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1.利用二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象求关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的近似根的基本步骤:①画出二次函数$y=ax^2+bx+c$的
;③利用计算器探索其根的十分位上的数字,从而确定方程的
图象
;②确定二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的两个交点分别在哪两个相邻的整数
之;③利用计算器探索其根的十分位上的数字,从而确定方程的近似根
。答案
①图象 ②整数 ③近似根
解析
【分析】
解题时需结合二次函数与一元二次方程的对应关系思考：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，求近似根时首先要画出对应二次函数的图象，再先确定根的整数范围，再逐步细化得到近似结果。第一步求根要用到图象，首先需要画出二次函数的图象；第二步要先确定根的大致整数区间，所以找相邻整数的范围；第三步细化十分位后就能得到近似根。
【解析】
① 要利用图象求解方程的根，首先需要画出二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，故第一个空填图象；
② 接下来先确定图象与$x$轴交点的大致范围，即判断交点位于哪两个相邻的整数之间，先确定根的整数部分，故第二个空填整数；
③ 确定整数范围后，进一步探索根的十分位数字，缩小根的取值范围，最终得到方程的近似根，故第三个空填近似根。
【答案】
①图象 ②整数 ③近似根
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象；近似根估算
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察利用二次函数图象求解一元二次方程近似根的步骤，牢记二次函数和对应一元二次方程的联系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时需结合二次函数与一元二次方程的对应关系思考：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，求近似根时首先要画出对应二次函数的图象，再先确定根的整数范围，再逐步细化得到近似结果。第一步求根要用到图象，首先需要画出二次函数的图象；第二步要先确定根的大致整数区间，所以找相邻整数的范围；第三步细化十分位后就能得到近似根。
【解析】
① 要利用图象求解方程的根，首先需要画出二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，故第一个空填图象；
② 接下来先确定图象与$x$轴交点的大致范围，即判断交点位于哪两个相邻的整数之间，先确定根的整数部分，故第二个空填整数；
③ 确定整数范围后，进一步探索根的十分位数字，缩小根的取值范围，最终得到方程的近似根，故第三个空填近似根。
【答案】
①图象 ②整数 ③近似根
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象；近似根估算
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察利用二次函数图象求解一元二次方程近似根的步骤，牢记二次函数和对应一元二次方程的联系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.理解一元二次方程$ax^2+bx+c=h$的根就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=h$（$h$是实数）的交点的
横
坐标。答案
横
解析
【分析】
解题时可从函数图象交点的坐标含义入手：两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，将y=h代入二次函数解析式即可得到题目中的一元二次方程，方程的解对应交点的x值，也就是横坐标，由此可确定答案。
【解析】
设抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=h$的交点坐标为$(x,y)$，该点坐标需同时满足两个函数的表达式，即：
$\begin{cases} y=ax^2+bx+c \\ y=h \end{cases}$
将$y=h$代入二次函数解析式，可得$ax^2+bx+c=h$，该方程的解就是交点的横坐标$x$，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=h$的根对应两个图象交点的横坐标。
【答案】
横
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 函数图象交点的含义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察二次函数和对应一元二次方程之间的联系，理解函数图象交点与方程解的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时可从函数图象交点的坐标含义入手：两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，将y=h代入二次函数解析式即可得到题目中的一元二次方程，方程的解对应交点的x值，也就是横坐标，由此可确定答案。
【解析】
设抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=h$的交点坐标为$(x,y)$，该点坐标需同时满足两个函数的表达式，即：
$\begin{cases} y=ax^2+bx+c \\ y=h \end{cases}$
将$y=h$代入二次函数解析式，可得$ax^2+bx+c=h$，该方程的解就是交点的横坐标$x$，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=h$的根对应两个图象交点的横坐标。
【答案】
横
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 函数图象交点的含义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察二次函数和对应一元二次方程之间的联系，理解函数图象交点与方程解的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
1.小颖用几何画板软件探索方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为$x_1=-4.5$，则方程的另一个近似根$x_2=(\quad)$（精确到0.1）。
A.2
B.$-2$
C.$2.6$
D.$3.6$
A.2
B.$-2$
C.$2.6$
D.$3.6$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，而二次函数图象与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此只要先确定抛物线的对称轴，再利用对称关系就能求出另一个近似根。
第一步：观察图象确定抛物线的对称轴为直线$x=-1$；
第二步：根据“两个根的平均数等于对称轴对应的横坐标”列等式计算另一个根；
第三步：结合近似要求和选项选出正确答案。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，且二次函数图象与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称。
由图象可知，抛物线的对称轴为直线$x=-1$，设方程的另一个近似根为$x_2$，根据对称性可得：
$\frac{x_1 + x_2}{2} = -1$
已知一个近似根$x_1=-4.5$，代入得：
$\frac{-4.5 + x_2}{2} = -1$
两边同乘2得：$-4.5 + x_2 = -2$
解得：$x_2 = 2.5$，结合图象近似精确到0.1可得$x_2≈2.6$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是利用二次函数的对称性建立两个根之间的联系，只要能准确从图象中提取对称轴的信息，结合简单计算就能得到结果，注意近似根要结合图象和选项判断。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，而二次函数图象与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此只要先确定抛物线的对称轴，再利用对称关系就能求出另一个近似根。
第一步：观察图象确定抛物线的对称轴为直线$x=-1$；
第二步：根据“两个根的平均数等于对称轴对应的横坐标”列等式计算另一个根；
第三步：结合近似要求和选项选出正确答案。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，且二次函数图象与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称。
由图象可知，抛物线的对称轴为直线$x=-1$，设方程的另一个近似根为$x_2$，根据对称性可得：
$\frac{x_1 + x_2}{2} = -1$
已知一个近似根$x_1=-4.5$，代入得：
$\frac{-4.5 + x_2}{2} = -1$
两边同乘2得：$-4.5 + x_2 = -2$
解得：$x_2 = 2.5$，结合图象近似精确到0.1可得$x_2≈2.6$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是利用二次函数的对称性建立两个根之间的联系，只要能准确从图象中提取对称轴的信息，结合简单计算就能得到结果，注意近似根要结合图象和选项判断。
【难度系数】
0.7
2.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，图象上有两点分别为$A(2.18,-0.51)$，$B(2.68,0.54)$，则方程$ax^2+bx+c=0$的一个解只可能是下列中的（
A.2.18
B.2.68
C.－0.51
D.2.45
D
）。A.2.18
B.2.68
C.－0.51
D.2.45
答案
2.D
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的解，首先需明确二次函数与一元二次方程的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，即$y=0$时对应的$x$的取值。已知点A(2.18,-0.51)的函数值小于0，点B(2.68,0.54)的函数值大于0，说明函数图象在A、B两点之间必然会穿过x轴，即方程的一个解的取值范围在2.18和2.68之间，最后对比选项选出符合该范围的数值即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。
由已知条件可得：
当$x=2.18$时，$y=-0.51＜0$；
当$x=2.68$时，$y=0.54＞0$；
因此当$y=0$时，$x$的取值必然在2.18和2.68之间。
逐一分析选项：
A.2.18对应的$y=-0.51≠0$，不是方程的解；
B.2.68对应的$y=0.54≠0$，不是方程的解；
C.-0.51是函数值，不是自变量$x$的取值，不可能是方程的解；
D.2.45在2.18~2.68的范围内，有可能是方程的解。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查利用二次函数图象估算一元二次方程近似解的能力，解题核心是掌握方程的解与二次函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，结合两点函数值的正负即可判断解的取值范围，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的解，首先需明确二次函数与一元二次方程的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，即$y=0$时对应的$x$的取值。已知点A(2.18,-0.51)的函数值小于0，点B(2.68,0.54)的函数值大于0，说明函数图象在A、B两点之间必然会穿过x轴，即方程的一个解的取值范围在2.18和2.68之间，最后对比选项选出符合该范围的数值即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。
由已知条件可得：
当$x=2.18$时，$y=-0.51＜0$；
当$x=2.68$时，$y=0.54＞0$；
因此当$y=0$时，$x$的取值必然在2.18和2.68之间。
逐一分析选项：
A.2.18对应的$y=-0.51≠0$，不是方程的解；
B.2.68对应的$y=0.54≠0$，不是方程的解；
C.-0.51是函数值，不是自变量$x$的取值，不可能是方程的解；
D.2.45在2.18~2.68的范围内，有可能是方程的解。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查利用二次函数图象估算一元二次方程近似解的能力，解题核心是掌握方程的解与二次函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，结合两点函数值的正负即可判断解的取值范围，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值$y$与自变量$x$的四组对应值如下表所示：
则方程$ax^2+bx+c=0$的根的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
则方程$ax^2+bx+c=0$的根的个数是(
C
)。A.0
B.1
C.2
D.无法确定
答案
3.C
解析
【分析】
要解决本题，首先明确核心关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标。解题思路有两种：一是根据表格中y值相等的两个点求出二次函数的对称轴，确定顶点位置和开口方向，进而判断图像与x轴的交点个数；二是根据二次函数图像的连续性，通过函数值的正负变化，判断y=0时x的存在区间，确定根的个数。
【解析】
方法1：利用二次函数性质判断
1. 观察表格可知，$x=6.15$和$x=6.21$时y的值均为0.02，说明这两个点是二次函数图像上的对称点，因此二次函数的对称轴为$x=\frac{6.15+6.21}{2}=6.18$。
2. 由此可知$x=6.18$对应二次函数的顶点，此时$y=-0.01＜0$，说明顶点在x轴下方。
3. 又$x=6.24$比$x=6.18$距离对称轴更远，对应$y=0.11＞0$，说明二次函数开口向上。
4. 开口向上、顶点在x轴下方的二次函数，图像与x轴有2个不同交点，对应方程$ax^2+bx+c=0$有2个不相等的实数根。
方法2：利用函数值正负变化判断
二次函数图像是连续的曲线：
1. $x=6.15$时$y=0.02＞0$，$x=6.18$时$y=-0.01＜0$，因此区间$(6.15,6.18)$内存在1个x使$y=0$，即方程的1个根在该区间。
2. $x=6.18$时$y=-0.01＜0$，$x=6.21$时$y=0.02＞0$，因此区间$(6.18,6.21)$内也存在1个x使$y=0$，即方程的另1个根在该区间。
综上方程共有2个根，选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数的对称性，二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的对应关系，既可以通过对称性分析顶点和开口方向解题，也可以通过函数值的正负变化直接判断零点区间，属于基础概念应用类考题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确核心关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标。解题思路有两种：一是根据表格中y值相等的两个点求出二次函数的对称轴，确定顶点位置和开口方向，进而判断图像与x轴的交点个数；二是根据二次函数图像的连续性，通过函数值的正负变化，判断y=0时x的存在区间，确定根的个数。
【解析】
方法1：利用二次函数性质判断
1. 观察表格可知，$x=6.15$和$x=6.21$时y的值均为0.02，说明这两个点是二次函数图像上的对称点，因此二次函数的对称轴为$x=\frac{6.15+6.21}{2}=6.18$。
2. 由此可知$x=6.18$对应二次函数的顶点，此时$y=-0.01＜0$，说明顶点在x轴下方。
3. 又$x=6.24$比$x=6.18$距离对称轴更远，对应$y=0.11＞0$，说明二次函数开口向上。
4. 开口向上、顶点在x轴下方的二次函数，图像与x轴有2个不同交点，对应方程$ax^2+bx+c=0$有2个不相等的实数根。
方法2：利用函数值正负变化判断
二次函数图像是连续的曲线：
1. $x=6.15$时$y=0.02＞0$，$x=6.18$时$y=-0.01＜0$，因此区间$(6.15,6.18)$内存在1个x使$y=0$，即方程的1个根在该区间。
2. $x=6.18$时$y=-0.01＜0$，$x=6.21$时$y=0.02＞0$，因此区间$(6.18,6.21)$内也存在1个x使$y=0$，即方程的另1个根在该区间。
综上方程共有2个根，选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数的对称性，二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的对应关系，既可以通过对称性分析顶点和开口方向解题，也可以通过函数值的正负变化直接判断零点区间，属于基础概念应用类考题。
【难度系数】
0.7
4.二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值$y$与自变量$x$的对应值如下表所示，则方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似根可以是(
A.3.25
B.3.35
C.3.45
D.3.55
C
)。A.3.25
B.3.35
C.3.45
D.3.55
答案
4.C
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的近似根，首先明确该方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的自变量$x$的值。由于二次函数是连续的，当两个相邻的$x$对应的$y$值符号相反时，这两个$x$之间一定存在使$y=0$的根，因此先从表格中找到$y$由负变正对应的$x$区间，再判断哪个选项落在该区间内即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，即$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=3.4$时，$y=-0.02＜0$；
当$x=3.5$时，$y=0.03＞0$。
由此可知，方程$ax^2+bx+c=0$的一个根在$3.4∼3.5$之间。
逐一判断选项：只有3.45落在$3.4∼3.5$区间内，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.一元二次方程近似根估算
【点评】
本题主要考查利用二次函数的函数值变化估算一元二次方程近似根的方法，解题核心是找到$y$值在0两侧的相邻$x$的取值范围，熟练掌握二次函数与对应一元二次方程的关联是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的近似根，首先明确该方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的自变量$x$的值。由于二次函数是连续的，当两个相邻的$x$对应的$y$值符号相反时，这两个$x$之间一定存在使$y=0$的根，因此先从表格中找到$y$由负变正对应的$x$区间，再判断哪个选项落在该区间内即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，即$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=3.4$时，$y=-0.02＜0$；
当$x=3.5$时，$y=0.03＞0$。
由此可知，方程$ax^2+bx+c=0$的一个根在$3.4∼3.5$之间。
逐一判断选项：只有3.45落在$3.4∼3.5$区间内，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.一元二次方程近似根估算
【点评】
本题主要考查利用二次函数的函数值变化估算一元二次方程近似根的方法，解题核心是找到$y$值在0两侧的相邻$x$的取值范围，熟练掌握二次函数与对应一元二次方程的关联是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
5.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图所示，由图象可知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似根是$x_1=1.6$，则它的另一个近似根为$x_2=$
4.4
。（精确到0.1）答案
5.4.4
解析
【分析】
解题时先明确二次函数图象的性质：抛物线关于对称轴对称，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根就是抛物线与x轴两个交点的横坐标，两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此两个根到对称轴的距离相等。首先从图象读取对称轴的数值，再结合已知根到对称轴的距离，即可求出另一个根。
【解析】
由二次函数图象可得，抛物线的对称轴为直线$x=3$。
因为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根也关于对称轴对称，即两个根到对称轴$x=3$的距离相等。
已知一个近似根$x_1=1.6$，则该根到对称轴的距离为：$3 - 1.6 = 1.4$
因此另一个近似根为：$x_2 = 3 + 1.4 = 4.4$
【答案】
4.4
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性求解方程的根，解题关键是准确识别抛物线的对称轴，理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先明确二次函数图象的性质：抛物线关于对称轴对称，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根就是抛物线与x轴两个交点的横坐标，两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此两个根到对称轴的距离相等。首先从图象读取对称轴的数值，再结合已知根到对称轴的距离，即可求出另一个根。
【解析】
由二次函数图象可得，抛物线的对称轴为直线$x=3$。
因为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根也关于对称轴对称，即两个根到对称轴$x=3$的距离相等。
已知一个近似根$x_1=1.6$，则该根到对称轴的距离为：$3 - 1.6 = 1.4$
因此另一个近似根为：$x_2 = 3 + 1.4 = 4.4$
【答案】
4.4
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题核心是利用二次函数的对称性求解方程的根，解题关键是准确识别抛物线的对称轴，理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，难度较低。
【难度系数】
0.8
