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5.某市为推动城市形象的推广，推出以某地标建筑为原型的金属纪念徽章。某商家的运营数据显示：每个徽章的成本为30元，若每个徽章定价60元，平均每天可售出20个；当每个徽章的售价每降低5元，平均每天的销售量就会增加10个。为让顾客得到实惠，每个徽章的售价降低多少元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元？
答案
每个徽章的售价降低15元。
解析
【分析】
本题属于销售利润类应用题，解题核心是牢记“总利润=单个商品利润×销售总量”的等量关系。首先我们可以设每个徽章售价降低x元，第一步先表示出降价后的单个利润：单个利润=原售价-成本-降价金额，即(60-30-x)元；第二步表示出降价后的销售总量：每降5元多卖10个，即每降1元多卖2个，所以降价x元后总销量为(20+2x)个；第三步根据总利润为750元列出方程求解，最后结合“让顾客得到实惠”的条件，选择降价更多的解即可。
【解析】
解：设每个徽章的售价降低x元。
根据题意，降价后单个徽章的利润为(60 - 30 - x)元，降价后每天的销售量为$20+\frac{x}{5}×10=(20+2x)$个。
由总利润=单个利润×销售量，可列方程：
$(30 - x)(20 + 2x) = 750$
展开并整理方程：
$600 + 60x - 20x - 2x^2 = 750$
$x^2 - 20x + 75 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 15) = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=15$
∵要让顾客得到实惠，
∴应选择降价更多的方案，即x=15。
【答案】
每个徽章的售价降低15元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题的关键是找准等量关系正确列出方程，同时要注意结合题干的实际限制条件对求得的解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类应用题，解题核心是牢记“总利润=单个商品利润×销售总量”的等量关系。首先我们可以设每个徽章售价降低x元，第一步先表示出降价后的单个利润：单个利润=原售价-成本-降价金额，即(60-30-x)元；第二步表示出降价后的销售总量：每降5元多卖10个，即每降1元多卖2个，所以降价x元后总销量为(20+2x)个；第三步根据总利润为750元列出方程求解，最后结合“让顾客得到实惠”的条件，选择降价更多的解即可。
【解析】
解：设每个徽章的售价降低x元。
根据题意，降价后单个徽章的利润为(60 - 30 - x)元，降价后每天的销售量为$20+\frac{x}{5}×10=(20+2x)$个。
由总利润=单个利润×销售量，可列方程：
$(30 - x)(20 + 2x) = 750$
展开并整理方程：
$600 + 60x - 20x - 2x^2 = 750$
$x^2 - 20x + 75 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 15) = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=15$
∵要让顾客得到实惠，
∴应选择降价更多的方案，即x=15。
【答案】
每个徽章的售价降低15元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题的关键是找准等量关系正确列出方程，同时要注意结合题干的实际限制条件对求得的解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
1. 已知$x=1$是一元二次方程$(m^2 -1)x^2 -mx +m^2=0$的一个根，则$m$的值是(
A.$\frac{1}{2}$或$-1$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$或$1$
D.$\frac{1}{2}$
B
)。A.$\frac{1}{2}$或$-1$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$或$1$
D.$\frac{1}{2}$
答案
1.B
解析
【分析】
解题需分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将x=1代入原方程，可得到关于m的一元二次方程，求解得到m的初步候选值；第二步，结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，对候选值进行筛选，排除不符合要求的m值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$(m^2 -1)x^2 -mx +m^2=0$的一个根
∴将x=1代入方程，等式成立：
$(m^2 -1)×1^2 - m×1 + m^2 = 0$
化简得：
$2m^2 - m - 1 = 0$
因式分解得：
$(2m+1)(m-1)=0$
解得：$m=-\frac{1}{2}$ 或 $m=1$
又
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数不为0，即：
$m^2 -1 ≠ 0$
解得：$m ≠ \pm1$
综上，舍去$m=1$，得$m=-\frac{1}{2}$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；方程根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选D选项，解题时需注意先根据根的性质求出参数候选值，再结合一元二次方程的定义验证排除不符合的解。
【难度系数】
0.6
解题需分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将x=1代入原方程，可得到关于m的一元二次方程，求解得到m的初步候选值；第二步，结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，对候选值进行筛选，排除不符合要求的m值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$(m^2 -1)x^2 -mx +m^2=0$的一个根
∴将x=1代入方程，等式成立：
$(m^2 -1)×1^2 - m×1 + m^2 = 0$
化简得：
$2m^2 - m - 1 = 0$
因式分解得：
$(2m+1)(m-1)=0$
解得：$m=-\frac{1}{2}$ 或 $m=1$
又
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数不为0，即：
$m^2 -1 ≠ 0$
解得：$m ≠ \pm1$
综上，舍去$m=1$，得$m=-\frac{1}{2}$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；方程根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选D选项，解题时需注意先根据根的性质求出参数候选值，再结合一元二次方程的定义验证排除不符合的解。
【难度系数】
0.6
2.如果方程$mx^2 -6x +1=0$有实数根，那么$m$的取值范围是（
A.$m＜9$且$m≠0$
B.$m≤9$且$m≠0$
C.$m＜9$
D.$m≤9$
D
）。A.$m＜9$且$m≠0$
B.$m≤9$且$m≠0$
C.$m＜9$
D.$m≤9$
答案
2.D
解析
【分析】
遇到含参数的二次项系数的方程有实根的问题，首先要注意题目未明确说明方程是一元二次方程，因此需要分两种情况讨论：①当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，判断是否存在实数根；②当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，结合根的判别式Δ≥0求解参数范围，最后合并两种情况的结果即可得到m的取值范围，避免直接默认方程是二次方程造成漏解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$m=0$时，原方程化为$-6x+1=0$，是一元一次方程，解得$x=\frac{1}{6}$，有实数根，符合题意；
2. 当$m≠0$时，原方程是一元二次方程，其中$a=m$，$b=-6$，$c=1$，
根据一元二次方程有实数根的条件，判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，
代入得：$\Delta = (-6)^2 - 4× m × 1 = 36 - 4m ≥ 0$，
解不等式得：$m ≤ 9$，结合前提$m≠0$，此时$m$的取值范围是$m≤9$且$m≠0$。
将两种情况的范围合并，可得$m$的取值范围是$m≤9$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
方程实根判定；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是默认方程为一元二次方程，忽略$m=0$的情况从而错选B选项，解题时遇到含参数的二次项系数的方程，若题目未明确说明是二次方程，一定要先验证二次项系数为0的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
遇到含参数的二次项系数的方程有实根的问题，首先要注意题目未明确说明方程是一元二次方程，因此需要分两种情况讨论：①当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，判断是否存在实数根；②当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，结合根的判别式Δ≥0求解参数范围，最后合并两种情况的结果即可得到m的取值范围，避免直接默认方程是二次方程造成漏解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$m=0$时，原方程化为$-6x+1=0$，是一元一次方程，解得$x=\frac{1}{6}$，有实数根，符合题意；
2. 当$m≠0$时，原方程是一元二次方程，其中$a=m$，$b=-6$，$c=1$，
根据一元二次方程有实数根的条件，判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，
代入得：$\Delta = (-6)^2 - 4× m × 1 = 36 - 4m ≥ 0$，
解不等式得：$m ≤ 9$，结合前提$m≠0$，此时$m$的取值范围是$m≤9$且$m≠0$。
将两种情况的范围合并，可得$m$的取值范围是$m≤9$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
方程实根判定；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是默认方程为一元二次方程，忽略$m=0$的情况从而错选B选项，解题时遇到含参数的二次项系数的方程，若题目未明确说明是二次方程，一定要先验证二次项系数为0的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
3. 等腰三角形的三边长分别为$a$，$b$，$2$，且$a$，$b$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +n +1=0$的两个根，则$n$的值为（
A.7
B.8
C.7或8
D.8或9
B
）。A.7
B.8
C.7或8
D.8或9
答案
3.B
解析
【分析】
解题需结合等腰三角形性质、一元二次方程相关知识及三角形三边关系分步推导：首先分两种情况讨论等腰三角形的边长构成：①腰长为2，即a、b中有一个值为2；②底边长为2，即a=b，两腰相等。两种情况分别求出n的取值后，必须验证三边长是否满足三角形三边关系，排除不成立的情况即可得到正确结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若a、b其中一个边长为2（即等腰三角形腰长为2）：
将x=2代入方程$x^2 -6x +n +1=0$，得：
$2^2 -6×2 +n+1=0$
解得$n=7$。
将$n=7$代入原方程得$x^2-6x+8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$。
此时三角形三边长为2、2、4，$\because 2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况舍去，$n=7$不符合要求。
2. 若$a=b$（即等腰三角形底边长为2，两腰为a、b）：
此时一元二次方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-6)^2 -4×1×(n+1)=32-4n=0$
解得$n=8$。
将$n=8$代入原方程得$x^2-6x+9=0$，解得$x_1=x_2=3$。
此时三角形三边长为3、3、2，满足三角形三边关系，该情况成立。
综上，$n$的值为8，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，一元二次方程根的判别式，三角形三边关系
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，易错点是求出$n=7$后忽略验证三角形三边关系，误选C选项，解题时要注意几何结论的合理性检验，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
解题需结合等腰三角形性质、一元二次方程相关知识及三角形三边关系分步推导：首先分两种情况讨论等腰三角形的边长构成：①腰长为2，即a、b中有一个值为2；②底边长为2，即a=b，两腰相等。两种情况分别求出n的取值后，必须验证三边长是否满足三角形三边关系，排除不成立的情况即可得到正确结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若a、b其中一个边长为2（即等腰三角形腰长为2）：
将x=2代入方程$x^2 -6x +n +1=0$，得：
$2^2 -6×2 +n+1=0$
解得$n=7$。
将$n=7$代入原方程得$x^2-6x+8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$。
此时三角形三边长为2、2、4，$\because 2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况舍去，$n=7$不符合要求。
2. 若$a=b$（即等腰三角形底边长为2，两腰为a、b）：
此时一元二次方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-6)^2 -4×1×(n+1)=32-4n=0$
解得$n=8$。
将$n=8$代入原方程得$x^2-6x+9=0$，解得$x_1=x_2=3$。
此时三角形三边长为3、3、2，满足三角形三边关系，该情况成立。
综上，$n$的值为8，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，一元二次方程根的判别式，三角形三边关系
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，易错点是求出$n=7$后忽略验证三角形三边关系，误选C选项，解题时要注意几何结论的合理性检验，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
4.若一元二次方程$x^2 + px + 6 = 0$的一个根是$x=2$，则另一个根是
3
。答案
4.3
解析
【分析】
我们已知一元二次方程的一个根，要求另一个根，有两种符合学段要求的解题思路：第一种是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中二次项系数为1，常数项为6，因此两根乘积为6，用乘积除以已知根即可直接得到另一个根，计算更简便；第二种是先将已知根代入原方程，求出未知系数$p$，再解完整的一元二次方程得到另一个根，思路更直观。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，
对于一元二次方程$x^2 + px + 6 = 0$，由韦达定理得两根之积为$\frac{6}{1}=6$，即：
$2× x_1=6$
解得$x_1=3$。
方法二（代入求解法）：
将$x=2$代入原方程，得：
$2^2+2p+6=0$
整理得$10+2p=0$，解得$p=-5$。
因此原方程为$x^2-5x+6=0$，
因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$，即另一个根为3。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题型，两种解题方法都要求熟练掌握，其中运用韦达定理解题可以省略求解未知系数的步骤，大幅提升解题速度，是解决此类问题的优先选择。
【难度系数】
0.9
我们已知一元二次方程的一个根，要求另一个根，有两种符合学段要求的解题思路：第一种是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），两根之积为$\frac{c}{a}$，本题中二次项系数为1，常数项为6，因此两根乘积为6，用乘积除以已知根即可直接得到另一个根，计算更简便；第二种是先将已知根代入原方程，求出未知系数$p$，再解完整的一元二次方程得到另一个根，思路更直观。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，
对于一元二次方程$x^2 + px + 6 = 0$，由韦达定理得两根之积为$\frac{6}{1}=6$，即：
$2× x_1=6$
解得$x_1=3$。
方法二（代入求解法）：
将$x=2$代入原方程，得：
$2^2+2p+6=0$
整理得$10+2p=0$，解得$p=-5$。
因此原方程为$x^2-5x+6=0$，
因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$，即另一个根为3。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题型，两种解题方法都要求熟练掌握，其中运用韦达定理解题可以省略求解未知系数的步骤，大幅提升解题速度，是解决此类问题的优先选择。
【难度系数】
0.9
5. 当$x=$
$2+\sqrt{5}$或$2-\sqrt{5}$
时，代数式$x^2 - x$的值与$3x + 1$的值相等。答案
5.$2+\sqrt{5}$或$2-\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题的核心是抓住“两个代数式的值相等”这一等量关系，首先根据题意列方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，最后用配方法或公式法求解即可得到x的取值。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$\boldsymbol{x^2 - x = 3x + 1}$
移项，将所有项移至等号左侧：
$x^2 - x - 3x - 1 = 0$
合并同类项，整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - 4x - 1 = 0$
用配方法求解：
移项得 $x^2 - 4x = 1$
方程两边同时加一次项系数一半的平方（$2^2=4$）：
$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$
即 $(x-2)^2 = 5$
两边开平方得：
$x-2 = \pm\sqrt{5}$
解得 $x=2+\sqrt{5}$ 或 $x=2-\sqrt{5}$
【答案】
$2+\sqrt{5}$或$2-\sqrt{5}$
【知识点】
列一元二次方程；配方法解方程；一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础题型，重点考察根据等量关系列方程的能力和一元二次方程的求解能力，熟练掌握配方法、公式法等常见解方程方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住“两个代数式的值相等”这一等量关系，首先根据题意列方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，最后用配方法或公式法求解即可得到x的取值。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$\boldsymbol{x^2 - x = 3x + 1}$
移项，将所有项移至等号左侧：
$x^2 - x - 3x - 1 = 0$
合并同类项，整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - 4x - 1 = 0$
用配方法求解：
移项得 $x^2 - 4x = 1$
方程两边同时加一次项系数一半的平方（$2^2=4$）：
$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$
即 $(x-2)^2 = 5$
两边开平方得：
$x-2 = \pm\sqrt{5}$
解得 $x=2+\sqrt{5}$ 或 $x=2-\sqrt{5}$
【答案】
$2+\sqrt{5}$或$2-\sqrt{5}$
【知识点】
列一元二次方程；配方法解方程；一元二次方程的解法
【点评】
本题是基础题型，重点考察根据等量关系列方程的能力和一元二次方程的求解能力，熟练掌握配方法、公式法等常见解方程方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6.解下列方程：
(1)$(3x-1)^2=(-5)^2$；
(2)$x^2-2x-2=0$；
(3)$x^2-16=2x+8$；
(4)$(x-3)^2+5(3-x)=0$。
(1)$(3x-1)^2=(-5)^2$；
(2)$x^2-2x-2=0$；
(3)$x^2-16=2x+8$；
(4)$(x-3)^2+5(3-x)=0$。
答案
(1)$x_1=2,x_2=-\dfrac{4}{3}$;(2)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$;(3)$x_1=-4,x_2=6$;(4)$x_1=3,x_2=8$。
解析
【分析】
解这组一元二次方程可根据方程特征选择最优解法：(1)方程左右两边均为完全平方形式，优先用直接开平方法，先化简右侧，再开方转化为两个一次方程求解；(2)二次项系数为1、一次项系数为偶数，适合用配方法或公式法求解；(3)可先移项整理，再用因式分解法简化计算；(4)将$(3-x)$变形为$-(x-3)$后提取公因式，用因式分解法求解，避免展开后增大计算量。
【解析】
(1) 原方程化简得：$(3x-1)^2=25$
两边开平方得：$3x-1=\pm5$
当$3x-1=5$时，$3x=6$，解得$x_1=2$
当$3x-1=-5$时，$3x=-4$，解得$x_2=-\dfrac{4}{3}$
(2) 移项得：$x^2-2x=2$
配方，两边同时加1得：$x^2-2x+1=2+1$，即$(x-1)^2=3$
开平方得：$x-1=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$
(3) 移项整理得：$x^2-2x-24=0$
因式分解得：$(x+4)(x-6)=0$
则$x+4=0$或$x-6=0$
解得$x_1=-4$，$x_2=6$
(4) 原方程变形为：$(x-3)^2-5(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)(x-3-5)=0$，即$(x-3)(x-8)=0$
则$x-3=0$或$x-8=0$
解得$x_1=3$，$x_2=8$
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-\dfrac{4}{3}$;(2)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$;(3)$x_1=-4,x_2=6$;(4)$x_1=3,x_2=8$
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程不同解法的灵活运用，根据方程的结构特征选择简便解法可降低计算量、提升准确率，属于一元二次方程的基础题型。
【难度系数】
0.7
解这组一元二次方程可根据方程特征选择最优解法：(1)方程左右两边均为完全平方形式，优先用直接开平方法，先化简右侧，再开方转化为两个一次方程求解；(2)二次项系数为1、一次项系数为偶数，适合用配方法或公式法求解；(3)可先移项整理，再用因式分解法简化计算；(4)将$(3-x)$变形为$-(x-3)$后提取公因式，用因式分解法求解，避免展开后增大计算量。
【解析】
(1) 原方程化简得：$(3x-1)^2=25$
两边开平方得：$3x-1=\pm5$
当$3x-1=5$时，$3x=6$，解得$x_1=2$
当$3x-1=-5$时，$3x=-4$，解得$x_2=-\dfrac{4}{3}$
(2) 移项得：$x^2-2x=2$
配方，两边同时加1得：$x^2-2x+1=2+1$，即$(x-1)^2=3$
开平方得：$x-1=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=1+\sqrt{3}$，$x_2=1-\sqrt{3}$
(3) 移项整理得：$x^2-2x-24=0$
因式分解得：$(x+4)(x-6)=0$
则$x+4=0$或$x-6=0$
解得$x_1=-4$，$x_2=6$
(4) 原方程变形为：$(x-3)^2-5(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)(x-3-5)=0$，即$(x-3)(x-8)=0$
则$x-3=0$或$x-8=0$
解得$x_1=3$，$x_2=8$
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-\dfrac{4}{3}$;(2)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$;(3)$x_1=-4,x_2=6$;(4)$x_1=3,x_2=8$
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程不同解法的灵活运用，根据方程的结构特征选择简便解法可降低计算量、提升准确率，属于一元二次方程的基础题型。
【难度系数】
0.7
7.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + a = 0$。
(1)若$b=5$，$a=4$求方程的两根；
(2)当$b=a+3$时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(3)若方程的两个实数根满足$x_1=2x_2$，写出一组满足条件的$a$，$b$的值。
(1)若$b=5$，$a=4$求方程的两根；
(2)当$b=a+3$时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(3)若方程的两个实数根满足$x_1=2x_2$，写出一组满足条件的$a$，$b$的值。
答案
(1)$x_1=-1,x_2=-4$。
(2)原方程有两个不相等的实数根。
(3)$a=2,b=3$(答案不唯一)。
(2)原方程有两个不相等的实数根。
(3)$a=2,b=3$(答案不唯一)。
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程的核心知识点设置三小问，解题思路如下：
(1) 第一问给出a、b的具体值，直接代入方程后，可通过因式分解法求解方程的根，属于基础计算类问题。
(2) 第二问要求用根的判别式判断根的情况，先写出判别式Δ的表达式，再将b=a+3代入，化简后判断Δ的符号即可得出结论。
(3) 第三问是开放类问题，利用根与系数的关系，结合x₁=2x₂的条件推导a、b的数量关系，任取满足关系的数值即可。
【解析】
(1) 把$b=5$，$a=4$代入方程得：$x^2 + 5x + 4 = 0$，
因式分解得：$(x+1)(x+4)=0$，
则$x+1=0$或$x+4=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-4$。
(2) 一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×1× a = b^2 - 4a$，
把$b=a+3$代入得：
$\Delta = (a+3)^2 - 4a = a^2 + 6a + 9 - 4a = a^2 + 2a + 9$，
配方得：$\Delta = (a+1)^2 + 8$，
∵$(a+1)^2 ≥ 0$，
∴$(a+1)^2 + 8 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴原方程有两个不相等的实数根。
(3) 根据根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = a$，
∵$x_1 = 2x_2$，代入得：$2x_2 + x_2 = -b$，即$x_2 = -\frac{b}{3}$，$x_1 = -\frac{2b}{3}$，
代入乘积关系得：$a = (-\frac{2b}{3})×(-\frac{b}{3}) = \frac{2b^2}{9}$，
取$b=3$时，$a = \frac{2× 9}{9} = 2$，即$a=2,b=3$为一组满足条件的值（答案不唯一）。
【答案】
(1)$x_1=-1,x_2=-4$；
(2)原方程有两个不相等的实数根；
(3)$a=2,b=3$(答案不唯一)。
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题梯度设置合理，前两问侧重基础知识点的直接应用，第三问为开放型问题，需要灵活运用根与系数的关系推导参数关系，能有效考查学生对一元二次方程核心知识的掌握程度和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕一元二次方程的核心知识点设置三小问，解题思路如下：
(1) 第一问给出a、b的具体值，直接代入方程后，可通过因式分解法求解方程的根，属于基础计算类问题。
(2) 第二问要求用根的判别式判断根的情况，先写出判别式Δ的表达式，再将b=a+3代入，化简后判断Δ的符号即可得出结论。
(3) 第三问是开放类问题，利用根与系数的关系，结合x₁=2x₂的条件推导a、b的数量关系，任取满足关系的数值即可。
【解析】
(1) 把$b=5$，$a=4$代入方程得：$x^2 + 5x + 4 = 0$，
因式分解得：$(x+1)(x+4)=0$，
则$x+1=0$或$x+4=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-4$。
(2) 一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4×1× a = b^2 - 4a$，
把$b=a+3$代入得：
$\Delta = (a+3)^2 - 4a = a^2 + 6a + 9 - 4a = a^2 + 2a + 9$，
配方得：$\Delta = (a+1)^2 + 8$，
∵$(a+1)^2 ≥ 0$，
∴$(a+1)^2 + 8 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴原方程有两个不相等的实数根。
(3) 根据根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = a$，
∵$x_1 = 2x_2$，代入得：$2x_2 + x_2 = -b$，即$x_2 = -\frac{b}{3}$，$x_1 = -\frac{2b}{3}$，
代入乘积关系得：$a = (-\frac{2b}{3})×(-\frac{b}{3}) = \frac{2b^2}{9}$，
取$b=3$时，$a = \frac{2× 9}{9} = 2$，即$a=2,b=3$为一组满足条件的值（答案不唯一）。
【答案】
(1)$x_1=-1,x_2=-4$；
(2)原方程有两个不相等的实数根；
(3)$a=2,b=3$(答案不唯一)。
【知识点】
一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题梯度设置合理，前两问侧重基础知识点的直接应用，第三问为开放型问题，需要灵活运用根与系数的关系推导参数关系，能有效考查学生对一元二次方程核心知识的掌握程度和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
