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1.假设外墙足够长，要想所围面积最大，需建立
函数
模型，求最大值
。答案
1. 建立函数模型，求最大值
解析
【分析】
遇到这类求“围面积最大”的实际最值问题时，我们首先需要将实际问题转化为数学问题：先设定合适的自变量（比如垂直外墙的边长），再将待求的面积用含自变量的式子表示出来，这一过程就是建立函数模型的过程；要得到最大的面积，本质就是求这个函数的最大值，对应就能得到最优的围建方案。
【解析】
解决这类实际最优问题的常规步骤为：
1. 先结合题意设定自变量和目标变量（本题目标变量为围成的面积），根据题目给出的约束条件（比如围栏的总长度固定），将目标变量表示为关于自变量的函数，即建立函数模型；
2. 由于最终目标是得到最大的围合面积，因此只需在自变量的取值范围内，求出该函数的最大值即可。
因此两处横线依次填入函数模型、最大值。
【答案】
函数模型；最大值
【知识点】
函数模型构建，函数最值应用
【点评】
本题考查实际最值问题的基础解决思路，是开展具体面积最值计算的前提，需要熟练掌握将实际问题转化为数学问题的核心逻辑。
【难度系数】
0.9
遇到这类求“围面积最大”的实际最值问题时，我们首先需要将实际问题转化为数学问题：先设定合适的自变量（比如垂直外墙的边长），再将待求的面积用含自变量的式子表示出来，这一过程就是建立函数模型的过程；要得到最大的面积，本质就是求这个函数的最大值，对应就能得到最优的围建方案。
【解析】
解决这类实际最优问题的常规步骤为：
1. 先结合题意设定自变量和目标变量（本题目标变量为围成的面积），根据题目给出的约束条件（比如围栏的总长度固定），将目标变量表示为关于自变量的函数，即建立函数模型；
2. 由于最终目标是得到最大的围合面积，因此只需在自变量的取值范围内，求出该函数的最大值即可。
因此两处横线依次填入函数模型、最大值。
【答案】
函数模型；最大值
【知识点】
函数模型构建，函数最值应用
【点评】
本题考查实际最值问题的基础解决思路，是开展具体面积最值计算的前提，需要熟练掌握将实际问题转化为数学问题的核心逻辑。
【难度系数】
0.9
2.假设外墙很短，要想所围面积最大，需建立
函数
模型，考虑自变量的取值范围
，平行于墙面的一边长需满足不大于外墙长
，求最大值
。答案
2. 建立函数模型，考虑自变量的取值范围，平行于墙面的一边长需满足不大于外墙长，求最大值
解析
【分析】
这是利用函数解决实际面积最值的问题，解题思路如下：首先遇到求最大面积的实际问题时，需要先把实际问题转化为数学问题，通过设边长为自变量、面积为因变量建立对应的函数模型；其次题目给出了外墙很短的限制条件，自变量不能无限取值，必须考虑自变量的实际取值范围，否则求出的最值不符合实际场景；其中平行于墙面的边沿着外墙设置，所以它的长度不能超过现有外墙的长度；最终核心目标是求解该函数在合法取值范围内的最大值，得到最大围合面积。
【解析】
要解决围面积最大的问题，首先需建立函数模型，将面积表示为关于边长的函数；其次要结合实际限制，考虑自变量的取值范围，保证解符合实际意义；平行于墙面的一边依靠外墙设置，因此需满足长度不大于外墙长；最终目标是求函数的最大值，得到最大围合面积。
【答案】
建立函数模型，考虑自变量的取值范围，平行于墙面的一边长需满足不大于外墙长，求最大值
【知识点】
1. 函数建模 2. 自变量取值范围确定 3. 函数最值求解
【点评】
本题考查利用函数解决实际最值问题的基本流程，解题时要特别注意实际问题对自变量的约束条件，避免忽略实际限制得到无意义的解，是数学知识应用于实际场景的基础题型。
【难度系数】
0.8
这是利用函数解决实际面积最值的问题，解题思路如下：首先遇到求最大面积的实际问题时，需要先把实际问题转化为数学问题，通过设边长为自变量、面积为因变量建立对应的函数模型；其次题目给出了外墙很短的限制条件，自变量不能无限取值，必须考虑自变量的实际取值范围，否则求出的最值不符合实际场景；其中平行于墙面的边沿着外墙设置，所以它的长度不能超过现有外墙的长度；最终核心目标是求解该函数在合法取值范围内的最大值，得到最大围合面积。
【解析】
要解决围面积最大的问题，首先需建立函数模型，将面积表示为关于边长的函数；其次要结合实际限制，考虑自变量的取值范围，保证解符合实际意义；平行于墙面的一边依靠外墙设置，因此需满足长度不大于外墙长；最终目标是求函数的最大值，得到最大围合面积。
【答案】
建立函数模型，考虑自变量的取值范围，平行于墙面的一边长需满足不大于外墙长，求最大值
【知识点】
1. 函数建模 2. 自变量取值范围确定 3. 函数最值求解
【点评】
本题考查利用函数解决实际最值问题的基本流程，解题时要特别注意实际问题对自变量的约束条件，避免忽略实际限制得到无意义的解，是数学知识应用于实际场景的基础题型。
【难度系数】
0.8
1.如图，一边靠墙(墙足够长)，其他三边用16 m长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，这个花圃的最大面积是(
A.32 m²
B.24 m²
C.16 m²
D.8 m²
A
)。A.32 m²
B.24 m²
C.16 m²
D.8 m²
答案
A
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解实际最值的问题。解题时首先明确：篱笆围的是矩形除靠墙边外的另外三边，即2条垂直于墙的边+1条平行于墙的边总长为16m。我们可以设垂直于墙的边长为自变量，将平行于墙的边长用含自变量的代数式表示，再根据矩形面积公式写出面积关于自变量的二次函数表达式，最后利用二次函数的最值性质即可求出最大面积。
【解析】
设垂直于墙的边AB的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的边BC的长度为$ (16-2x) \, \mathrm{m} $，设矩形花圃的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(16-2x) $
整理为二次函数标准形式：
$ S = -2x^2 + 16x $
其中二次项系数$ a=-2＜0 $，因此该函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{16}{2×(-2)} = 4 $时，$ S $取得最大值。
将$ x=4 $代入函数：
$ S_{\mathrm{max}} = -2×4^2 +16×4 = -32 + 64 = 32 \, \mathrm{m}^2 $
因此这个花圃的最大面积是$ 32 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际围花圃的场景考查二次函数的应用，解题核心是根据几何数量关系建立正确的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，是对基础知识点的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解实际最值的问题。解题时首先明确：篱笆围的是矩形除靠墙边外的另外三边，即2条垂直于墙的边+1条平行于墙的边总长为16m。我们可以设垂直于墙的边长为自变量，将平行于墙的边长用含自变量的代数式表示，再根据矩形面积公式写出面积关于自变量的二次函数表达式，最后利用二次函数的最值性质即可求出最大面积。
【解析】
设垂直于墙的边AB的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的边BC的长度为$ (16-2x) \, \mathrm{m} $，设矩形花圃的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(16-2x) $
整理为二次函数标准形式：
$ S = -2x^2 + 16x $
其中二次项系数$ a=-2＜0 $，因此该函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{16}{2×(-2)} = 4 $时，$ S $取得最大值。
将$ x=4 $代入函数：
$ S_{\mathrm{max}} = -2×4^2 +16×4 = -32 + 64 = 32 \, \mathrm{m}^2 $
因此这个花圃的最大面积是$ 32 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际围花圃的场景考查二次函数的应用，解题核心是根据几何数量关系建立正确的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，是对基础知识点的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7
2.如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m。有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m²;③菜园ABCD面积的最大值为200 m²。其中,正确结论的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
C
)。A.0
B.1
C.2
D.3
答案
C
解析
【分析】
我们可以先设垂直于墙的边长AB为$x\ \mathrm{m}$，那么平行于墙的边长BC就为$(40-2x)\ \mathrm{m}$。首先根据AD（即BC）长度不超过26m、边长为正数的实际限制，先确定$x$的取值范围，再逐一验证三个结论是否成立即可。
【解析】
设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(40-2x)\ \mathrm{m}$，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}40-2x≤26 \\40-2x＞0 \end{cases}$
解不等式$40-2x≤26$，得$x≥7$；
解不等式$40-2x＞0$，得$x＜20$；
因此$x$的取值范围是$7≤ x＜20$。
1. 验证结论①：若$AB=6\ \mathrm{m}$，$6$不在$7≤ x＜20$的范围内，此时$BC=40-2×6=28\ \mathrm{m}＞26\ \mathrm{m}$，不符合要求，故①错误。
2. 验证结论②：若菜园面积为$192\ \mathrm{m}^2$，列方程得$x(40-2x)=192$，整理为$x^2-20x+96=0$，因式分解得$(x-8)(x-12)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=12$，两个解均在$7≤ x＜20$范围内，即AB的长有两个不同的值满足面积要求，故②正确。
3. 验证结论③：设菜园面积为$S$，则$S=x(40-2x)=-2x^2+40x$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{40}{2×(-2)}=10$，$10$在$7≤ x＜20$范围内，因此当$x=10$时，$S$取最大值，最大值为$S=-2×10^2+40×10=200\ \mathrm{m}^2$，故③正确。
综上，正确的结论为②③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用
【点评】
本题考查实际场景下的代数综合应用，解题关键是先结合实际限制确定自变量的取值范围，再进行方程求解和函数最值计算，避免得出不符合实际的结论。
【难度系数】
0.6
我们可以先设垂直于墙的边长AB为$x\ \mathrm{m}$，那么平行于墙的边长BC就为$(40-2x)\ \mathrm{m}$。首先根据AD（即BC）长度不超过26m、边长为正数的实际限制，先确定$x$的取值范围，再逐一验证三个结论是否成立即可。
【解析】
设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(40-2x)\ \mathrm{m}$，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}40-2x≤26 \\40-2x＞0 \end{cases}$
解不等式$40-2x≤26$，得$x≥7$；
解不等式$40-2x＞0$，得$x＜20$；
因此$x$的取值范围是$7≤ x＜20$。
1. 验证结论①：若$AB=6\ \mathrm{m}$，$6$不在$7≤ x＜20$的范围内，此时$BC=40-2×6=28\ \mathrm{m}＞26\ \mathrm{m}$，不符合要求，故①错误。
2. 验证结论②：若菜园面积为$192\ \mathrm{m}^2$，列方程得$x(40-2x)=192$，整理为$x^2-20x+96=0$，因式分解得$(x-8)(x-12)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=12$，两个解均在$7≤ x＜20$范围内，即AB的长有两个不同的值满足面积要求，故②正确。
3. 验证结论③：设菜园面积为$S$，则$S=x(40-2x)=-2x^2+40x$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{40}{2×(-2)}=10$，$10$在$7≤ x＜20$范围内，因此当$x=10$时，$S$取最大值，最大值为$S=-2×10^2+40×10=200\ \mathrm{m}^2$，故③正确。
综上，正确的结论为②③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用
【点评】
本题考查实际场景下的代数综合应用，解题关键是先结合实际限制确定自变量的取值范围，再进行方程求解和函数最值计算，避免得出不符合实际的结论。
【难度系数】
0.6
3.如图,王叔叔想用长为60 m的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD,已知房屋外墙足够长,当矩形ABCD的边AB=
15
m时,羊圈的面积最大。答案
15
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：首先设矩形的边AB长度为x m，结合栅栏总长度可表示出BC边的长度；再根据矩形面积公式写出面积关于x的函数关系式，该函数是开口向下的二次函数，其顶点对应的横坐标就是使面积最大的AB的长度，最后利用二次函数最值公式计算即可。
【解析】
解：设AB的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则$ CD = AB = x \, \mathrm{m} $。
由栅栏总长为60m，可得BC边的长度为：$ BC = 60 - 2x \, \mathrm{m} $。
根据实际意义，边长为正，因此$ \begin{cases} x＞0 \\ 60-2x＞0 \end{cases} $，即$ 0＜x＜30 $。
设矩形羊圈的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式得：
$ S = AB × BC = x(60-2x) = -2x^2 + 60x $
这是一个二次函数，其中$ a=-2＜0 $，抛物线开口向下，函数存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，当$ x = -\frac{b}{2a} $时，$ S $取最大值，代入$ a=-2, b=60 $得：
$ x = -\frac{60}{2×(-2)} = 15 $
15满足$ 0＜x＜30 $，符合实际要求。
【答案】
15
【知识点】
二次函数最值，矩形面积计算，实际问题函数建模
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题核心是根据题意正确建立函数关系式，结合二次函数的性质求解，同时要注意验证自变量的取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：首先设矩形的边AB长度为x m，结合栅栏总长度可表示出BC边的长度；再根据矩形面积公式写出面积关于x的函数关系式，该函数是开口向下的二次函数，其顶点对应的横坐标就是使面积最大的AB的长度，最后利用二次函数最值公式计算即可。
【解析】
解：设AB的长度为$ x \, \mathrm{m} $，则$ CD = AB = x \, \mathrm{m} $。
由栅栏总长为60m，可得BC边的长度为：$ BC = 60 - 2x \, \mathrm{m} $。
根据实际意义，边长为正，因此$ \begin{cases} x＞0 \\ 60-2x＞0 \end{cases} $，即$ 0＜x＜30 $。
设矩形羊圈的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式得：
$ S = AB × BC = x(60-2x) = -2x^2 + 60x $
这是一个二次函数，其中$ a=-2＜0 $，抛物线开口向下，函数存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，当$ x = -\frac{b}{2a} $时，$ S $取最大值，代入$ a=-2, b=60 $得：
$ x = -\frac{60}{2×(-2)} = 15 $
15满足$ 0＜x＜30 $，符合实际要求。
【答案】
15
【知识点】
二次函数最值，矩形面积计算，实际问题函数建模
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的基础题型，解题核心是根据题意正确建立函数关系式，结合二次函数的性质求解，同时要注意验证自变量的取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
4.如图,学校要在校园内建一个矩形农场,其中一边AD是围墙,且AD的长不能超过28 m,其余三边AB,BC,CD用60 m长的铁质栅栏。有下列结论:
①AB的长可以为15 m;
②当农场ABCD面积为200 m²时,满足条件的AB的长只有一个值;
③农场ABCD面积的最大值为450 m²;
④若把农场的形状改成半圆形,且直径一侧利用已有围墙,则农场的面积可以超过560 m²。
其中,正确结论的是
①AB的长可以为15 m;
②当农场ABCD面积为200 m²时,满足条件的AB的长只有一个值;
③农场ABCD面积的最大值为450 m²;
④若把农场的形状改成半圆形,且直径一侧利用已有围墙,则农场的面积可以超过560 m²。
其中,正确结论的是
②④
。(填序号)答案
②④
解析
【分析】首先设AB的长度为x m，根据栅栏总长可表示出BC的长度，再结合AD（即BC）长度不超过28m确定x的取值范围，之后逐个分析4个结论：①判断15是否在x的取值范围内即可；②列出面积为200时的方程，求解后结合x的范围判断解的个数；③将面积表示为关于x的二次函数，结合x的取值范围求最大值，判断是否为450；④计算半圆形时的面积，判断是否超过560即可。
【解析】设AB的长为x m，则CD=x m，BC=(60-2x)m，由题意得$0＜60-2x≤28$，解得$16≤x＜30$。
①若AB=15m，15＜16，不符合x的取值范围，故①错误；
②当面积为200$\mathrm{m^2}$时，列方程：$x(60-2x)=200$，整理得$x^2-30x+100=0$，解得$x_1=15+5\sqrt{5}\approx26.18$，$x_2=15-5\sqrt{5}\approx3.82$，其中$x_2$不在$16≤x＜30$范围内舍去，仅1个解符合要求，故②正确；
③设矩形面积为S，则$S=x(60-2x)=-2x^2+60x$，该二次函数开口向下，对称轴为$x=15$，在$x≥16$时，S随x的增大而减小，故x=16时S取最大值，最大值为$16×(60-2×16)=16×28=448\ \mathrm{m^2}＜450\ \mathrm{m^2}$，故③错误；
④若为半圆形，设半圆半径为r，弧长等于栅栏长60m，即$π r=60$，解得$r=\frac{60}{π}$，面积为$\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×\frac{3600}{π^2}=\frac{1800}{π}\approx573.2\ \mathrm{m^2}＞560\ \mathrm{m^2}$，故④正确。
综上，正确结论为②④。
【答案】②④
【知识点】二次函数的应用、一元二次方程的应用、圆的相关计算
【点评】本题结合实际场景考查代数与几何综合应用，解题的关键是先确定自变量的取值范围，避免忽略实际限制条件导致判断错误。
【难度系数】0.6
【解析】设AB的长为x m，则CD=x m，BC=(60-2x)m，由题意得$0＜60-2x≤28$，解得$16≤x＜30$。
①若AB=15m，15＜16，不符合x的取值范围，故①错误；
②当面积为200$\mathrm{m^2}$时，列方程：$x(60-2x)=200$，整理得$x^2-30x+100=0$，解得$x_1=15+5\sqrt{5}\approx26.18$，$x_2=15-5\sqrt{5}\approx3.82$，其中$x_2$不在$16≤x＜30$范围内舍去，仅1个解符合要求，故②正确；
③设矩形面积为S，则$S=x(60-2x)=-2x^2+60x$，该二次函数开口向下，对称轴为$x=15$，在$x≥16$时，S随x的增大而减小，故x=16时S取最大值，最大值为$16×(60-2×16)=16×28=448\ \mathrm{m^2}＜450\ \mathrm{m^2}$，故③错误；
④若为半圆形，设半圆半径为r，弧长等于栅栏长60m，即$π r=60$，解得$r=\frac{60}{π}$，面积为$\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×\frac{3600}{π^2}=\frac{1800}{π}\approx573.2\ \mathrm{m^2}＞560\ \mathrm{m^2}$，故④正确。
综上，正确结论为②④。
【答案】②④
【知识点】二次函数的应用、一元二次方程的应用、圆的相关计算
【点评】本题结合实际场景考查代数与几何综合应用，解题的关键是先确定自变量的取值范围，避免忽略实际限制条件导致判断错误。
【难度系数】0.6
5.如图，用栅栏围成一个矩形菜园，菜园一面靠长为5 m的墙，菜园分成两个区域，中间用栅栏隔开。已知整个菜园栅栏总长为12 m，如果出入口的大小不计，并且菜园靠墙的一面不能超过墙长，小明认为菜园的最大面积为12 m²；小亮认为菜园的面积可能为9 m²。则（
A.小明正确，小亮错误
B.小明错误，小亮正确
C.两人均正确
D.两人均错误
B
）。A.小明正确，小亮错误
B.小明错误，小亮正确
C.两人均正确
D.两人均错误
答案
B
解析
【分析】
首先明确栅栏的组成：3段垂直于墙的栅栏，1段平行于墙的栅栏，据此设未知数表示边长；再根据靠墙边长不超过墙长且大于0，求出自变量的取值范围；然后列出面积关于边长的二次函数，结合自变量范围求最大面积，判断小明的说法是否正确；最后令面积等于9，解一元二次方程，验证解是否符合取值范围，判断小亮的说法是否正确。
【解析】
设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的边长为$ (12 - 3x) \, \mathrm{m} $。
根据题意得自变量取值范围：
$ \begin{cases} 12-3x ＞ 0 \\ 12-3x ≤ 5 \end{cases} $
解得：$ \frac{7}{3} ≤ x ＜ 4 $。
菜园面积$ S = x(12-3x) = -3x^2 + 12x $，这是开口向下的二次函数，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = \frac{12}{2×3} = 2 $。
因为$ x ≥ \frac{7}{3} ＞ 2 $，在$ x ≥ 2 $时$ S $随$ x $的增大而减小，所以当$ x = \frac{7}{3} $时，$ S $取得最大值：
$ S_{\mathrm{max}} = \frac{7}{3} × (12 - 3×\frac{7}{3}) = \frac{35}{3} \approx 11.67 \, \mathrm{m}^2 ＜ 12 \, \mathrm{m}^2 $，故小明的说法错误。
令$ S = 9 $，则$ -3x^2 + 12x =9 $，整理得$ x^2 -4x +3 =0 $，解得$ x_1=1 $，$ x_2=3 $。
其中$ x_1=1 ＜ \frac{7}{3} $，不符合取值范围舍去；$ x_2=3 $在$ \frac{7}{3} ≤ x ＜4 $范围内，符合题意，故菜园面积可以为$ 9 \, \mathrm{m}^2 $，小亮的说法正确。
综上，小明错误，小亮正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是结合实际限制条件确定自变量的取值范围，不能直接代入二次函数顶点求最值，同时要验证方程的解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
首先明确栅栏的组成：3段垂直于墙的栅栏，1段平行于墙的栅栏，据此设未知数表示边长；再根据靠墙边长不超过墙长且大于0，求出自变量的取值范围；然后列出面积关于边长的二次函数，结合自变量范围求最大面积，判断小明的说法是否正确；最后令面积等于9，解一元二次方程，验证解是否符合取值范围，判断小亮的说法是否正确。
【解析】
设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的边长为$ (12 - 3x) \, \mathrm{m} $。
根据题意得自变量取值范围：
$ \begin{cases} 12-3x ＞ 0 \\ 12-3x ≤ 5 \end{cases} $
解得：$ \frac{7}{3} ≤ x ＜ 4 $。
菜园面积$ S = x(12-3x) = -3x^2 + 12x $，这是开口向下的二次函数，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = \frac{12}{2×3} = 2 $。
因为$ x ≥ \frac{7}{3} ＞ 2 $，在$ x ≥ 2 $时$ S $随$ x $的增大而减小，所以当$ x = \frac{7}{3} $时，$ S $取得最大值：
$ S_{\mathrm{max}} = \frac{7}{3} × (12 - 3×\frac{7}{3}) = \frac{35}{3} \approx 11.67 \, \mathrm{m}^2 ＜ 12 \, \mathrm{m}^2 $，故小明的说法错误。
令$ S = 9 $，则$ -3x^2 + 12x =9 $，整理得$ x^2 -4x +3 =0 $，解得$ x_1=1 $，$ x_2=3 $。
其中$ x_1=1 ＜ \frac{7}{3} $，不符合取值范围舍去；$ x_2=3 $在$ \frac{7}{3} ≤ x ＜4 $范围内，符合题意，故菜园面积可以为$ 9 \, \mathrm{m}^2 $，小亮的说法正确。
综上，小明错误，小亮正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是结合实际限制条件确定自变量的取值范围，不能直接代入二次函数顶点求最值，同时要验证方程的解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
