例1 分解因式：
(1)$a^2 - 9b^2$； (2)$25x^2y^2 - 1$；
(3)$(x+y)^2 - 4$；(4)$16(a-b)^2 - 25(a+b)^2$.
【思路导析】两数(式)的平方差可以写成这两数(式)的和与这两数(式)的差的积的形式.
【请你解答】

解：
(1) 原式$=a^2-(3b)^2$
$=(a+3b)(a-3b)$
(2) 原式$=(5xy)^2 - 1^2$
$=(5xy+1)(5xy-1)$
(3) 原式$=(x+y)^2 - 2^2$
$=(x+y+2)(x+y-2)$
(4) 原式$=[4(a-b)]^2 - [5(a+b)]^2$
$=[4(a-b)+5(a+b)][4(a-b)-5(a+b)]$
$=(4a-4b+5a+5b)(4a-4b-5a-5b)$
$=(9a+b)(-a-9b)$
$=-(9a+b)(a+9b)$

【分析】
这4道因式分解题均符合平方差公式的结构特征：包含两项、两项符号相反、每一项都可以写成某个数（或整式）的平方形式，因此均采用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$求解。解题思路为：①先将原式变形为两个式子平方作差的形式，确定公式中对应的$a$和$b$；②代入平方差公式写成两个因式乘积的形式；③若因式内含有同类项，需合并同类项，若因式首项为负可提取负号，保证结果最简。
【解析】
(1) 原式$=a^2-(3b)^2$
$=(a+3b)(a-3b)$
(2) 原式$=(5xy)^2 - 1^2$
$=(5xy+1)(5xy-1)$
(3) 原式$=(x+y)^2 - 2^2$
$=(x+y+2)(x+y-2)$
(4) 原式$=[4(a-b)]^2 - [5(a+b)]^2$
$=[4(a-b)+5(a+b)][4(a-b)-5(a+b)]$
$=(4a-4b+5a+5b)(4a-4b-5a-5b)$
$=(9a+b)(-a-9b)$
$=-(9a+b)(a+9b)$
【答案】
(1) $(a+3b)(a-3b)$
(2) $(5xy+1)(5xy-1)$
(3) $(x+y+2)(x+y-2)$
(4) $-(9a+b)(a+9b)$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整式加减运算
【点评】
本题是公式法分解因式的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题时需准确对应公式中的两个项，代入公式后注意合并同类项，最终结果要满足因式分解的彻底性要求。
【难度系数】
0.8

例2 分解因式：
(1)$a^3b - ab^3$； (2)$x^5 -16x$；
(3)$(a-1)+b^2(1-a)$.
【思路导析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

解：
(1) 原式$=ab(a^2 - b^2)$
$=ab(a+b)(a-b)$
(2) 原式$=x(x^4 - 16)$
$=x(x^2 + 4)(x^2 - 4)$
$=x(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$
(3) 原式$=(a-1) - b^2(a-1)$
$=(a-1)(1 - b^2)$
$=(a-1)(1 + b)(1 - b)$

【分析】
分解因式需遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先找各项的公因式，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余多项式的结构，若满足“两项、异号、均为平方形式”的特征，就可以套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$继续分解；第三步检查最终的每个因式是否都不能再分解，确保分解彻底。
具体到各小题：(1)先提取公因式$ab$，剩余的$a^2-b^2$符合平方差公式特征，可继续分解；(2)先提取公因式$x$，剩余的$x^4-16$可先写成$(x^2)^2-4^2$的形式分解，分解后得到的$x^2-4$仍符合平方差公式特征，需再次分解；(3)先把$(1-a)$变形为$-(a-1)$，即可提取公因式$(a-1)$，剩余的$1-b^2$符合平方差公式特征，继续分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$ab$，再利用平方差公式分解：
原式$=ab(a^2 - b^2)$
$=ab(a+b)(a-b)$
(2) 先提取公因式$x$，再两次使用平方差公式分解，确保分解彻底：
原式$=x(x^4 - 16)$
$=x(x^2 + 4)(x^2 - 4)$
$=x(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$
(3) 先变形统一公因式，提取公因式后再用平方差公式分解：
原式$=(a-1) - b^2(a-1)$
$=(a-1)(1 - b^2)$
$=(a-1)(1 + b)(1 - b)$
【答案】
(1)$ab(a+b)(a-b)$；
(2)$x(x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)$；
(3)$(a-1)(1 + b)(1 - b)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
这是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的基本操作步骤，解题时要注意：提取公因式要彻底，套用公式前要先判断多项式是否符合公式结构，最终结果要保证每个因式都不能再分解，涉及符号变形时不要出现符号错误。
【难度系数】
0.75

例3 李老师在黑板上写出三个算式：
$5^2 - 3^2 = 8×2, 9^2 - 7^2 = 8×4, 15^2 - 3^2 = 8×27,$
王强接着又写下了两个具有相同规律的算式：
$11^2 - 5^2 = 8×12, 15^2 - 7^2 = 8×22.$ 请你再写出两个(不同于上面的算式)具有上述规律的算式：，用文字写出反映上述算式的规律：，你能验证上述规律的正确性吗？
【思路导析】解决本题的关键是从式子中看出两个奇数的平方差是8的倍数. 验证时可设这两个奇数分别为$2m+1,2n+1,m,n$均为整数,且$m＞n$,分析$(2m+1)^2 - (2n+1)^2$在$m,n$同时取奇数或同时取偶数或一奇一偶时是不是8的倍数.
【示范解答】$11^2 - 9^2 = 8×5,7^2 - 5^2 = 8×3$(答案不唯一).
上述算式的规律是:任意两个奇数的平方差是8的倍数.
验证:设$m,n$为整数且$m＞n$,则任意两个奇数可以表示为$2m+1$和$2n+1$,
$(2m+1)^2 - (2n+1)^2 = (2m - 2n)(2m + 2n + 2) = 4(m - n)(m + n + 1).$
当$m,n$同时取奇数或同时取偶数时,$m-n$一定为偶数,所以$4(m-n)$一定是8的倍数;
当$m,n$一奇一偶时,$m+n+1$一定为偶数,所以$4(m+n+1)$一定是8的倍数.
所以任意两个奇数的平方差一定是8的倍数.
变式探究
小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了二项式$x^2 - □y^2$中$y^2$前的式子(“”表示漏抄的部分).若该二项式能进行因式分解,则“”不可能是()

A.$x^2$
B.4
C.$-4$
D.9

$7^2-3^2=8×5,13^2-11^2=8×6$（算式答案不唯一）；任意两个奇数的平方差是8的倍数；C

【分析】
首先处理规律探究部分：观察给出的所有等式，左边均为两个奇数的平方作差，右边都是8与某个整数的乘积。先写出两个题干未出现的奇数平方差算式，再通过设两个奇数为2m+1和2n+1（m、n为整数，m＞n），用平方差公式展开后分类讨论，证明结果为8的倍数即可总结规律。
再处理变式探究部分：该二项式为两项，优先考虑平方差公式的结构特征，逐一分析选项代入后是否能完成因式分解即可。
【解析】
1. 写规律算式：挑选两个题干未出现的奇数计算平方差，例如$7^2-3^2=49-9=40=8×5$，$13^2-11^2=169-121=48=8×6$，符合规律（答案不唯一）。
2. 总结规律：观察所有等式可得出：任意两个奇数的平方差是8的倍数。
验证：设m、n为整数且m＞n，两个奇数可表示为$2m+1$和$2n+1$，
利用平方差公式展开：
$\begin{aligned}(2m+1)^2 - (2n+1)^2 &= (2m+1+2n+1)(2m+1-2n-1)\\&=(2m+2n+2)(2m-2n)\\&=4(m-n)(m+n+1)\end{aligned}$
分类讨论：①若m、n同奇或同偶，则$m-n$为偶数，原式可化为8和整数的乘积，是8的倍数；②若m、n一奇一偶，则$m+n+1$为偶数，原式可化为8和整数的乘积，是8的倍数。综上规律成立。
3. 变式探究分析：
A. 代入$x^2$得$x^2 - x^2y^2 = x^2(1-y^2)=x^2(1+y)(1-y)$，可因式分解，不符合题意；
B. 代入4得$x^2 -4y^2=(x+2y)(x-2y)$，可因式分解，不符合题意；
C. 代入-4得$x^2 +4y^2$，初中阶段无法因式分解，符合题意；
D. 代入9得$x^2 -9y^2=(x+3y)(x-3y)$，可因式分解，不符合题意。
故选C。
【答案】
$7^2-3^2=8×5,13^2-11^2=8×6$（算式答案不唯一）；任意两个奇数的平方差是8的倍数；C
【知识点】
平方差公式，因式分解，规律探究
【点评】
本题将规律探究与因式分解应用相结合，既考查了平方差公式的灵活运用能力，也锻炼了归纳推理与分类讨论的数学思维，是基础公式拓展应用的典型习题。
【难度系数】
0.7