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8.对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，下列说法正确的是（
A.若$a-b+c=0$，则$b^2-4ac≤0$
B.若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，则方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根
C.若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，则一定有$ac+b+1=0$成立
D.若$am^2+bm+c=an^2+bn+c$，则$m=n$
B
）。A.若$a-b+c=0$，则$b^2-4ac≤0$
B.若方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，则方程$ax^2+bx+c=0$必有两个不相等的实根
C.若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，则一定有$ac+b+1=0$成立
D.若$am^2+bm+c=an^2+bn+c$，则$m=n$
答案
8.B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的相关性质，解题时需逐一分析每个选项，结合一元二次方程根的定义、根的判别式的意义、等式变形及因式分解的规则，判断每个说法的正误，最终选出正确选项。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
1. 分析选项A：若$a-b+c=0$，说明$x=-1$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个实根，此时方程有实根，判别式$b^2-4ac≥0$，而非$b^2-4ac≤0$，故A错误。
2. 分析选项B：方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，它的判别式$\Delta_1=0^2-4ac=-4ac＞0$；对于方程$ax^2+bx+c=0$，其判别式$\Delta=b^2-4ac$，因为$b^2≥0$，且已知$-4ac＞0$，所以$\Delta=b^2-4ac＞0$，因此方程必有两个不相等的实根，故B正确。
3. 分析选项C：若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，将$x=c$代入方程得$ac^2+bc+c=0$，提取公因式得$c(ac+b+1)=0$，则$c=0$或$ac+b+1=0$，并非一定有$ac+b+1=0$，故C错误。
4. 分析选项D：对$am^2+bm+c=an^2+bn+c$移项整理得$a(m^2-n^2)+b(m-n)=0$，因式分解得$(m-n)[a(m+n)+b]=0$，则$m=n$或$a(m+n)+b=0$，并非一定有$m=n$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的意义
3. 等式变形
【点评】
本题围绕一元二次方程的核心性质命题，需要考生对根的判别式、根的代入规则有清晰理解，易错点是容易忽略特殊情况（如C选项中$c=0$的情况、D选项中另一个因式为0的情况），解题时需注意全面考虑。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程的相关性质，解题时需逐一分析每个选项，结合一元二次方程根的定义、根的判别式的意义、等式变形及因式分解的规则，判断每个说法的正误，最终选出正确选项。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
1. 分析选项A：若$a-b+c=0$，说明$x=-1$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个实根，此时方程有实根，判别式$b^2-4ac≥0$，而非$b^2-4ac≤0$，故A错误。
2. 分析选项B：方程$ax^2+c=0$有两个不相等的实根，它的判别式$\Delta_1=0^2-4ac=-4ac＞0$；对于方程$ax^2+bx+c=0$，其判别式$\Delta=b^2-4ac$，因为$b^2≥0$，且已知$-4ac＞0$，所以$\Delta=b^2-4ac＞0$，因此方程必有两个不相等的实根，故B正确。
3. 分析选项C：若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，将$x=c$代入方程得$ac^2+bc+c=0$，提取公因式得$c(ac+b+1)=0$，则$c=0$或$ac+b+1=0$，并非一定有$ac+b+1=0$，故C错误。
4. 分析选项D：对$am^2+bm+c=an^2+bn+c$移项整理得$a(m^2-n^2)+b(m-n)=0$，因式分解得$(m-n)[a(m+n)+b]=0$，则$m=n$或$a(m+n)+b=0$，并非一定有$m=n$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的意义
3. 等式变形
【点评】
本题围绕一元二次方程的核心性质命题，需要考生对根的判别式、根的代入规则有清晰理解，易错点是容易忽略特殊情况（如C选项中$c=0$的情况、D选项中另一个因式为0的情况），解题时需注意全面考虑。
【难度系数】
0.7
9.设$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$的两根。
(1)当$x_1=-1$时，求$x_2$及$m$的值；
(2)求证：无论$m$取何值，方程总有两个实数根；
(3)求证：$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$。
(1)当$x_1=-1$时，求$x_2$及$m$的值；
(2)求证：无论$m$取何值，方程总有两个实数根；
(3)求证：$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$。
答案
(1)$x_2=4,m=\pm\sqrt{6}$。
(2)证明:因为$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=4m^2+1＞0$，
所以无论$m$取何值，方程总有两个实数根。
(3)证明:由条件可知$x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2$，
所以$(x_1-1)(x_2-1)$
$=x_1x_2-x_1-x_2+1$
$=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$
$=2-m^2-3+1$
$=-m^2≤0$，
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
(2)证明:因为$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=4m^2+1＞0$，
所以无论$m$取何值，方程总有两个实数根。
(3)证明:由条件可知$x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2$，
所以$(x_1-1)(x_2-1)$
$=x_1x_2-x_1-x_2+1$
$=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$
$=2-m^2-3+1$
$=-m^2≤0$，
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程的根的相关性质设置3个小问，解题思路如下：
(1) 已知方程的一个根，可先利用根与系数的关系（两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数）直接求出另一个根，再结合两根之积的关系即可求出m的值，该方法计算更简便。
(2) 要证明无论m取何值方程总有两个实数根，只需计算方程的判别式Δ，证明Δ恒大于0即可，判别式大于0时一元二次方程有两个不相等的实数根。
(3) 要证明代数式小于等于0，先将代数式展开整理，再利用根与系数的关系代入两根之和、两根之积的表达式，化简后结合平方的非负性即可证明结论。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$，由根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$。
已知$x_1=-1$，代入$x_1 + x_2 = 3$得：$-1 + x_2 = 3$，解得$x_2=4$。
再代入$x_1x_2 = 2 - m^2$得：$-1×4 = 2 - m^2$，整理得$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
(2) 证明：一元二次方程的判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(2 - m^2) = 9 - 8 + 4m^2 = 4m^2 + 1$。
∵ 对于任意实数m，都有$m^2≥0$，
∴$4m^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，
∴ 无论m取何值，方程总有两个实数根。
(3) 证明：由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$。
将$(x_1 - 1)(x_2 - 1)$展开得：
$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$，
代入$x_1 + x_2$和$x_1x_2$的值得：
原式$= (2 - m^2) - 3 + 1 = -m^2$，
∵ 对于任意实数m，都有$m^2≥0$，
∴$-m^2≤0$，
即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明见解析；
(3) 证明见解析。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，侧重考察根的判别式、韦达定理的应用，解题时注意结合平方的非负性分析问题，计算过程中要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题围绕一元二次方程的根的相关性质设置3个小问，解题思路如下：
(1) 已知方程的一个根，可先利用根与系数的关系（两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数）直接求出另一个根，再结合两根之积的关系即可求出m的值，该方法计算更简便。
(2) 要证明无论m取何值方程总有两个实数根，只需计算方程的判别式Δ，证明Δ恒大于0即可，判别式大于0时一元二次方程有两个不相等的实数根。
(3) 要证明代数式小于等于0，先将代数式展开整理，再利用根与系数的关系代入两根之和、两根之积的表达式，化简后结合平方的非负性即可证明结论。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$，由根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$。
已知$x_1=-1$，代入$x_1 + x_2 = 3$得：$-1 + x_2 = 3$，解得$x_2=4$。
再代入$x_1x_2 = 2 - m^2$得：$-1×4 = 2 - m^2$，整理得$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
(2) 证明：一元二次方程的判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(2 - m^2) = 9 - 8 + 4m^2 = 4m^2 + 1$。
∵ 对于任意实数m，都有$m^2≥0$，
∴$4m^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，
∴ 无论m取何值，方程总有两个实数根。
(3) 证明：由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$。
将$(x_1 - 1)(x_2 - 1)$展开得：
$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$，
代入$x_1 + x_2$和$x_1x_2$的值得：
原式$= (2 - m^2) - 3 + 1 = -m^2$，
∵ 对于任意实数m，都有$m^2≥0$，
∴$-m^2≤0$，
即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明见解析；
(3) 证明见解析。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，侧重考察根的判别式、韦达定理的应用，解题时注意结合平方的非负性分析问题，计算过程中要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.8
10.综合与实践
【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系
【素材呈现】
素材1:某商场以每件40元的成本价新进一批小家电,准备采用降价销售的方式尽快售出这批小家电,获取合理的利润;
素材2:在销售过程中发现,这种小家电的售价定为60元/件时,每天可卖出100件,在此基础上,这种小家电的价格每降低2元,该商场每天可多卖出5件;
素材3:假设该小家电的价格定为x元/件(40≤x≤60)。
【问题解决】
(1)用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是
(2)已知该商场销售这种小家电每天的利润是1 250元,求这种小家电的价格。
(3)该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2 500元?若能,求出这种小家电的价格;若不能,请说明理由。
【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系
【素材呈现】
素材1:某商场以每件40元的成本价新进一批小家电,准备采用降价销售的方式尽快售出这批小家电,获取合理的利润;
素材2:在销售过程中发现,这种小家电的售价定为60元/件时,每天可卖出100件,在此基础上,这种小家电的价格每降低2元,该商场每天可多卖出5件;
素材3:假设该小家电的价格定为x元/件(40≤x≤60)。
【问题解决】
(1)用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是
$(-\dfrac{5}{2}x+250)$
件。(2)已知该商场销售这种小家电每天的利润是1 250元,求这种小家电的价格。
(3)该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2 500元?若能,求出这种小家电的价格;若不能,请说明理由。
答案
(1)$(-\dfrac{5}{2}x+250)$
(2)这种小家电的价格为50元/件。
(3)不能。理由略。
(2)这种小家电的价格为50元/件。
(3)不能。理由略。
解析
【分析】
解决本题需逐步梳理各数量间的关系：
1. 第(1)问：先求出售价为x元时较60元降低的金额，结合“每降2元多卖5件”的条件算出多销售的数量，加基础销量100件后化简即可得到销量的代数式。
2. 第(2)问：根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系列一元二次方程，求解后结合x的取值范围$40≤ x≤60$舍去不符合要求的解，即可得到正确售价。
3. 第(3)问：先假设利润能达到2500元，按上述等量关系列方程，通过判断一元二次方程根的判别式的符号，确定方程是否有符合条件的实数根，即可判断利润能否达到。
【解析】
(1) 当售价为x元/件时，相比60元降低了$(60-x)$元，
由每降低2元多卖5件，得多销售的数量为$\frac{60-x}{2}×5$件，
则每天售出总数量为：
$100+\frac{5(60-x)}{2}=100+150-\frac{5}{2}x=-\frac{5}{2}x+250$（件）。
(2) 每件小家电利润为$(x-40)$元，总利润为1250元，列方程得：
$(x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=1250$
两边同乘2消分母得：$(x-40)(-5x+500)=2500$
整理得：$x^2-140x+4500=0$
因式分解得：$(x-50)(x-90)=0$
解得$x_1=50$，$x_2=90$，
因为$40≤ x≤60$，故$x=90$舍去，得$x=50$。
(3) 不能，理由如下：
假设利润能达到2500元，列方程得：
$(x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=2500$
整理得：$x^2-140x+5000=0$
根的判别式$\Delta=140^2-4×1×5000=-400＜0$，方程无实数根，因此不存在符合条件的售价，利润不能达到2500元。
【答案】
(1)$-\dfrac{5}{2}x+250$
(2)这种小家电的价格为50元/件。
(3)不能。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的销售利润类实际应用题，核心是理清销量、单件利润、总利润三者的等量关系，求解方程时需结合自变量的实际取值范围取舍解，第三问通过判别式判断方程解的存在性，考查了方程思想和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
解决本题需逐步梳理各数量间的关系：
1. 第(1)问：先求出售价为x元时较60元降低的金额，结合“每降2元多卖5件”的条件算出多销售的数量，加基础销量100件后化简即可得到销量的代数式。
2. 第(2)问：根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系列一元二次方程，求解后结合x的取值范围$40≤ x≤60$舍去不符合要求的解，即可得到正确售价。
3. 第(3)问：先假设利润能达到2500元，按上述等量关系列方程，通过判断一元二次方程根的判别式的符号，确定方程是否有符合条件的实数根，即可判断利润能否达到。
【解析】
(1) 当售价为x元/件时，相比60元降低了$(60-x)$元，
由每降低2元多卖5件，得多销售的数量为$\frac{60-x}{2}×5$件，
则每天售出总数量为：
$100+\frac{5(60-x)}{2}=100+150-\frac{5}{2}x=-\frac{5}{2}x+250$（件）。
(2) 每件小家电利润为$(x-40)$元，总利润为1250元，列方程得：
$(x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=1250$
两边同乘2消分母得：$(x-40)(-5x+500)=2500$
整理得：$x^2-140x+4500=0$
因式分解得：$(x-50)(x-90)=0$
解得$x_1=50$，$x_2=90$，
因为$40≤ x≤60$，故$x=90$舍去，得$x=50$。
(3) 不能，理由如下：
假设利润能达到2500元，列方程得：
$(x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=2500$
整理得：$x^2-140x+5000=0$
根的判别式$\Delta=140^2-4×1×5000=-400＜0$，方程无实数根，因此不存在符合条件的售价，利润不能达到2500元。
【答案】
(1)$-\dfrac{5}{2}x+250$
(2)这种小家电的价格为50元/件。
(3)不能。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；根的判别式的应用
【点评】
本题是典型的销售利润类实际应用题，核心是理清销量、单件利润、总利润三者的等量关系，求解方程时需结合自变量的实际取值范围取舍解，第三问通过判别式判断方程解的存在性，考查了方程思想和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
