登录
6.如图，抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点坐标分别为$A(-2,4),B(1,1)$，则方程$ax^2=bx+c$的解是
$x_1=-2,x_2=1$
。答案
6.$x_1=-2,x_2=1$
解析
【分析】
解决本题的核心是明确方程解与函数图象交点的对应关系：将两个函数的解析式联立，消去y后得到的方程的解，就是两个函数图象交点的横坐标。本题中方程$ax^2=bx+c$恰好是抛物线$y=ax^2$和直线$y=bx+c$联立消去y得到的方程，因此只需提取已知两个交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知：方程$ax^2=bx+c$的解对应抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$交点的横坐标。
已知两函数的交点为$A(-2,4)$、$B(1,1)$，两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$，因此方程$ax^2=bx+c$的解为$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 函数图象交点的意义
【点评】
本题考查函数与方程的转化思想，不需要复杂计算，只要掌握函数图象交点横坐标对应联立方程的解这一知识点就能快速解答，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确方程解与函数图象交点的对应关系：将两个函数的解析式联立，消去y后得到的方程的解，就是两个函数图象交点的横坐标。本题中方程$ax^2=bx+c$恰好是抛物线$y=ax^2$和直线$y=bx+c$联立消去y得到的方程，因此只需提取已知两个交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知：方程$ax^2=bx+c$的解对应抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$交点的横坐标。
已知两函数的交点为$A(-2,4)$、$B(1,1)$，两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$，因此方程$ax^2=bx+c$的解为$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=1$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 函数图象交点的意义
【点评】
本题考查函数与方程的转化思想，不需要复杂计算，只要掌握函数图象交点横坐标对应联立方程的解这一知识点就能快速解答，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
7.(1)请在平面直角坐标系中画出二次函数$y=x^2-2x$的大致图象；
(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程$x^2-2x=1$的根在图上近似地表示出来(描点)；
(3)观察图象，直接写出方程$x^2-2x=1$的根(结果精确到0.1)。
(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程$x^2-2x=1$的根在图上近似地表示出来(描点)；
(3)观察图象，直接写出方程$x^2-2x=1$的根(结果精确到0.1)。
答案
7.解:(1)如图所示。
(2)正确作出点M,N。
(3)方程的根为$x_1=-0.4,x_2=2.4$。
解析
【分析】
1. 画二次函数图象：首先将二次函数解析式配方为顶点式，确定顶点坐标，再求出函数与坐标轴的交点，额外选取几个对称的辅助点，描点后用平滑曲线连接即可得到图象。
2. 表示方程的根：方程$x^2-2x=1$的根，对应二次函数$y=x^2-2x$函数值为1时的自变量x的值，也就是抛物线$y=x^2-2x$和直线$y=1$交点的横坐标，找到交点后向x轴作垂线，垂足就是要描的M、N点。
3. 求近似根：观察x轴上两个垂足的位置，读取坐标并精确到0.1即可得到方程的近似根。
【解析】
(1) 对二次函数配方得$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，可知顶点坐标为$(1,-1)$；令$y=0$，解得$x=0$或$x=2$，即抛物线与x轴交点为$(0,0)$、$(2,0)$；再选取$x=-1$得$y=3$、$x=3$得$y=3$，在坐标系中描出上述点，用平滑曲线连接，得到二次函数的大致图象。
(2) 方程$x^2-2x=1$等价于$y=x^2-2x$中$y=1$，作直线$y=1$，与抛物线交于两个点，过这两个点分别作x轴的垂线，垂足即为所求的点M、N。
(3) 观察x轴上两个垂足的位置，左侧垂足约为-0.4，右侧垂足约为2.4，即得方程的近似根。
【答案】
(1)如图所示。
(2)正确作出点M,N。
(3)方程的根为$x_1=-0.4,x_2=2.4$
【知识点】
二次函数图象画法；二次函数与一元二次方程的关系；图象法求方程近似根
【点评】
本题结合二次函数图象与一元二次方程的知识考查数形结合思想的应用，既要求掌握二次函数图象的基本绘制方法，也需要理解函数与方程的对应关系，能通过图象读取近似值，是二次函数应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
1. 画二次函数图象：首先将二次函数解析式配方为顶点式，确定顶点坐标，再求出函数与坐标轴的交点，额外选取几个对称的辅助点，描点后用平滑曲线连接即可得到图象。
2. 表示方程的根：方程$x^2-2x=1$的根，对应二次函数$y=x^2-2x$函数值为1时的自变量x的值，也就是抛物线$y=x^2-2x$和直线$y=1$交点的横坐标，找到交点后向x轴作垂线，垂足就是要描的M、N点。
3. 求近似根：观察x轴上两个垂足的位置，读取坐标并精确到0.1即可得到方程的近似根。
【解析】
(1) 对二次函数配方得$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，可知顶点坐标为$(1,-1)$；令$y=0$，解得$x=0$或$x=2$，即抛物线与x轴交点为$(0,0)$、$(2,0)$；再选取$x=-1$得$y=3$、$x=3$得$y=3$，在坐标系中描出上述点，用平滑曲线连接，得到二次函数的大致图象。
(2) 方程$x^2-2x=1$等价于$y=x^2-2x$中$y=1$，作直线$y=1$，与抛物线交于两个点，过这两个点分别作x轴的垂线，垂足即为所求的点M、N。
(3) 观察x轴上两个垂足的位置，左侧垂足约为-0.4，右侧垂足约为2.4，即得方程的近似根。
【答案】
(1)如图所示。
(2)正确作出点M,N。
(3)方程的根为$x_1=-0.4,x_2=2.4$
【知识点】
二次函数图象画法；二次函数与一元二次方程的关系；图象法求方程近似根
【点评】
本题结合二次函数图象与一元二次方程的知识考查数形结合思想的应用，既要求掌握二次函数图象的基本绘制方法，也需要理解函数与方程的对应关系，能通过图象读取近似值，是二次函数应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
8.如图,二次函数$y=ax^2+2x-3$的图象与$x$轴有一个交点在0和1之间(不含0和1),则$a$的取值范围是(
A.$a＞\frac{1}{3}$
B.$0＜a＜1$
C.$a＞1$
D.$a＞-\frac{1}{3}$且$a≠0$
C
)。A.$a＞\frac{1}{3}$
B.$0＜a＜1$
C.$a＞1$
D.$a＞-\frac{1}{3}$且$a≠0$
答案
8.C
解析
【分析】
首先观察二次函数图象，抛物线开口向上，可先确定二次项系数a＞0；其次代入x=0计算函数值，可得x=0时y=-3＜0；题目要求函数图象与x轴的一个交点在0和1之间，结合开口向上的性质，可知x=1处的函数值必须大于0，据此列不等式求解，再验证判别式保证函数与x轴有两个交点即可得到a的取值范围。
【解析】
步骤1：由图象可知二次函数开口向上，因此二次项系数$a＞0$。
步骤2：代入$x=0$到函数解析式，得$y=a×0^2+2×0-3=-3＜0$。
步骤3：因为函数与x轴的一个交点在$(0,1)$之间，且抛物线开口向上，因此当$x=1$时，函数值$y＞0$。
将$x=1$代入解析式得：$y=a×1^2+2×1-3=a-1$。
令$a-1＞0$，解得$a＞1$。
步骤4：验证判别式：$\Delta=2^2-4× a×(-3)=4+12a$，当$a＞1$时，$\Delta=4+12a＞0$，满足二次函数与x轴有两个不同交点的要求。
因此$a$的取值范围是$a＞1$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与x轴交点
【点评】
本题解题核心是结合图象特征判断特殊点的函数值符号，先确定开口方向可缩小参数的取值范围，再利用区间端点的函数值正负列不等式求解，能有效避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
首先观察二次函数图象，抛物线开口向上，可先确定二次项系数a＞0；其次代入x=0计算函数值，可得x=0时y=-3＜0；题目要求函数图象与x轴的一个交点在0和1之间，结合开口向上的性质，可知x=1处的函数值必须大于0，据此列不等式求解，再验证判别式保证函数与x轴有两个交点即可得到a的取值范围。
【解析】
步骤1：由图象可知二次函数开口向上，因此二次项系数$a＞0$。
步骤2：代入$x=0$到函数解析式，得$y=a×0^2+2×0-3=-3＜0$。
步骤3：因为函数与x轴的一个交点在$(0,1)$之间，且抛物线开口向上，因此当$x=1$时，函数值$y＞0$。
将$x=1$代入解析式得：$y=a×1^2+2×1-3=a-1$。
令$a-1＞0$，解得$a＞1$。
步骤4：验证判别式：$\Delta=2^2-4× a×(-3)=4+12a$，当$a＞1$时，$\Delta=4+12a＞0$，满足二次函数与x轴有两个不同交点的要求。
因此$a$的取值范围是$a＞1$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与x轴交点
【点评】
本题解题核心是结合图象特征判断特殊点的函数值符号，先确定开口方向可缩小参数的取值范围，再利用区间端点的函数值正负列不等式求解，能有效避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
9.已知$m＞n＞0$，若关于$x$的方程$x^2+2x-3-m=0$的解为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，关于$x$的方程$x^2+2x-3-n=0$的解为$x_3,x_4(x_3＜x_4)$。则下列结论正确的是(
A.$x_3＜x_1＜x_2＜x_4$
B.$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$
C.$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$
D.$x_3＜x_4＜x_1＜x_2$
B
)。A.$x_3＜x_1＜x_2＜x_4$
B.$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$
C.$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$
D.$x_3＜x_4＜x_1＜x_2$
答案
9.B
解析
【分析】
我们可以将一元二次方程的解转化为二次函数与水平线交点的横坐标分析：两个方程可变形为$x^2+2x-3=m$、$x^2+2x-3=n$，对应二次函数$y=x^2+2x-3$分别与直线$y=m$、$y=n$的交点横坐标。该二次函数开口向上、对称轴固定，对于开口向上的抛物线，函数值越大，对应的两个交点横坐标离对称轴越远，结合$m＞n＞0$的条件即可比较四个根的大小，也可以用特殊值代入计算验证结果。
【解析】
方法一：利用二次函数与一元二次方程的关系求解
令二次函数$y=x^2+2x-3$，该函数开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$。
方程$x^2+2x-3-m=0$的解是$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点横坐标，即$x_1,x_2$（$x_1＜x_2$）；
方程$x^2+2x-3-n=0$的解是$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点横坐标，即$x_3,x_4$（$x_3＜x_4$）。
因为$m＞n＞0$，所以直线$y=m$在直线$y=n$的上方：
对于开口向上的抛物线，水平线位置越高，与抛物线的两个交点距离对称轴越远：
左侧交点：$y$值越大，横坐标越小，因此$x_1＜x_3$；
右侧交点：$y$值越大，横坐标越大，因此$x_4＜x_2$；
结合$x_3＜x_4$，可得大小关系为$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。
方法二：特殊值验证法
取$m=5$，$n=3$（满足$m＞n＞0$）：
解方程$x^2+2x-3-5=0$即$x^2+2x-8=0$，得$x_1=-4$，$x_2=2$；
解方程$x^2+2x-3-3=0$即$x^2+2x-6=0$，得$x_3=-1-\sqrt{7}\approx-3.65$，$x_4=-1+\sqrt{7}\approx1.65$；
显然$-4＜-3.65＜1.65＜2$，即$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象性质
【点评】
本题将方程根的大小比较转化为二次函数交点的横坐标分析，借助图象性质解题更加直观简便，也可直接用求根公式计算后代入比较大小。
【难度系数】
0.7
我们可以将一元二次方程的解转化为二次函数与水平线交点的横坐标分析：两个方程可变形为$x^2+2x-3=m$、$x^2+2x-3=n$，对应二次函数$y=x^2+2x-3$分别与直线$y=m$、$y=n$的交点横坐标。该二次函数开口向上、对称轴固定，对于开口向上的抛物线，函数值越大，对应的两个交点横坐标离对称轴越远，结合$m＞n＞0$的条件即可比较四个根的大小，也可以用特殊值代入计算验证结果。
【解析】
方法一：利用二次函数与一元二次方程的关系求解
令二次函数$y=x^2+2x-3$，该函数开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$。
方程$x^2+2x-3-m=0$的解是$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点横坐标，即$x_1,x_2$（$x_1＜x_2$）；
方程$x^2+2x-3-n=0$的解是$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点横坐标，即$x_3,x_4$（$x_3＜x_4$）。
因为$m＞n＞0$，所以直线$y=m$在直线$y=n$的上方：
对于开口向上的抛物线，水平线位置越高，与抛物线的两个交点距离对称轴越远：
左侧交点：$y$值越大，横坐标越小，因此$x_1＜x_3$；
右侧交点：$y$值越大，横坐标越大，因此$x_4＜x_2$；
结合$x_3＜x_4$，可得大小关系为$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。
方法二：特殊值验证法
取$m=5$，$n=3$（满足$m＞n＞0$）：
解方程$x^2+2x-3-5=0$即$x^2+2x-8=0$，得$x_1=-4$，$x_2=2$；
解方程$x^2+2x-3-3=0$即$x^2+2x-6=0$，得$x_3=-1-\sqrt{7}\approx-3.65$，$x_4=-1+\sqrt{7}\approx1.65$；
显然$-4＜-3.65＜1.65＜2$，即$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象性质
【点评】
本题将方程根的大小比较转化为二次函数交点的横坐标分析，借助图象性质解题更加直观简便，也可直接用求根公式计算后代入比较大小。
【难度系数】
0.7
10.二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0,a,b,c$为常数)的图象如图所示,则方程$ax^2+bx+c=-4$的解是
$x_1=x_2=6$
。答案
10.$x_1=x_2=6$
解析
【分析】
要解一元二次方程$ax^2+bx+c=-4$，可结合二次函数与一元二次方程的关系分析：该方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-4$时对应的自变量$x$的取值，等价于求抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-4$交点的横坐标。观察图象可知，抛物线的顶点坐标为$(6,-4)$，且抛物线开口向上，因此$y=-4$是抛物线的最小值，仅在顶点处取得，即可得到对应的$x$的值。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=-4$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-4$交点的横坐标。
由图象可得，二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(6,-4)$，且抛物线开口向上，因此抛物线与直线$y=-4$只有1个交点，即顶点$(6,-4)$，对应的$x$取值为6，即方程有两个相等的实数根。
因此方程$ax^2+bx+c=-4$的解为$x_1=x_2=6$。
【答案】
$x_1=x_2=6$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题关键是将一元二次方程的解转化为二次函数图象与水平直线交点的横坐标，结合图象的顶点特征即可快速得出结果，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
要解一元二次方程$ax^2+bx+c=-4$，可结合二次函数与一元二次方程的关系分析：该方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-4$时对应的自变量$x$的取值，等价于求抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-4$交点的横坐标。观察图象可知，抛物线的顶点坐标为$(6,-4)$，且抛物线开口向上，因此$y=-4$是抛物线的最小值，仅在顶点处取得，即可得到对应的$x$的值。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=-4$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-4$交点的横坐标。
由图象可得，二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(6,-4)$，且抛物线开口向上，因此抛物线与直线$y=-4$只有1个交点，即顶点$(6,-4)$，对应的$x$取值为6，即方程有两个相等的实数根。
因此方程$ax^2+bx+c=-4$的解为$x_1=x_2=6$。
【答案】
$x_1=x_2=6$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题关键是将一元二次方程的解转化为二次函数图象与水平直线交点的横坐标，结合图象的顶点特征即可快速得出结果，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
11.某班“数学兴趣小组”对函数 $ y=-x^2+2|x|+3 $ 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整。
(1)自变量 $ x $ 的取值范围是全体实数，$ x $ 与 $ y $ 的几组对应值列表如下：
其中，$ m= $
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象。
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质：
(4)已知函数 $ y=-x+4 $ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程 $ -x^2+2|x|+3=-x+4 $ 的解。(保留一位小数，误差不超过0.2)
(1)自变量 $ x $ 的取值范围是全体实数，$ x $ 与 $ y $ 的几组对应值列表如下：
其中，$ m= $
3
。(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象。
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质：
函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴(答案不唯一)
。(4)已知函数 $ y=-x+4 $ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程 $ -x^2+2|x|+3=-x+4 $ 的解。(保留一位小数，误差不超过0.2)
答案
11.(1)3
(2)解:所画图象如图所示。
(3)函数图象是轴对称图形,它的对称轴为y轴(答案不唯一)
(4)解:$x_1=0.4,x_2=2.6$。(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 求含绝对值的函数的函数值时，可直接将对应x的取值代入函数解析式，按照绝对值的运算规则计算就能得到m的值，也可利用该函数关于y轴对称的性质，取对称点的函数值得到结果。
(2) 画函数图象遵循“列表、描点、连线”的基本步骤，结合该函数关于y轴对称的特点，用平滑曲线顺次连接各点即可得到完整图象。
(3) 观察函数图象的对称性、增减性、最值等特征，任选一条符合图象的性质写出即可，属于开放性问题。
(4) 两个函数图象交点的横坐标就是对应方程的解，因此直接观察两个图象交点的横坐标，按要求保留小数位数即可。
【解析】
(1) 将对应的x值代入函数$y=-x^2+2|x|+3$计算，例如m对应x=2时，$y=-2^2+2×|2|+3=-4+4+3=3$，因此$m=3$。
(2) 先在平面直角坐标系中逐一描出表中给出的对应点，再用平滑的曲线按横坐标从小到大的顺序顺次连接各点，利用函数关于y轴对称的特征，保证两侧图象对称即可。
(3) 观察图象可得到多条性质：比如函数图象是轴对称图形，对称轴为y轴；当$x=\pm1$时，函数取得最大值4；当$x＞1$时，y随x的增大而减小等，任选一条即可。
(4) 方程$-x^2+2|x|+3=-x+4$的解就是函数$y=-x^2+2|x|+3$和$y=-x+4$图象交点的横坐标，观察图象可得两个交点的横坐标约为0.4和2.6，符合误差不超过0.2的要求。
【答案】
(1)3
(2)所画图象如图所示。
(3)函数图象是轴对称图形,它的对称轴为y轴(答案不唯一)
(4)$x_1=0.4,x_2=2.6$(答案不唯一)
【知识点】
含绝对值的二次函数性质；函数图象画法；函数与方程的关系
【点评】
本题综合考查了含绝对值的二次函数的图象与性质，以及数形结合思想的应用，既考查了基础的函数图象绘制能力，又考查了利用图象求解方程的迁移能力，开放性设问也能考查对函数性质的灵活理解。
【难度系数】
0.65
(1) 求含绝对值的函数的函数值时，可直接将对应x的取值代入函数解析式，按照绝对值的运算规则计算就能得到m的值，也可利用该函数关于y轴对称的性质，取对称点的函数值得到结果。
(2) 画函数图象遵循“列表、描点、连线”的基本步骤，结合该函数关于y轴对称的特点，用平滑曲线顺次连接各点即可得到完整图象。
(3) 观察函数图象的对称性、增减性、最值等特征，任选一条符合图象的性质写出即可，属于开放性问题。
(4) 两个函数图象交点的横坐标就是对应方程的解，因此直接观察两个图象交点的横坐标，按要求保留小数位数即可。
【解析】
(1) 将对应的x值代入函数$y=-x^2+2|x|+3$计算，例如m对应x=2时，$y=-2^2+2×|2|+3=-4+4+3=3$，因此$m=3$。
(2) 先在平面直角坐标系中逐一描出表中给出的对应点，再用平滑的曲线按横坐标从小到大的顺序顺次连接各点，利用函数关于y轴对称的特征，保证两侧图象对称即可。
(3) 观察图象可得到多条性质：比如函数图象是轴对称图形，对称轴为y轴；当$x=\pm1$时，函数取得最大值4；当$x＞1$时，y随x的增大而减小等，任选一条即可。
(4) 方程$-x^2+2|x|+3=-x+4$的解就是函数$y=-x^2+2|x|+3$和$y=-x+4$图象交点的横坐标，观察图象可得两个交点的横坐标约为0.4和2.6，符合误差不超过0.2的要求。
【答案】
(1)3
(2)所画图象如图所示。
(3)函数图象是轴对称图形,它的对称轴为y轴(答案不唯一)
(4)$x_1=0.4,x_2=2.6$(答案不唯一)
【知识点】
含绝对值的二次函数性质；函数图象画法；函数与方程的关系
【点评】
本题综合考查了含绝对值的二次函数的图象与性质，以及数形结合思想的应用，既考查了基础的函数图象绘制能力，又考查了利用图象求解方程的迁移能力，开放性设问也能考查对函数性质的灵活理解。
【难度系数】
0.65
