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6.如图，有长为24 m 的篱笆，现一面完全利用墙(墙的最大可用长度为10 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，围成的花圃的面积最大时，AB 的长是(
A.4 m
B.5 m
C.3 m
D.$\frac{14}{3}$ m
D
)。A.4 m
B.5 m
C.3 m
D.$\frac{14}{3}$ m
答案
D
解析
【分析】
我们可以先设AB的长度为x m，先根据篱笆总长度表示出平行于墙的边BC的长度，再结合墙的最大可用长度限制求出x的取值范围，然后根据矩形面积公式得到面积关于x的二次函数表达式，最后结合二次函数的增减性和x的取值范围，即可求出面积最大时AB的长度。
【解析】
解：设AB的长为x m，花圃的面积为S m²。
由题意得，垂直于墙的篱笆共3段，因此平行于墙的BC边长为$(24-3x)$m。
根据墙的最大可用长度为10m，且BC边长大于0，列不等式组：
$\begin{cases}24-3x＞0 \\24-3x≤10 \end{cases}$
解得：$\frac{14}{3}≤ x＜8$。
矩形面积$S=x·(24-3x)=-3x^2+24x$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{24}{2×(-3)}=4$。
因为二次函数开口向下，在对称轴右侧S随x的增大而减小，而x的取值范围$\frac{14}{3}≤ x＜8$在对称轴$x=4$的右侧，因此当x取最小值$\frac{14}{3}$时，S取得最大值，即此时AB的长为$\frac{14}{3}$m。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用，不等式组求解，二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数最值的实际应用问题，解题的易错点是容易忽略墙的长度限制，直接取二次函数顶点处的x值，因此解决这类问题一定要结合实际条件先确定自变量的取值范围，再判断最值的取值位置。
【难度系数】
0.6
我们可以先设AB的长度为x m，先根据篱笆总长度表示出平行于墙的边BC的长度，再结合墙的最大可用长度限制求出x的取值范围，然后根据矩形面积公式得到面积关于x的二次函数表达式，最后结合二次函数的增减性和x的取值范围，即可求出面积最大时AB的长度。
【解析】
解：设AB的长为x m，花圃的面积为S m²。
由题意得，垂直于墙的篱笆共3段，因此平行于墙的BC边长为$(24-3x)$m。
根据墙的最大可用长度为10m，且BC边长大于0，列不等式组：
$\begin{cases}24-3x＞0 \\24-3x≤10 \end{cases}$
解得：$\frac{14}{3}≤ x＜8$。
矩形面积$S=x·(24-3x)=-3x^2+24x$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{24}{2×(-3)}=4$。
因为二次函数开口向下，在对称轴右侧S随x的增大而减小，而x的取值范围$\frac{14}{3}≤ x＜8$在对称轴$x=4$的右侧，因此当x取最小值$\frac{14}{3}$时，S取得最大值，即此时AB的长为$\frac{14}{3}$m。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用，不等式组求解，二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数最值的实际应用问题，解题的易错点是容易忽略墙的长度限制，直接取二次函数顶点处的x值，因此解决这类问题一定要结合实际条件先确定自变量的取值范围，再判断最值的取值位置。
【难度系数】
0.6
7.某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留1 m宽的门。已知计划中的材料可建墙体总长为22 m(不包括门)，则能建成的饲养室最大总占地面积为(
A.$52\ \mathrm{m}^2$
B.$48\ \mathrm{m}^2$
C.$45\ \mathrm{m}^2$
D.$41\ \mathrm{m}^2$
B
)。A.$52\ \mathrm{m}^2$
B.$48\ \mathrm{m}^2$
C.$45\ \mathrm{m}^2$
D.$41\ \mathrm{m}^2$
答案
B
解析
【分析】
本题是二次函数求最值的实际应用问题，解题思路如下：①首先设定自变量，通常选择垂直于墙的边长作为自变量x；②结合墙体总长度、门的宽度，推导得到平行于墙的边长的代数式；③根据矩形面积公式列出面积关于x的二次函数表达式；④利用二次函数的性质计算最大值，注意自变量取值要符合实际意义。
【解析】
设垂直于墙的边长为$ x\ \mathrm{m} $，饲养室总占地面积为$ S\ \mathrm{m}^2 $。
由题意可知，共有3段垂直于墙的墙体，2处1m宽的门不需要建筑材料，因此平行于墙的边长为：$ 22 - 3x + 1×2 = (24 - 3x)\ \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(24 - 3x) = -3x^2 + 24x $
该二次函数开口向下，存在最大值，顶点横坐标为：
$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2×(-3)} = 4 $
此时$ 24 - 3x = 12 ＞ 0 $，符合实际意义。
将$ x=4 $代入函数得最大面积：
$ S_{\mathrm{最大}} = -3×4^2 + 24×4 = 48\ \mathrm{m}^2 $
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，列代数式
【点评】
本题结合实际围建场景考查二次函数的应用，解题的关键是正确梳理墙体长度、门宽和平行于墙边长的关系，列出正确的面积函数表达式，不要遗漏门宽对应的长度。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数求最值的实际应用问题，解题思路如下：①首先设定自变量，通常选择垂直于墙的边长作为自变量x；②结合墙体总长度、门的宽度，推导得到平行于墙的边长的代数式；③根据矩形面积公式列出面积关于x的二次函数表达式；④利用二次函数的性质计算最大值，注意自变量取值要符合实际意义。
【解析】
设垂直于墙的边长为$ x\ \mathrm{m} $，饲养室总占地面积为$ S\ \mathrm{m}^2 $。
由题意可知，共有3段垂直于墙的墙体，2处1m宽的门不需要建筑材料，因此平行于墙的边长为：$ 22 - 3x + 1×2 = (24 - 3x)\ \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(24 - 3x) = -3x^2 + 24x $
该二次函数开口向下，存在最大值，顶点横坐标为：
$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2×(-3)} = 4 $
此时$ 24 - 3x = 12 ＞ 0 $，符合实际意义。
将$ x=4 $代入函数得最大面积：
$ S_{\mathrm{最大}} = -3×4^2 + 24×4 = 48\ \mathrm{m}^2 $
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，列代数式
【点评】
本题结合实际围建场景考查二次函数的应用，解题的关键是正确梳理墙体长度、门宽和平行于墙边长的关系，列出正确的面积函数表达式，不要遗漏门宽对应的长度。
【难度系数】
0.6
8.某农场要建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1 m宽的门。已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28 m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（
A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.8 m
B
）。A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.8 m
答案
B
解析
【分析】
本题是二次函数求最值的实际应用问题，解题思路如下：1. 合理设自变量，直接设中间隔开的墙长为x m，该长度也是饲养室垂直于现有墙面的边长；2. 推导平行于墙面的边长：可建墙体（不含门）总长28m，两处门各宽1m无需建墙，加上3段垂直于墙的墙体总长度为3x，因此平行于墙的边长为(28+2×1-3x)m；3. 根据矩形面积公式写出总面积关于x的二次函数表达式；4. 利用二次函数的最值性质，求出面积最大时对应的x值即可。
【解析】
设中间隔开的墙长为$ x \, \mathrm{m} $，饲养室总占地面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意得，平行于现有墙的墙体长度为：$ 28 + 2×1 - 3x = (30 - 3x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(30 - 3x) = -3x^2 + 30x $
该函数是开口向下的二次函数，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2×(-3)} = 5 $时，$ S $取得最大值。
即当饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长为5m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值，矩形面积计算，实际问题列函数式
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是正确用含自变量的式子表示出平行于墙面的边长，进而建立面积的函数模型，是二次函数应用的典型题型，需要熟练掌握将实际问题转化为函数问题的方法。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数求最值的实际应用问题，解题思路如下：1. 合理设自变量，直接设中间隔开的墙长为x m，该长度也是饲养室垂直于现有墙面的边长；2. 推导平行于墙面的边长：可建墙体（不含门）总长28m，两处门各宽1m无需建墙，加上3段垂直于墙的墙体总长度为3x，因此平行于墙的边长为(28+2×1-3x)m；3. 根据矩形面积公式写出总面积关于x的二次函数表达式；4. 利用二次函数的最值性质，求出面积最大时对应的x值即可。
【解析】
设中间隔开的墙长为$ x \, \mathrm{m} $，饲养室总占地面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意得，平行于现有墙的墙体长度为：$ 28 + 2×1 - 3x = (30 - 3x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(30 - 3x) = -3x^2 + 30x $
该函数是开口向下的二次函数，当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2×(-3)} = 5 $时，$ S $取得最大值。
即当饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长为5m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值，矩形面积计算，实际问题列函数式
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是正确用含自变量的式子表示出平行于墙面的边长，进而建立面积的函数模型，是二次函数应用的典型题型，需要熟练掌握将实际问题转化为函数问题的方法。
【难度系数】
0.7
9.如图,九(1)班劳动实践基地位于L形围墙的内侧,已知$∠ ABC=90°$,墙AB长7 m,墙BC长3 m。同学们准备用10 m长的围栏,在基地内围出一块矩形菜地(可利用围墙)。他们能围出的劳动实践基地最大面积是
$\frac{169}{8}$
$\mathrm{m}^2$。答案
$\frac{169}{8}$
解析
【分析】
本题是二次函数求最值的实际应用问题，解题时需结合L形围墙的长度限制分情况讨论：首先分析围栏长度和矩形边长的关系，分竖直边长不超过BC长度、超过BC长度两种情况，分别建立面积关于边长的二次函数关系式，再结合自变量的取值范围，利用二次函数的性质求出两种情况的最大面积，比较后得到最终结果。
【解析】
设矩形垂直于AB方向的边长为$x\ \mathrm{m}$，平行于AB方向的边长为$y\ \mathrm{m}$，菜地面积为$S\ \mathrm{m}^2$，分两种情况讨论：
1. 当$x≤3$时，竖直边可完全利用BC围墙，水平边超出AB的部分需额外围栏，围栏总长度满足：$2y + x - 7 = 10$，整理得$x=17-2y$。
由$x≤3$得$y≥7$，由$x＞0$得$y＜8.5$。
此时面积$S=xy=y(17-2y)=-2y^2+17y$，该二次函数开口向下，对称轴为$y=\frac{17}{4}=4.25$，在$y≥7$的区间内函数单调递减，因此当$y=7$时取得最大值：$S_1=7×(17-2×7)=21$。
2. 当$x≥3$时，水平边可完全利用AB围墙，竖直边超出BC的部分需额外围栏，围栏总长度满足：$y + 2x - 3 = 10$，整理得$y=13-2x$。
由$y≤7$得$x≥3$，由$y＞0$得$x＜6.5$。
此时面积$S=xy=x(13-2x)=-2x^2+13x$，该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{13}{4}=3.25$，在$x\in[3,6.5)$范围内，对称轴属于取值区间，因此当$x=\frac{13}{4}$时取得最大值：
$S_2=-2×(\frac{13}{4})^2 + 13×\frac{13}{4}=-\frac{169}{8}+\frac{338}{8}=\frac{169}{8}$。
比较得$\frac{169}{8}＞21$，因此最大面积为$\frac{169}{8}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$\frac{169}{8}$
【知识点】
二次函数最值，实际问题建模，分段讨论
【点评】
本题结合生活场景考察函数的实际应用，易错点是忽略围墙长度限制，未进行分段讨论，解题时要特别注意自变量的取值范围对最值结果的影响，需要学生具备将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数求最值的实际应用问题，解题时需结合L形围墙的长度限制分情况讨论：首先分析围栏长度和矩形边长的关系，分竖直边长不超过BC长度、超过BC长度两种情况，分别建立面积关于边长的二次函数关系式，再结合自变量的取值范围，利用二次函数的性质求出两种情况的最大面积，比较后得到最终结果。
【解析】
设矩形垂直于AB方向的边长为$x\ \mathrm{m}$，平行于AB方向的边长为$y\ \mathrm{m}$，菜地面积为$S\ \mathrm{m}^2$，分两种情况讨论：
1. 当$x≤3$时，竖直边可完全利用BC围墙，水平边超出AB的部分需额外围栏，围栏总长度满足：$2y + x - 7 = 10$，整理得$x=17-2y$。
由$x≤3$得$y≥7$，由$x＞0$得$y＜8.5$。
此时面积$S=xy=y(17-2y)=-2y^2+17y$，该二次函数开口向下，对称轴为$y=\frac{17}{4}=4.25$，在$y≥7$的区间内函数单调递减，因此当$y=7$时取得最大值：$S_1=7×(17-2×7)=21$。
2. 当$x≥3$时，水平边可完全利用AB围墙，竖直边超出BC的部分需额外围栏，围栏总长度满足：$y + 2x - 3 = 10$，整理得$y=13-2x$。
由$y≤7$得$x≥3$，由$y＞0$得$x＜6.5$。
此时面积$S=xy=x(13-2x)=-2x^2+13x$，该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{13}{4}=3.25$，在$x\in[3,6.5)$范围内，对称轴属于取值区间，因此当$x=\frac{13}{4}$时取得最大值：
$S_2=-2×(\frac{13}{4})^2 + 13×\frac{13}{4}=-\frac{169}{8}+\frac{338}{8}=\frac{169}{8}$。
比较得$\frac{169}{8}＞21$，因此最大面积为$\frac{169}{8}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$\frac{169}{8}$
【知识点】
二次函数最值，实际问题建模，分段讨论
【点评】
本题结合生活场景考察函数的实际应用，易错点是忽略围墙长度限制，未进行分段讨论，解题时要特别注意自变量的取值范围对最值结果的影响，需要学生具备将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
10.为充分利用现有资源，学校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉。如图，矩形地ABCD一面靠墙(墙的长度为12 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏EF把它分成两个面积相等的矩形。已知栅栏的总长度为27 m。
(1)若矩形地ABCD的面积为42 m²，求AB的长；
(2)当边AB长为多少时，矩形地ABCD的面积最大？最大面积是多少？
11.如图①，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD。设花圃的宽AB为x m(宽AB不大于长BC)，面积为S m²。
(1)求S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围。
(2)请求出花圃ABCD能围成的最大面积，并写出此时x的值。
(3)如图②，为了方便出入，在建造矩形花圃时，在BC上用其他材料做了宽均为1 m的两扇小门，能否使围成的矩形花圃面积为51 m²？如果能，请求出花圃宽AB和长BC的值；如果不能，请说明理由。
(1)若矩形地ABCD的面积为42 m²，求AB的长；
(2)当边AB长为多少时，矩形地ABCD的面积最大？最大面积是多少？
11.如图①，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD。设花圃的宽AB为x m(宽AB不大于长BC)，面积为S m²。
(1)求S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围。
(2)请求出花圃ABCD能围成的最大面积，并写出此时x的值。
(3)如图②，为了方便出入，在建造矩形花圃时，在BC上用其他材料做了宽均为1 m的两扇小门，能否使围成的矩形花圃面积为51 m²？如果能，请求出花圃宽AB和长BC的值；如果不能，请说明理由。
答案
10.解:(1)设 AB 的长为 x m,则 BC 的长为(27−3x) m。
根据题意,得(27−3x)x=42,
解得 x=2 或 x=7。
当 x=2 时,27−3x=21＞12,不合题意,舍去;
当 x=7 时,27−3x=6＜12,符合题意。
∴x=7。
∴AB 的长为 7 m。
(2)设矩形的面积为 S m²。
根据题意,得 S=(27−3x)x=−3x²+27x=−3(x−9x)=−3$(x-\dfrac{9}{2})^2+\dfrac{243}{4}$。
∵BC=27−3x≤12,
∴x≥5。
∵−3＜0,
∴当 x=5 时,S 有最大值,最大值为 60,
即当边 AB 的长为 5 m 时,矩形地 ABCD的面积最大,最大面积是 60 m²。
11.解:(1)
∵AB=x m,
∴BC=(24−3x)m,
∴S=x(24−3x)=−3x²+24x。
∵墙的最大可用长度为 10 m,且宽 AB 不大于长 BC,
∴x≤24−3x≤10。
∴$\dfrac{14}{3}$≤x≤6。
∴S 与 x 之间的关系式为 S=−3x²+24x$(\dfrac{14}{3}≤ x≤ 6)$。
(2)
∵S=−3x²+24x=−3(x²−8x)=−3(x−4)²+48,且−3＜0,
∴当 x＞4 时,y 随 x 的增大而减小。
又
∵$\dfrac{14}{3}$≤x≤6,
∴S 有最大值,最大值为$\dfrac{140}{3}$。
∴花圃 ABCD 能围成的最大面积为$\dfrac{140}{3}$ m²,此时 x 的值为$\dfrac{14}{3}$。
(3)能使围成的矩形花圃面积为 51 m²。
理由:
∵AB=x m,
∴BC=24−3x+2=(26−3x) m,
∴S=x·(26−3x)=−3x²+26x。
令 S=51,则−3x²+26x=51,
解得 $x_1=\dfrac{17}{3},x_2=3$。
∵墙的最大可用长度为 10 m,且宽 AB 不大于长 BC,
∴x≤26−3x≤10。
∴$\dfrac{16}{3}$≤x≤$\dfrac{13}{2}$。
∴$x=\dfrac{17}{3}$,此时 26−3x=26−17=9,
∴当 AB=$\dfrac{17}{3}$m,BC=9 m 时,能使围成的矩形花圃面积为 51 m²。
根据题意,得(27−3x)x=42,
解得 x=2 或 x=7。
当 x=2 时,27−3x=21＞12,不合题意,舍去;
当 x=7 时,27−3x=6＜12,符合题意。
∴x=7。
∴AB 的长为 7 m。
(2)设矩形的面积为 S m²。
根据题意,得 S=(27−3x)x=−3x²+27x=−3(x−9x)=−3$(x-\dfrac{9}{2})^2+\dfrac{243}{4}$。
∵BC=27−3x≤12,
∴x≥5。
∵−3＜0,
∴当 x=5 时,S 有最大值,最大值为 60,
即当边 AB 的长为 5 m 时,矩形地 ABCD的面积最大,最大面积是 60 m²。
11.解:(1)
∵AB=x m,
∴BC=(24−3x)m,
∴S=x(24−3x)=−3x²+24x。
∵墙的最大可用长度为 10 m,且宽 AB 不大于长 BC,
∴x≤24−3x≤10。
∴$\dfrac{14}{3}$≤x≤6。
∴S 与 x 之间的关系式为 S=−3x²+24x$(\dfrac{14}{3}≤ x≤ 6)$。
(2)
∵S=−3x²+24x=−3(x²−8x)=−3(x−4)²+48,且−3＜0,
∴当 x＞4 时,y 随 x 的增大而减小。
又
∵$\dfrac{14}{3}$≤x≤6,
∴S 有最大值,最大值为$\dfrac{140}{3}$。
∴花圃 ABCD 能围成的最大面积为$\dfrac{140}{3}$ m²,此时 x 的值为$\dfrac{14}{3}$。
(3)能使围成的矩形花圃面积为 51 m²。
理由:
∵AB=x m,
∴BC=24−3x+2=(26−3x) m,
∴S=x·(26−3x)=−3x²+26x。
令 S=51,则−3x²+26x=51,
解得 $x_1=\dfrac{17}{3},x_2=3$。
∵墙的最大可用长度为 10 m,且宽 AB 不大于长 BC,
∴x≤26−3x≤10。
∴$\dfrac{16}{3}$≤x≤$\dfrac{13}{2}$。
∴$x=\dfrac{17}{3}$,此时 26−3x=26−17=9,
∴当 AB=$\dfrac{17}{3}$m,BC=9 m 时,能使围成的矩形花圃面积为 51 m²。
解析
【分析】
第10题解题思路
(1) 首先明确栅栏构成：垂直于墙的边共3段（AB、EF、CD），长度均等于AB，设AB为x m，则平行于墙的边BC的长度为总栅栏长27m减去3段垂直边的长度，即(27-3x)m；再根据面积为42 m²列一元二次方程，结合墙长最大为12m（即BC≤12）对解进行取舍，得到符合实际的AB长度。
(2) 设面积为S，根据“矩形面积=长×宽”写出S关于x的二次函数解析式，先通过配方找到函数的对称轴，再结合BC≤12求出x的取值范围；由于二次函数开口向下，在对称轴右侧函数值随x增大而减小，因此在x的取值范围内取最小的x值即可得到最大面积。
第11题解题思路
(1) 垂直于墙的边共3段，长度均为AB=x m，因此BC的长度为总篱笆长24m减去3x，即(24-3x)m；根据墙最大可用长度10m（BC≤10）、宽不大于长（x≤BC）列不等式组，求出自变量x的取值范围，再根据面积公式写出S与x的函数关系式。
(2) 对二次函数解析式配方找到对称轴，结合x的取值范围判断函数的增减性：因为开口向下，若取值范围在对称轴右侧，则x取最小值时S最大，代入计算即可。
(3) BC上有2扇宽1m的小门，小门不需要篱笆，因此BC的长度比原来多2m，即BC=(26-3x)m；令面积S=51列一元二次方程，求解后结合新的约束条件（BC≤10、x≤BC）验根，判断是否存在符合条件的解。
【解析】
第10题解答
(1) 设AB的长为x m，则BC的长为(27−3x) m。
根据题意，得：
$x(27-3x)=42$
整理得$x^2-9x+14=0$，解得$x=2$或$x=7$。
当$x=2$时，$27-3x=21＞12$，超过墙的最大长度，不合题意，舍去；
当$x=7$时，$27-3x=6＜12$，符合题意。
∴$x=7$。
(2) 设矩形的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据题意得：
$S=x(27-3x)=-3x^2+27x=-3(x-\frac{9}{2})^2+\frac{243}{4}$
由$BC=27-3x≤12$，得$x≥5$。
∵二次项系数$-3＜0$，函数开口向下，当$x＞\frac{9}{2}$时，S随x的增大而减小，
∴当$x=5$时，S取得最大值，最大值为$-3×5^2+27×5=60$。
---
第11题解答
(1) 设花圃的宽AB为x m，则BC的长为$(24-3x)\ \mathrm{m}$，面积：
$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$
根据约束条件：墙的最大可用长度为10 m，且宽AB不大于长BC，得：
$\begin{cases}24-3x≤10 \\x≤24-3x \end{cases}$
解得$\frac{14}{3}≤x≤6$。
∴S与x的关系式为$S=-3x^2+24x(\frac{14}{3}≤x≤6)$。
(2) 对函数配方得：
$S=-3x^2+24x=-3(x-4)^2+48$
∵$-3＜0$，开口向下，当$x＞4$时，S随x的增大而减小，
又$\frac{14}{3}≤x≤6$，
∴当$x=\frac{14}{3}$时，S取得最大值：
$S=-3×(\frac{14}{3}-4)^2+48=\frac{140}{3}$
(3) 能。理由如下：
BC上有2扇宽1m的小门，因此BC的长度为$24-3x+2=(26-3x)\ \mathrm{m}$，面积：
$S=x(26-3x)=-3x^2+26x$
令$S=51$，得：
$-3x^2+26x=51$
整理得$3x^2-26x+51=0$，解得$x_1=\frac{17}{3},x_2=3$。
根据约束条件$\begin{cases}26-3x≤10 \\x≤26-3x \end{cases}$，解得$\frac{16}{3}≤x≤\frac{13}{2}$，
只有$x=\frac{17}{3}$符合范围，此时$BC=26-3×\frac{17}{3}=9$。
【答案】
10. (1) AB的长为7 m；(2) 当AB长为5 m时，面积最大，最大面积为$60\ \mathrm{m}^2$。
11. (1) $S=-3x^2+24x(\frac{14}{3}≤x≤6)$；(2) 最大面积为$\frac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$，此时$x=\frac{14}{3}$；(3) 能，此时AB为$\frac{17}{3}\ \mathrm{m}$，BC为9 m。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数面积最值；实际问题自变量取值范围
【点评】
这两道题是几何面积与代数结合的典型应用题，解题核心是先根据图形边长关系建立代数模型，再结合墙长、长宽大小等实际约束条件确定自变量的取值范围，求解后必须检验解是否符合实际；求二次函数最值时要注意判断顶点是否在自变量取值范围内，避免直接代入顶点坐标导致错误。
【难度系数】
0.65
第10题解题思路
(1) 首先明确栅栏构成：垂直于墙的边共3段（AB、EF、CD），长度均等于AB，设AB为x m，则平行于墙的边BC的长度为总栅栏长27m减去3段垂直边的长度，即(27-3x)m；再根据面积为42 m²列一元二次方程，结合墙长最大为12m（即BC≤12）对解进行取舍，得到符合实际的AB长度。
(2) 设面积为S，根据“矩形面积=长×宽”写出S关于x的二次函数解析式，先通过配方找到函数的对称轴，再结合BC≤12求出x的取值范围；由于二次函数开口向下，在对称轴右侧函数值随x增大而减小，因此在x的取值范围内取最小的x值即可得到最大面积。
第11题解题思路
(1) 垂直于墙的边共3段，长度均为AB=x m，因此BC的长度为总篱笆长24m减去3x，即(24-3x)m；根据墙最大可用长度10m（BC≤10）、宽不大于长（x≤BC）列不等式组，求出自变量x的取值范围，再根据面积公式写出S与x的函数关系式。
(2) 对二次函数解析式配方找到对称轴，结合x的取值范围判断函数的增减性：因为开口向下，若取值范围在对称轴右侧，则x取最小值时S最大，代入计算即可。
(3) BC上有2扇宽1m的小门，小门不需要篱笆，因此BC的长度比原来多2m，即BC=(26-3x)m；令面积S=51列一元二次方程，求解后结合新的约束条件（BC≤10、x≤BC）验根，判断是否存在符合条件的解。
【解析】
第10题解答
(1) 设AB的长为x m，则BC的长为(27−3x) m。
根据题意，得：
$x(27-3x)=42$
整理得$x^2-9x+14=0$，解得$x=2$或$x=7$。
当$x=2$时，$27-3x=21＞12$，超过墙的最大长度，不合题意，舍去；
当$x=7$时，$27-3x=6＜12$，符合题意。
∴$x=7$。
(2) 设矩形的面积为$S\ \mathrm{m}^2$，根据题意得：
$S=x(27-3x)=-3x^2+27x=-3(x-\frac{9}{2})^2+\frac{243}{4}$
由$BC=27-3x≤12$，得$x≥5$。
∵二次项系数$-3＜0$，函数开口向下，当$x＞\frac{9}{2}$时，S随x的增大而减小，
∴当$x=5$时，S取得最大值，最大值为$-3×5^2+27×5=60$。
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第11题解答
(1) 设花圃的宽AB为x m，则BC的长为$(24-3x)\ \mathrm{m}$，面积：
$S=x(24-3x)=-3x^2+24x$
根据约束条件：墙的最大可用长度为10 m，且宽AB不大于长BC，得：
$\begin{cases}24-3x≤10 \\x≤24-3x \end{cases}$
解得$\frac{14}{3}≤x≤6$。
∴S与x的关系式为$S=-3x^2+24x(\frac{14}{3}≤x≤6)$。
(2) 对函数配方得：
$S=-3x^2+24x=-3(x-4)^2+48$
∵$-3＜0$，开口向下，当$x＞4$时，S随x的增大而减小，
又$\frac{14}{3}≤x≤6$，
∴当$x=\frac{14}{3}$时，S取得最大值：
$S=-3×(\frac{14}{3}-4)^2+48=\frac{140}{3}$
(3) 能。理由如下：
BC上有2扇宽1m的小门，因此BC的长度为$24-3x+2=(26-3x)\ \mathrm{m}$，面积：
$S=x(26-3x)=-3x^2+26x$
令$S=51$，得：
$-3x^2+26x=51$
整理得$3x^2-26x+51=0$，解得$x_1=\frac{17}{3},x_2=3$。
根据约束条件$\begin{cases}26-3x≤10 \\x≤26-3x \end{cases}$，解得$\frac{16}{3}≤x≤\frac{13}{2}$，
只有$x=\frac{17}{3}$符合范围，此时$BC=26-3×\frac{17}{3}=9$。
【答案】
10. (1) AB的长为7 m；(2) 当AB长为5 m时，面积最大，最大面积为$60\ \mathrm{m}^2$。
11. (1) $S=-3x^2+24x(\frac{14}{3}≤x≤6)$；(2) 最大面积为$\frac{140}{3}\ \mathrm{m}^2$，此时$x=\frac{14}{3}$；(3) 能，此时AB为$\frac{17}{3}\ \mathrm{m}$，BC为9 m。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数面积最值；实际问题自变量取值范围
【点评】
这两道题是几何面积与代数结合的典型应用题，解题核心是先根据图形边长关系建立代数模型，再结合墙长、长宽大小等实际约束条件确定自变量的取值范围，求解后必须检验解是否符合实际；求二次函数最值时要注意判断顶点是否在自变量取值范围内，避免直接代入顶点坐标导致错误。
【难度系数】
0.65
