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12.根据下列要求，回答相关问题：
(1)请补全以下求不等式$-2x^2 -4x≥0$的解集的过程：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数$y=-2x^2 -4x$，并在如图①所示的平面直角坐标系中画出二次函数$y=-2x^2 -4x$的图象；(只画出大致图象即可)
②求得界点，标示所需：当$y=0$时，求得方程$-2x^2 -4x=0$的解为
③借助图象，写出解集：由图象可得不等式$-2x^2 -4x≥0$的解集为
(2)利用(1)中求不等式解集的步骤，求不等式$x^2 -2x+1＜4$的解集：
①构造函数，在图②中画出图象；
②求得界点，标示所需；
③借助图象，写出解集。
(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于$x$的不等式$ax^2 +bx +c＞0(a＞0)$的解集。
(1)请补全以下求不等式$-2x^2 -4x≥0$的解集的过程：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数$y=-2x^2 -4x$，并在如图①所示的平面直角坐标系中画出二次函数$y=-2x^2 -4x$的图象；(只画出大致图象即可)
②求得界点，标示所需：当$y=0$时，求得方程$-2x^2 -4x=0$的解为
$x_1=0,x_2=-2$
；③借助图象，写出解集：由图象可得不等式$-2x^2 -4x≥0$的解集为
$-2≤ x≤0$
。(2)利用(1)中求不等式解集的步骤，求不等式$x^2 -2x+1＜4$的解集：
①构造函数，在图②中画出图象；
②求得界点，标示所需；
③借助图象，写出解集。
(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于$x$的不等式$ax^2 +bx +c＞0(a＞0)$的解集。
答案
12.(1)①解:大致图象如图①所示。
②$x_1=0,x_2=-2$
③$-2≤ x≤0$
(2)解:①构造函数$y=x^2-2x+1$。画出图象,如图②所示。
②当$y=4$时,方程$x^2-2x+1=4$的解为$x_1=-1,x_2=3$。
③由图②知,不等式$x^2-2x+1＜4$的解集是$-1＜x＜3$。
(3)解:当$b^2-4ac＞0$时,关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞0(a＞0)$的解集是$x＞\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$或$x＜\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$;
当$b^2-4ac=0$时,关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞0(a＞0)$的解集是$x≠-\frac{b}{2a}$;
当$b^2-4ac＜0$时,关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞0(a＞0)$的解集是全体实数。
解析
【分析】
本题考查利用数形结合思想求解一元二次不等式，解题思路如下：1. 求解一元二次不等式时，首先构造对应的二次函数，画出函数大致图像，明确开口方向；2. 求函数值等于不等式右侧值时对应的一元二次方程的解，即图像的界点；3. 根据开口方向，观察函数图像满足不等式的部分对应的x的取值范围，即为不等式的解集。对于含参数的不等式，还需要根据判别式的符号分类讨论解的情况。
【解析】
(1) ②解方程$-2x^2 -4x=0$，提取公因式得$-2x(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$；
③二次函数$y=-2x^2-4x$的二次项系数为$-2＜0$，图像开口向下，因此$y≥0$的部分对应图像在x轴及上方的区间，即两根之间，解集为$-2≤x≤0$。
(2) ①构造二次函数$y=x^2-2x+1$，配方得$y=(x-1)^2$，图像为开口向上，顶点坐标为$(1,0)$的抛物线；
②令$y=4$，得方程$x^2-2x+1=4$，整理为$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$；
③函数开口向上，$y＜4$对应图像在直线$y=4$下方的区间，即两根之间，因此解集为$-1＜x＜3$。
(3) 对于不等式$ax^2+bx+c＞0(a＞0)$，对应的二次函数开口向上，设判别式$\Delta=b^2-4ac$：
①当$\Delta＞0$时，方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根$x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，函数值大于0的部分在两根外侧，解集为$x＜\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$或$x＞\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
②当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根$x=-\frac{b}{2a}$，函数图像仅在顶点处与x轴相交，其余部分均在x轴上方，因此解集为$x≠-\frac{b}{2a}$；
③当$\Delta＜0$时，方程无实数根，函数图像全部在x轴上方，因此解集为全体实数。
【答案】
12.(1)①解:大致图象如图①所示。
②$x_1=0,x_2=-2$
③$-2≤ x≤0$
(2)解:①构造函数$y=x^2-2x+1$。画出图象,如图②所示。
②当$y=4$时,方程$x^2-2x+1=4$的解为$x_1=-1,x_2=3$。
③由图②知,不等式$x^2-2x+1＜4$的解集是$-1＜x＜3$。
(3)解:当$b^2-4ac＞0$时,关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞0(a＞0)$的解集是$x＞\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$或$x＜\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$;
当$b^2-4ac=0$时,关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞0(a＞0)$的解集是$x≠-\frac{b}{2a}$;
当$b^2-4ac＜0$时,关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞0(a＞0)$的解集是全体实数。
【知识点】
一元二次不等式的图像解法；二次函数的图像与性质；一元二次方程的求解
【点评】
本题将二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者结合考查，突出了数形结合思想的应用，同时要求掌握分类讨论的方法分析含参数的不等式解集，有助于理解三个“二次”之间的内在联系。
【难度系数】
0.7
本题考查利用数形结合思想求解一元二次不等式，解题思路如下：1. 求解一元二次不等式时，首先构造对应的二次函数，画出函数大致图像，明确开口方向；2. 求函数值等于不等式右侧值时对应的一元二次方程的解，即图像的界点；3. 根据开口方向，观察函数图像满足不等式的部分对应的x的取值范围，即为不等式的解集。对于含参数的不等式，还需要根据判别式的符号分类讨论解的情况。
【解析】
(1) ②解方程$-2x^2 -4x=0$，提取公因式得$-2x(x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$；
③二次函数$y=-2x^2-4x$的二次项系数为$-2＜0$，图像开口向下，因此$y≥0$的部分对应图像在x轴及上方的区间，即两根之间，解集为$-2≤x≤0$。
(2) ①构造二次函数$y=x^2-2x+1$，配方得$y=(x-1)^2$，图像为开口向上，顶点坐标为$(1,0)$的抛物线；
②令$y=4$，得方程$x^2-2x+1=4$，整理为$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$；
③函数开口向上，$y＜4$对应图像在直线$y=4$下方的区间，即两根之间，因此解集为$-1＜x＜3$。
(3) 对于不等式$ax^2+bx+c＞0(a＞0)$，对应的二次函数开口向上，设判别式$\Delta=b^2-4ac$：
①当$\Delta＞0$时，方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根$x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，函数值大于0的部分在两根外侧，解集为$x＜\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$或$x＞\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
②当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根$x=-\frac{b}{2a}$，函数图像仅在顶点处与x轴相交，其余部分均在x轴上方，因此解集为$x≠-\frac{b}{2a}$；
③当$\Delta＜0$时，方程无实数根，函数图像全部在x轴上方，因此解集为全体实数。
【答案】
12.(1)①解:大致图象如图①所示。
②$x_1=0,x_2=-2$
③$-2≤ x≤0$
(2)解:①构造函数$y=x^2-2x+1$。画出图象,如图②所示。
②当$y=4$时,方程$x^2-2x+1=4$的解为$x_1=-1,x_2=3$。
③由图②知,不等式$x^2-2x+1＜4$的解集是$-1＜x＜3$。
(3)解:当$b^2-4ac＞0$时,关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞0(a＞0)$的解集是$x＞\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$或$x＜\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$;
当$b^2-4ac=0$时,关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞0(a＞0)$的解集是$x≠-\frac{b}{2a}$;
当$b^2-4ac＜0$时,关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＞0(a＞0)$的解集是全体实数。
【知识点】
一元二次不等式的图像解法；二次函数的图像与性质；一元二次方程的求解
【点评】
本题将二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者结合考查，突出了数形结合思想的应用，同时要求掌握分类讨论的方法分析含参数的不等式解集，有助于理解三个“二次”之间的内在联系。
【难度系数】
0.7
