12.一段长为25 m的墙MN前有一块矩形空地ABCD，用90 m长的篱笆围成如图所示的图形(靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计)，其中四边形AEFH和四边形CDHG是矩形，四边形EBGF是边长为5 m的正方形，设CD=x m。
(1)若矩形CDHG的面积为125 m²，求CD的长。
(2)当CD的长为多少时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？

12.解:(1)易得 AB=HG=CD=x cm,EF=BG=5 m,
∴GC=90−3x−10=(80−3x) m。
∴x(80−3x)=125,
解得 $x_1=25,x_2=\dfrac{5}{3}$。
∵BC=80−3x+5≤25,
∴x≥20。
∴x=25。
∴CD 的长为 25 m。
(2)设矩形 ABCD 的面积为 S,则 S=BC·CD=x·(80−3x+5)=−3$(x-\dfrac{85}{6})^2+\dfrac{7225}{12}$。
∵−3＜0,x≥20,
∴当 x=20 时,S 取得最大值,最大值为 $-3×(20-\dfrac{85}{6})^2+\dfrac{7225}{12}=500$,
即当 CD 的长为 20 m 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积是 500 m²。

【分析】
(1) 先梳理图形边长关系：已知四边形EBGF是边长为5m的正方形，可得AB=HG=CD=x m，EF=BG=5 m。总篱笆长90m，其中垂直于墙的篱笆共3段（AB、HG、CD），总长度为3x m，水平方向有EF、BG两段各5m，剩余为GC的长度，可先写出GC关于x的代数式。再结合矩形CDHG的面积为125 m²列一元二次方程求解，最后根据墙长25m的限制（即BC≤25m）对解进行取舍，得到符合实际的CD长度。
(2) 先写出矩形ABCD的面积S关于x的函数关系式，整理为二次函数顶点式，结合x的取值范围，根据二次函数的增减性即可确定面积最大值及对应的x值。
【解析】
(1) 由题意得：AB=HG=CD=x m，正方形EBGF的边长为5m，故EF=BG=5 m。
篱笆总长为90m，因此GC的长度为：$GC=90-3x-5×2=(80-3x)\ \mathrm{m}$。
矩形CDHG的面积为$CD· GC$，已知其面积为125 m²，列方程：
$x(80-3x)=125$
整理得$3x^2-80x+125=0$
解得$x_1=25$，$x_2=\dfrac{5}{3}$。
又因为靠墙的边$BC=BG+GC=5+(80-3x)=85-3x$，且BC≤墙长25m，即：
$85-3x≤25$
解得$x≥20$，故$x=\dfrac{5}{3}$不符合要求舍去，得$x=25$。
(2) 设矩形ABCD的面积为S，由$BC=85-3x$，$CD=x$，得：
$S=CD· BC=x(85-3x)=-3x^2+85x$
整理为顶点式：$S=-3(x-\dfrac{85}{6})^2+\dfrac{7225}{12}$
$\because a=-3＜0$，二次函数开口向下，且自变量$x≥20$，对称轴$x=\dfrac{85}{6}\approx14.17＜20$
$\therefore$在$x≥20$的范围内，S随x的增大而减小，因此当x=20时，S取得最大值。
代入$x=20$得：$S=-3×20^2+85×20=500\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) CD的长为25 m；
(2) 当CD的长为20 m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是500 m²。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际围篱笆的场景，综合考查了几何图形边长关系、方程求解和二次函数的实际应用，解题时需注意实际问题中自变量的取值限制，避免因忽略墙长约束导致错解。
【难度系数】
0.6