住题目两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，二是x=0是方程的根。首先回忆一元二次方程的定义，可得二次项系数不能为0，这是隐含的限制条件；再根据方程根的定义，将x=0代入原方程可得到关于m的方程，求解后结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的解，即可得到m的正确值。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-\sqrt{2})x^2 + 3x + m^2 - 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-\sqrt{2} ≠ 0$，解得$m ≠ \sqrt{2}$
又
∵ x=0是方程的一个根，将x=0代入原方程，得：
$(m-\sqrt{2}) × 0^2 + 3 × 0 + m^2 - 2 = 0$
化简得：$m^2 - 2 = 0$
解得：$m = \sqrt{2}$ 或 $m = -\sqrt{2}$
结合$m ≠ \sqrt{2}$的限制条件，舍去$m = \sqrt{2}$
∴ $m = -\sqrt{2}$
【答案】
$m=-\sqrt{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程根的定义
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$m=\pm\sqrt{2}$的错误结论，解题时需注意先挖掘题目中的隐含限制条件，再求解验证。
【难度系数】
0.6
解题时先抓住题目两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，二是x=0是方程的根。首先回忆一元二次方程的定义，可得二次项系数不能为0，这是隐含的限制条件；再根据方程根的定义，将x=0代入原方程可得到关于m的方程，求解后结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的解，即可得到m的正确值。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-\sqrt{2})x^2 + 3x + m^2 - 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-\sqrt{2} ≠ 0$，解得$m ≠ \sqrt{2}$
又
∵ x=0是方程的一个根，将x=0代入原方程，得：
$(m-\sqrt{2}) × 0^2 + 3 × 0 + m^2 - 2 = 0$
化简得：$m^2 - 2 = 0$
解得：$m = \sqrt{2}$ 或 $m = -\sqrt{2}$
结合$m ≠ \sqrt{2}$的限制条件，舍去$m = \sqrt{2}$
∴ $m = -\sqrt{2}$
【答案】
$m=-\sqrt{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程根的定义
3. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$m=\pm\sqrt{2}$的错误结论，解题时需注意先挖掘题目中的隐含限制条件，再求解验证。
【难度系数】
0.6
例2 选择适当的方法解下列方程：
(1)$(x-1)^2 -64=0$；
(2)$x^2 -8x +12=0$；
(3)$3x(x-4)=2x -8$；
(4)$2x^2 +2\sqrt{5}x +1=0$。
(1)$(x-1)^2 -64=0$；
(2)$x^2 -8x +12=0$；
(3)$3x(x-4)=2x -8$；
(4)$2x^2 +2\sqrt{5}x +1=0$。
答案
(1)$x_1=9,x_2=-7$；
(2)$x_1=6,x_2=2$；
(3)$x_1=4,x_2=\dfrac{2}{3}$；
(4)$x_1=\dfrac{-\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2},x_2=\dfrac{-\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$。
(2)$x_1=6,x_2=2$；
(3)$x_1=4,x_2=\dfrac{2}{3}$；
(4)$x_1=\dfrac{-\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2},x_2=\dfrac{-\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
解一元二次方程需先观察方程的结构特征，选择最简便的解法：
1. 第(1)题方程左侧是完全平方式减常数，移项后可直接开平方降次，无需展开计算，步骤更简便；
2. 第(2)题二次项系数为1，常数项可拆分为两个整数的乘积，且两数之和等于一次项系数，适合用十字相乘法因式分解求解；
3. 第(3)题左右两侧存在公因式$(x-4)$，移项后提取公因式即可降次，避免展开整理的繁琐计算；
4. 第(4)题无明显因式分解特征，选择公式法求解，先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 移项得：$(x-1)^2=64$
直接开平方得：$x-1=\pm8$
即$x-1=8$或$x-1=-8$
解得：$x_1=9，x_2=-7$
(2) 十字相乘法因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$
即$x-2=0$或$x-6=0$
解得：$x_1=2，x_2=6$
(3) 右侧提取公因式变形得：$3x(x-4)=2(x-4)$
移项得：$3x(x-4)-2(x-4)=0$
提取公因式$(x-4)$得：$(x-4)(3x-2)=0$
即$x-4=0$或$3x-2=0$
解得：$x_1=4，x_2=\dfrac{2}{3}$
(4) 由方程得$a=2，b=2\sqrt{5}，c=1$
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{5})^2-4×2×1=20-8=12＞0$
代入求根公式$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\dfrac{-2\sqrt{5}\pm\sqrt{12}}{2×2}=\dfrac{-2\sqrt{5}\pm2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{-\sqrt{5}\pm\sqrt{3}}{2}$
解得：$x_1=\dfrac{-\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}，x_2=\dfrac{-\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=9,x_2=-7$；
(2)$x_1=6,x_2=2$；
(3)$x_1=4,x_2=\dfrac{2}{3}$；
(4)$x_1=\dfrac{-\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2},x_2=\dfrac{-\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，解题时优先选择简便方法可以减少计算量，降低出错概率，需要熟练掌握各类解法的适用特征。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程需先观察方程的结构特征，选择最简便的解法：
1. 第(1)题方程左侧是完全平方式减常数，移项后可直接开平方降次，无需展开计算，步骤更简便；
2. 第(2)题二次项系数为1，常数项可拆分为两个整数的乘积，且两数之和等于一次项系数，适合用十字相乘法因式分解求解；
3. 第(3)题左右两侧存在公因式$(x-4)$，移项后提取公因式即可降次，避免展开整理的繁琐计算；
4. 第(4)题无明显因式分解特征，选择公式法求解，先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 移项得：$(x-1)^2=64$
直接开平方得：$x-1=\pm8$
即$x-1=8$或$x-1=-8$
解得：$x_1=9，x_2=-7$
(2) 十字相乘法因式分解得：$(x-2)(x-6)=0$
即$x-2=0$或$x-6=0$
解得：$x_1=2，x_2=6$
(3) 右侧提取公因式变形得：$3x(x-4)=2(x-4)$
移项得：$3x(x-4)-2(x-4)=0$
提取公因式$(x-4)$得：$(x-4)(3x-2)=0$
即$x-4=0$或$3x-2=0$
解得：$x_1=4，x_2=\dfrac{2}{3}$
(4) 由方程得$a=2，b=2\sqrt{5}，c=1$
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(2\sqrt{5})^2-4×2×1=20-8=12＞0$
代入求根公式$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\dfrac{-2\sqrt{5}\pm\sqrt{12}}{2×2}=\dfrac{-2\sqrt{5}\pm2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{-\sqrt{5}\pm\sqrt{3}}{2}$
解得：$x_1=\dfrac{-\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}，x_2=\dfrac{-\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
【答案】
(1)$x_1=9,x_2=-7$；
(2)$x_1=6,x_2=2$；
(3)$x_1=4,x_2=\dfrac{2}{3}$；
(4)$x_1=\dfrac{-\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2},x_2=\dfrac{-\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，解题时优先选择简便方法可以减少计算量，降低出错概率，需要熟练掌握各类解法的适用特征。
【难度系数】
0.7
