5. 已知三个数$2,\sqrt{2},1$,请你再添一个数,使这四个数成比例。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$(答案不唯一)

【分析】
要解决四个数成比例的问题，首先需明确比例的基本性质：若四个数a、b、c、d成比例，则满足外项之积等于内项之积，即$ad=bc$。由于题目未指定四个数的排列顺序，我们设添加的数为$x$，分三种情况讨论：分别让$x$与已知三个数中的一个作为外项（或内项），另外两个数作为内项（或外项），列方程求解即可得到所有符合条件的数。
【解析】
设添加的数为$ x $，根据比例的基本性质（两外项之积等于两内项之积），分以下三种情况讨论：
1. 当$ 2x = \sqrt{2} × 1 $时，
解得：$ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $；
2. 当$ \sqrt{2}x = 2 × 1 $时，
解得：$ x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $；
3. 当$ 1 × x = 2 × \sqrt{2} $时，
解得：$ x = 2\sqrt{2} $。
综上，添加的数可以为$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
比例的基本性质，成比例的定义，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对成比例概念的理解，解题的关键是注意四个数成比例时没有固定顺序，需要分类讨论所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

6. (多选题)已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$(a,b,c,d都不为0),则下列各式一定成立的是()。

A.$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$
B.$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
C.$\frac{a+1}{b}=\frac{c+1}{d}$
D.$\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}(b+d≠0)$

6. ABD

【分析】
本题可利用比例的基本性质（交叉相乘积相等）、合比性质、等比性质逐一验证选项，也可将已知比例设为比值k用代入法推导，还可以通过举反例排除错误选项。首先由已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$可得等积式$ad=bc$，再对每个选项变形后对比是否符合该等积式或比例性质即可。
【解析】
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（$a,b,c,d$均不为0），根据比例的基本性质可得$ad=bc$。
验证选项A：若$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$，交叉相乘得$ad=bc$，与已知推导的等积式一致，故A一定成立；
验证选项B：左边$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1$，右边$\frac{c+d}{d}=\frac{c}{d}+1$，已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，两边同时加1等式仍成立，故B一定成立；
验证选项C：若$\frac{a+1}{b}=\frac{c+1}{d}$，交叉相乘得$d(a+1)=b(c+1)$，即$ad+d=bc+b$，已知$ad=bc$，则需满足$b=d$等式才成立，题目未给出$b=d$的条件，故C不一定成立；
验证选项D：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，则$a=bk$，$c=dk$，因为$b+d≠0$，左边$\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{k(b+d)}{b+d}=k$，右边$\frac{c}{d}=\frac{dk}{d}=k$，两边相等，故D一定成立。
综上，一定成立的是ABD。
【答案】
ABD
【知识点】
比例的基本性质；合比性质；等比性质
【点评】
本题考查比例性质的基础应用，解题时可灵活选择等积式变形、参数法或特值法验证选项，要注意等比性质使用时需满足各分母之和不为0的前提条件，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.7

7. 已知$a:b:c=3:4:5$。
（1）求代数式$\frac{3a - b + c}{a + 3b - c}$的值。
（2）若$a - b + c = 24$，求$a,b,c$的值。

(1) 1 (2) $a=18,b=24,c=30$

【分析】
遇到已知几个量的连比求代数式值或各量数值的问题，常用设参数法解题：首先根据连比关系，引入参数k，将a、b、c都用含k的代数式表示，再代入对应式子计算即可。第一问代入分式后参数k可直接约去得到结果，第二问代入方程可先求出k的值，再反推a、b、c的数值。
【解析】
解：已知$a:b:c=3:4:5$，设$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$（$k≠0$）。
（1）将$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$代入代数式$\frac{3a - b + c}{a + 3b - c}$得：
分子：$3a - b + c = 3×3k - 4k + 5k = 9k - 4k + 5k = 10k$
分母：$a + 3b - c = 3k + 3×4k - 5k = 3k + 12k - 5k = 10k$
∴原式$=\frac{10k}{10k}=1$
（2）将$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$代入$a - b + c = 24$得：
$3k - 4k + 5k = 24$
合并同类项得：$4k = 24$
解得：$k=6$
∴$a=3k=3×6=18$，$b=4k=4×6=24$，$c=5k=5×6=30$
【答案】
(1) $1$
(2) $a=18,b=24,c=30$
【知识点】
连比的应用；分式化简求值；一元一次方程求解
【点评】
本题是比例相关的基础题型，核心解题方法是连比问题中设参数k的技巧，该方法在比例类计算中通用性很强，熟练掌握后可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.85

8. 已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}(a≠b,c≠d)$，求证：$\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}$。

设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$,则$a=kb,c=kd,\frac{a}{a-b}=\frac{kb}{kb-b}=\frac{kb}{b(k-1)}=\frac{k}{k-1},\frac{c}{c-d}=\frac{kd}{kd-d}=\frac{kd}{d(k-1)}=\frac{k}{k-1},故\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}。$

【分析】
已知两个比例相等的待证问题，常用参数法求解：首先设两个相等比例的公共比值为参数k，结合比例的定义可将a、c分别用含k和b、d的代数式表示；再将a、c的表达式分别代入待证等式左右两边的分式，结合已知a≠b、c≠d可保证分母不为0，约分化简后对比两边结果即可证明等式成立，同时比例的分母b、d均不为0，约分操作合法。
【解析】
设$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k$，则$a=kb$，$c=kd$。
由$a≠b$、$c≠d$可得$k≠1$，即$k-1≠0$，且$b≠0$、$d≠0$。
左边化简：$\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{kb}{kb-b}=\dfrac{kb}{b(k-1)}=\dfrac{k}{k-1}$；
右边化简：$\dfrac{c}{c-d}=\dfrac{kd}{kd-d}=\dfrac{kd}{d(k-1)}=\dfrac{k}{k-1}$。
因为左边=右边，故$\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}$成立。
【答案】
$\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}$得证
【知识点】
比例的基本性质，参数法解题，分式约分
【点评】
本题是比例相关证明的基础题型，难度不大，核心是掌握设等比为公共参数的解题思路，该方法通用性强，适用于多数等比类的计算与证明题型。
【难度系数】
0.8