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3. 选择适当的方法解下列方程：
(1)$(x+8)^2=36$；
(2)$x(5x+4)-(4+5x)=0$；
(3)$3x^2 -x -1=0$；
(4)$t^2 -4t +1=0$。
(1)$(x+8)^2=36$；
(2)$x(5x+4)-(4+5x)=0$；
(3)$3x^2 -x -1=0$；
(4)$t^2 -4t +1=0$。
答案
(1)$x_1=-2,x_2=-14$；
(2)$x_1=-\dfrac{4}{5},x_2=1$；
(3)$x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{6},x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{6}$；
(4)$t_1=2+\sqrt{3},t_2=2-\sqrt{3}$。
(2)$x_1=-\dfrac{4}{5},x_2=1$；
(3)$x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{6},x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{6}$；
(4)$t_1=2+\sqrt{3},t_2=2-\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解一元二次方程需根据方程结构优先选择简便方法：①若方程为“完全平方式=非负常数”的形式，选用直接开平方法；②若方程可因式分解为两个一次式乘积的形式，选用因式分解法；③若无法用前两种方法，可根据情况选用公式法或配方法，公式法适用于所有一元二次方程。本题各小题对应选法如下：(1)左边是完全平方式，右边为正的常数，用直接开平方法；(2)可提取公因式$(5x+4)$，用因式分解法；(3)无法直接因式分解，用公式法求解；(4)二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法更简便。
【解析】
(1) 对$(x+8)^2=36$直接开平方，得：
$x+8=\pm6$
当$x+8=6$时，解得$x_1=6-8=-2$；
当$x+8=-6$时，解得$x_2=-6-8=-14$。
(2) 对$x(5x+4)-(4+5x)=0$变形提取公因式：
原方程可化为$(5x+4)(x-1)=0$
则$5x+4=0$或$x-1=0$
解得$x_1=-\dfrac{4}{5}$，$x_2=1$。
(3) 对$3x^2 -x -1=0$用公式法求解：
这里$a=3$，$b=-1$，$c=-1$，
先算判别式$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×3×(-1)=1+12=13＞0$，
代入求根公式$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2×3}=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{6}$
即$x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{6}$。
(4) 对$t^2 -4t +1=0$用配方法求解：
移项得$t^2-4t=-1$，
配方：两边同时加4，得$t^2-4t+4=-1+4$，即$(t-2)^2=3$，
开平方得$t-2=\pm\sqrt{3}$，
解得$t_1=2+\sqrt{3}$，$t_2=2-\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$x_1=-2,x_2=-14$；
(2)$x_1=-\dfrac{4}{5},x_2=1$；
(3)$x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{6},x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{6}$；
(4)$t_1=2+\sqrt{3},t_2=2-\sqrt{3}$。
【知识点】
直接开平方法，因式分解法，一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时需先观察方程的结构特征，优先选择简便解法，既能降低计算量，也能提高解题准确率，需熟练掌握各类解法的适用场景和操作步骤。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需根据方程结构优先选择简便方法：①若方程为“完全平方式=非负常数”的形式，选用直接开平方法；②若方程可因式分解为两个一次式乘积的形式，选用因式分解法；③若无法用前两种方法，可根据情况选用公式法或配方法，公式法适用于所有一元二次方程。本题各小题对应选法如下：(1)左边是完全平方式，右边为正的常数，用直接开平方法；(2)可提取公因式$(5x+4)$，用因式分解法；(3)无法直接因式分解，用公式法求解；(4)二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法更简便。
【解析】
(1) 对$(x+8)^2=36$直接开平方，得：
$x+8=\pm6$
当$x+8=6$时，解得$x_1=6-8=-2$；
当$x+8=-6$时，解得$x_2=-6-8=-14$。
(2) 对$x(5x+4)-(4+5x)=0$变形提取公因式：
原方程可化为$(5x+4)(x-1)=0$
则$5x+4=0$或$x-1=0$
解得$x_1=-\dfrac{4}{5}$，$x_2=1$。
(3) 对$3x^2 -x -1=0$用公式法求解：
这里$a=3$，$b=-1$，$c=-1$，
先算判别式$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×3×(-1)=1+12=13＞0$，
代入求根公式$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2×3}=\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{6}$
即$x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{6}$。
(4) 对$t^2 -4t +1=0$用配方法求解：
移项得$t^2-4t=-1$，
配方：两边同时加4，得$t^2-4t+4=-1+4$，即$(t-2)^2=3$，
开平方得$t-2=\pm\sqrt{3}$，
解得$t_1=2+\sqrt{3}$，$t_2=2-\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$x_1=-2,x_2=-14$；
(2)$x_1=-\dfrac{4}{5},x_2=1$；
(3)$x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{6},x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{6}$；
(4)$t_1=2+\sqrt{3},t_2=2-\sqrt{3}$。
【知识点】
直接开平方法，因式分解法，一元二次方程求根公式
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时需先观察方程的结构特征，优先选择简便解法，既能降低计算量，也能提高解题准确率，需熟练掌握各类解法的适用场景和操作步骤。
【难度系数】
0.8
例3 已知关于$x$的方程$x^2 -5x -m^2=0$。
(1)求证:方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别是$x_1$，$x_2$，且$x_1 + 2x_2 =4$，求$m$的值。
(1)求证:方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别是$x_1$，$x_2$，且$x_1 + 2x_2 =4$，求$m$的值。
答案
(1)证明:$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 1 × (-m^2)=25+4m^2＞0$，
所以无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2)$\pm\sqrt{6}$
所以无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2)$\pm\sqrt{6}$
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心是计算根的判别式$\Delta$，判断$\Delta$的正负性即可：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，$\Delta＞0$时方程有两个不等实根。本题中$\Delta$的表达式包含$m^2$，利用平方的非负性即可证明$\Delta$恒大于0。
(2) 已知两根的数量关系$x_1+2x_2=4$，首先根据韦达定理（根与系数的关系）得到$x_1+x_2$的固定值，将两个式子联立可先求出$x_2$的值，再将$x_2$代入原方程或者利用两根之积的关系即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 -5x -m^2=0$，其中$a=1$，$b=-5$，$c=-m^2$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(-m^2) = 25 + 4m^2$，
∵ 无论$m$取何值，$m^2≥0$，
∴ $25 + 4m^2 ≥25 ＞0$，即$\Delta＞0$，
∴ 方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 5$，
已知$x_1 + 2x_2 =4$，
将两式联立：$\begin{cases}x_1+x_2=5 \\x_1+2x_2=4\end{cases}$，
用第二个式子减去第一个式子，得$x_2 = 4 -5 = -1$，
把$x_2=-1$代入原方程$x^2 -5x -m^2=0$，得：
$(-1)^2 -5×(-1) -m^2 =0$，
即$1 +5 -m^2=0$，解得$m^2=6$，
∴ $m=\pm\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\pm\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的基础应用，第一问直接利用判别式即可求证，第二问结合韦达定理联立方程求根是解题的关键，整体解题思路清晰，侧重基础公式的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心是计算根的判别式$\Delta$，判断$\Delta$的正负性即可：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，$\Delta＞0$时方程有两个不等实根。本题中$\Delta$的表达式包含$m^2$，利用平方的非负性即可证明$\Delta$恒大于0。
(2) 已知两根的数量关系$x_1+2x_2=4$，首先根据韦达定理（根与系数的关系）得到$x_1+x_2$的固定值，将两个式子联立可先求出$x_2$的值，再将$x_2$代入原方程或者利用两根之积的关系即可求出$m$的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 -5x -m^2=0$，其中$a=1$，$b=-5$，$c=-m^2$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(-m^2) = 25 + 4m^2$，
∵ 无论$m$取何值，$m^2≥0$，
∴ $25 + 4m^2 ≥25 ＞0$，即$\Delta＞0$，
∴ 方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 5$，
已知$x_1 + 2x_2 =4$，
将两式联立：$\begin{cases}x_1+x_2=5 \\x_1+2x_2=4\end{cases}$，
用第二个式子减去第一个式子，得$x_2 = 4 -5 = -1$，
把$x_2=-1$代入原方程$x^2 -5x -m^2=0$，得：
$(-1)^2 -5×(-1) -m^2 =0$，
即$1 +5 -m^2=0$，解得$m^2=6$，
∴ $m=\pm\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\pm\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的基础应用，第一问直接利用判别式即可求证，第二问结合韦达定理联立方程求根是解题的关键，整体解题思路清晰，侧重基础公式的灵活运用。
【难度系数】
0.7
4.已知关于$x$的一元二次方程$kx^2 -4x +2=0$有实数根。
(1)求$k$的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，当$x_1 +x_2 +x_1x_2=6$时，求$k$的值。
(1)求$k$的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，当$x_1 +x_2 +x_1x_2=6$时，求$k$的值。
答案
(1)$k≤ 2$且$k≠ 0$。
(2)$k$的值为1。
(2)$k$的值为1。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先明确题目给出的是一元二次方程，因此隐含二次项系数不为0的条件；其次方程有实数根，说明根的判别式大于等于0，代入系数列出不等式求解后，结合二次项系数不为0的条件即可得到k的取值范围。
(2) 求解第二问时，利用一元二次方程根与系数的关系，直接写出两根之和、两根之积关于k的表达式，代入题干给出的等式即可得到关于k的方程，求解后验证所得k是否符合第一问的取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1)
∵ 方程$kx^2 -4x +2=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$
将$a=k$，$b=-4$，$c=2$代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4× k × 2 = 16-8k ≥ 0$
解不等式得：$k≤2$
综上，k的取值范围为$k≤2$且$k≠0$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{4}{k}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{k}$
将其代入$x_1 +x_2 +x_1x_2=6$得：
$\frac{4}{k} + \frac{2}{k} =6$
合并得：$\frac{6}{k}=6$
解得：$k=1$
检验：当$k=1$时，满足$k≤2$且$k≠0$，符合题意。
【答案】
(1)$k≤ 2$且$k≠ 0$。
(2)$k$的值为1。
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，解题时要注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，求出参数后要验证是否符合取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，首先明确题目给出的是一元二次方程，因此隐含二次项系数不为0的条件；其次方程有实数根，说明根的判别式大于等于0，代入系数列出不等式求解后，结合二次项系数不为0的条件即可得到k的取值范围。
(2) 求解第二问时，利用一元二次方程根与系数的关系，直接写出两根之和、两根之积关于k的表达式，代入题干给出的等式即可得到关于k的方程，求解后验证所得k是否符合第一问的取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1)
∵ 方程$kx^2 -4x +2=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$
将$a=k$，$b=-4$，$c=2$代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4× k × 2 = 16-8k ≥ 0$
解不等式得：$k≤2$
综上，k的取值范围为$k≤2$且$k≠0$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{4}{k}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{k}$
将其代入$x_1 +x_2 +x_1x_2=6$得：
$\frac{4}{k} + \frac{2}{k} =6$
合并得：$\frac{6}{k}=6$
解得：$k=1$
检验：当$k=1$时，满足$k≤2$且$k≠0$，符合题意。
【答案】
(1)$k≤ 2$且$k≠ 0$。
(2)$k$的值为1。
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，解题时要注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，求出参数后要验证是否符合取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
例4 某商店准备购进一批季节性小家电，单价40元。经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个。因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？
答案
该商品每个定价为60元，进货100个。
解析
【分析】
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，明确销售利润的核心等量关系：总利润=单个商品利润×销售数量；第二步，结合“进货个数不得超过180个”的限制条件分析：定价为52元时销量为180个，若定价低于52元，销售量会超过180，不符合要求，因此定价只能高于或等于52元；第三步，设定价为未知数，分别表示出单个利润和对应销售量，代入等量关系列方程；第四步，解方程后结合进货限制条件舍去不符合实际的根，得到最终结果。
【解析】
解：由“进货个数不得超过180个”可知，销售量最多为180个，若定价比52元低，销售量会超过180，不符合要求，因此定价≥52元。
设每个商品的定价为$ x $元（$ x≥52 $），则单个商品的利润为$ (x-40) $元，
定价相比52元增加了$ (x-52) $元，销售量减少$ 10(x-52) $个，因此销售量为：$ 180 - 10(x-52) = 700 - 10x $个，
根据总获利2000元列方程：
$(x - 40)(700 - 10x) = 2000$
化简方程：
两边同除以10得：$ (x - 40)(70 - x) = 200 $
展开整理得：$ x^2 - 110x + 3000 = 0 $
因式分解得：$ (x - 50)(x - 60) = 0 $
解得：$ x_1=50 $，$ x_2=60 $
检验：
当$ x=50 $时，$ x＜52 $，此时销售量为$ 180 + 10×(52-50)=200 $个$ ＞180 $个，不符合进货限制，舍去；
当$ x=60 $时，销售量为$ 700 - 10×60 = 100 $个$ ≤180 $个，符合要求。
【答案】
该商品每个定价为60元，进货100个。
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，实际问题根的检验
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程应用题，解题核心是找准利润、售价、销量之间的等量关系列方程，要特别注意题目中的限制条件，对求出的根进行合理性检验，舍去不符合实际要求的解，避免漏看条件导致错解。
【难度系数】
0.6
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，明确销售利润的核心等量关系：总利润=单个商品利润×销售数量；第二步，结合“进货个数不得超过180个”的限制条件分析：定价为52元时销量为180个，若定价低于52元，销售量会超过180，不符合要求，因此定价只能高于或等于52元；第三步，设定价为未知数，分别表示出单个利润和对应销售量，代入等量关系列方程；第四步，解方程后结合进货限制条件舍去不符合实际的根，得到最终结果。
【解析】
解：由“进货个数不得超过180个”可知，销售量最多为180个，若定价比52元低，销售量会超过180，不符合要求，因此定价≥52元。
设每个商品的定价为$ x $元（$ x≥52 $），则单个商品的利润为$ (x-40) $元，
定价相比52元增加了$ (x-52) $元，销售量减少$ 10(x-52) $个，因此销售量为：$ 180 - 10(x-52) = 700 - 10x $个，
根据总获利2000元列方程：
$(x - 40)(700 - 10x) = 2000$
化简方程：
两边同除以10得：$ (x - 40)(70 - x) = 200 $
展开整理得：$ x^2 - 110x + 3000 = 0 $
因式分解得：$ (x - 50)(x - 60) = 0 $
解得：$ x_1=50 $，$ x_2=60 $
检验：
当$ x=50 $时，$ x＜52 $，此时销售量为$ 180 + 10×(52-50)=200 $个$ ＞180 $个，不符合进货限制，舍去；
当$ x=60 $时，销售量为$ 700 - 10×60 = 100 $个$ ≤180 $个，符合要求。
【答案】
该商品每个定价为60元，进货100个。
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，实际问题根的检验
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程应用题，解题核心是找准利润、售价、销量之间的等量关系列方程，要特别注意题目中的限制条件，对求出的根进行合理性检验，舍去不符合实际要求的解，避免漏看条件导致错解。
【难度系数】
0.6
