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1.分解因式：
(1)$x^2y - y=$；
(2)$8a^2 - 2=$。
(1)$x^2y - y=$；
(2)$8a^2 - 2=$。
答案
(1) $\boldsymbol{y(x+1)(x-1)}$
(2) $\boldsymbol{2(2a+1)(2a-1)}$
(2) $\boldsymbol{2(2a+1)(2a-1)}$
解析
【分析】
分解因式的通用思路是“一提二套三查”：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步观察提取公因式后的剩余部分是否符合乘法公式的形式，若符合则套用公式继续分解，第三步检查最终的每个因式是否还能再分解，保证分解彻底。
对于第(1)题，先观察得两项都含有公因式y，先提取公因式，剩余的$x^2-1$符合平方差公式的结构，继续用公式分解即可；对于第(2)题，两项的公因式是2，先提取公因式，剩余的$4a^2-1$也符合平方差公式的结构，套用公式分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$y$，再利用平方差公式分解：
$x^2y - y = y(x^2 - 1) = y(x+1)(x-1)$
(2) 先提取公因式$2$，再利用平方差公式分解：
$8a^2 - 2 = 2(4a^2 - 1) = 2(2a+1)(2a-1)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y(x+1)(x-1)}$；(2) $\boldsymbol{2(2a+1)(2a-1)}$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考察因式分解的基本步骤，解题时要注意先提取公因式再套用公式，同时要保证分解彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.8
分解因式的通用思路是“一提二套三查”：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步观察提取公因式后的剩余部分是否符合乘法公式的形式，若符合则套用公式继续分解，第三步检查最终的每个因式是否还能再分解，保证分解彻底。
对于第(1)题，先观察得两项都含有公因式y，先提取公因式，剩余的$x^2-1$符合平方差公式的结构，继续用公式分解即可；对于第(2)题，两项的公因式是2，先提取公因式，剩余的$4a^2-1$也符合平方差公式的结构，套用公式分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$y$，再利用平方差公式分解：
$x^2y - y = y(x^2 - 1) = y(x+1)(x-1)$
(2) 先提取公因式$2$，再利用平方差公式分解：
$8a^2 - 2 = 2(4a^2 - 1) = 2(2a+1)(2a-1)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y(x+1)(x-1)}$；(2) $\boldsymbol{2(2a+1)(2a-1)}$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考察因式分解的基本步骤，解题时要注意先提取公因式再套用公式，同时要保证分解彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.8
2.已知$|x - y + 2| + \sqrt{x + y - 2} = 0$，则$x^2 - y^2$的值为。
答案
$\boldsymbol{-4}$
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和算术平方根都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，据此可求出(x-y)和(x+y)的值；再结合平方差公式，将待求式$x^2-y^2$分解为$(x-y)(x+y)$，整体代入求值即可，无需单独求解x、y的数值，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵ $|x - y + 2| ≥ 0$，$\sqrt{x + y - 2} ≥ 0$，且$|x - y + 2| + \sqrt{x + y - 2} = 0$
∴ $\begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases}$
整理得：$\begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 2 \end{cases}$
根据平方差公式可得：$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
将$x-y=-2$、$x+y=2$代入得：
原式 = $(-2) × 2 = -4$
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
非负数的性质，平方差公式，二次根式的非负性
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数的性质和因式分解的应用结合考查，解题时运用整体代入的思想可简化运算步骤，需要熟练掌握相关性质和公式的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和算术平方根都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，据此可求出(x-y)和(x+y)的值；再结合平方差公式，将待求式$x^2-y^2$分解为$(x-y)(x+y)$，整体代入求值即可，无需单独求解x、y的数值，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵ $|x - y + 2| ≥ 0$，$\sqrt{x + y - 2} ≥ 0$，且$|x - y + 2| + \sqrt{x + y - 2} = 0$
∴ $\begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases}$
整理得：$\begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 2 \end{cases}$
根据平方差公式可得：$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
将$x-y=-2$、$x+y=2$代入得：
原式 = $(-2) × 2 = -4$
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
非负数的性质，平方差公式，二次根式的非负性
【点评】
本题属于基础综合题，将非负数的性质和因式分解的应用结合考查，解题时运用整体代入的思想可简化运算步骤，需要熟练掌握相关性质和公式的应用。
【难度系数】
0.7
3.(1)$25a^2 - (\_\_\_\_\_\_) = (5a + 3b)(5a - 3b);$
(2)$(\_\_\_\_\_\_) + b^2 = (-2a + b)(b + 2a).$
(2)$(\_\_\_\_\_\_) + b^2 = (-2a + b)(b + 2a).$
答案
(1) $\boldsymbol{9b^2}$；(2) $\boldsymbol{-4a^2}$
解析
【分析】
这两道题都考查平方差公式的运用，平方差公式的结构为$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$，既可以正向用于整式乘法运算，也可以逆向用于因式分解。解题时先将等号右侧的整式乘积利用平方差公式展开，再对比等号左侧的式子，即可求出空缺的项。第(1)题先展开右侧乘积，用$25a^2$减去展开的结果就能得到空缺的减数；第(2)题先展开右侧乘积，用展开的结果减去$b^2$就能得到空缺的加项。
【解析】
(1) 先根据平方差公式计算等号右侧的式子：
$\begin{aligned}(5a+3b)(5a-3b)&=(5a)^2 - (3b)^2\\&=25a^2 - 9b^2\end{aligned}$
对比等号左侧$25a^2 - (\_\_\_\_\_\_) = 25a^2 -9b^2$，可得空缺处为$9b^2$。
(2) 先调整等号右侧式子的顺序，再用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(-2a + b)(b + 2a)&=(b - 2a)(b + 2a)\\&=b^2 - (2a)^2\\&=b^2 -4a^2\end{aligned}$
对比等号左侧$(\_\_\_\_\_\_) + b^2 = b^2 -4a^2$，可得空缺处为$-4a^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9b^2}$；(2) $\boldsymbol{-4a^2}$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算；因式分解公式法
【点评】
本题是对平方差公式的基础考查，解题关键是熟记平方差公式的结构特征，灵活正向、逆向运用公式，计算过程中注意平方运算的系数和符号不要出错。
【难度系数】
0.8
这两道题都考查平方差公式的运用，平方差公式的结构为$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$，既可以正向用于整式乘法运算，也可以逆向用于因式分解。解题时先将等号右侧的整式乘积利用平方差公式展开，再对比等号左侧的式子，即可求出空缺的项。第(1)题先展开右侧乘积，用$25a^2$减去展开的结果就能得到空缺的减数；第(2)题先展开右侧乘积，用展开的结果减去$b^2$就能得到空缺的加项。
【解析】
(1) 先根据平方差公式计算等号右侧的式子：
$\begin{aligned}(5a+3b)(5a-3b)&=(5a)^2 - (3b)^2\\&=25a^2 - 9b^2\end{aligned}$
对比等号左侧$25a^2 - (\_\_\_\_\_\_) = 25a^2 -9b^2$，可得空缺处为$9b^2$。
(2) 先调整等号右侧式子的顺序，再用平方差公式计算：
$\begin{aligned}(-2a + b)(b + 2a)&=(b - 2a)(b + 2a)\\&=b^2 - (2a)^2\\&=b^2 -4a^2\end{aligned}$
对比等号左侧$(\_\_\_\_\_\_) + b^2 = b^2 -4a^2$，可得空缺处为$-4a^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9b^2}$；(2) $\boldsymbol{-4a^2}$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算；因式分解公式法
【点评】
本题是对平方差公式的基础考查，解题关键是熟记平方差公式的结构特征，灵活正向、逆向运用公式，计算过程中注意平方运算的系数和符号不要出错。
【难度系数】
0.8
4.下列二项式中,能用平方差公式分解因式的是()
A.$x^2 + 4y^2$
B.$-4y^2 + x^2$
C.$-x^2 - 4y^2$
D.$x - 4y^2$
A.$x^2 + 4y^2$
B.$-4y^2 + x^2$
C.$-x^2 - 4y^2$
D.$x - 4y^2$
答案
B
解析
【分析】
要判断哪个二项式能用平方差公式分解因式，首先需要明确平方差公式分解因式的适用条件：平方差公式的形式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，满足两个要求：①式子是两项式，两项都可以写成某个整式的平方形式；②两项的符号相反，即一项为正、一项为负。接下来我们逐个对照选项判断即可。
【解析】
平方差公式分解因式的结构特征：两项均为平方项，且两项符号相反，可表示为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
对各选项逐一分析：
A. $x^2 + 4y^2$：两项符号均为正，不满足符号相反的要求，不能用平方差公式分解；
B. $-4y^2 + x^2$：可变形为$x^2 - (2y)^2$，符合两项是平方项、符号相反的特征，能用平方差公式分解为$(x+2y)(x-2y)$；
C. $-x^2 -4y^2$：两项符号均为负，提取负号后为$-(x^2 +4y^2)$，仍为同号平方项相加，不能用平方差公式分解；
D. $x -4y^2$：第一项$x$不是某个整式的平方形式，不满足两项均为平方项的要求，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 公式法分解因式
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的结构特征，解题的关键是熟记平方差公式分解因式的两个必备条件，准确识别项的符号和是否为平方形式即可快速判断。
【难度系数】
0.85
要判断哪个二项式能用平方差公式分解因式，首先需要明确平方差公式分解因式的适用条件：平方差公式的形式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，满足两个要求：①式子是两项式，两项都可以写成某个整式的平方形式；②两项的符号相反，即一项为正、一项为负。接下来我们逐个对照选项判断即可。
【解析】
平方差公式分解因式的结构特征：两项均为平方项，且两项符号相反，可表示为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
对各选项逐一分析：
A. $x^2 + 4y^2$：两项符号均为正，不满足符号相反的要求，不能用平方差公式分解；
B. $-4y^2 + x^2$：可变形为$x^2 - (2y)^2$，符合两项是平方项、符号相反的特征，能用平方差公式分解为$(x+2y)(x-2y)$；
C. $-x^2 -4y^2$：两项符号均为负，提取负号后为$-(x^2 +4y^2)$，仍为同号平方项相加，不能用平方差公式分解；
D. $x -4y^2$：第一项$x$不是某个整式的平方形式，不满足两项均为平方项的要求，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 公式法分解因式
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的结构特征，解题的关键是熟记平方差公式分解因式的两个必备条件，准确识别项的符号和是否为平方形式即可快速判断。
【难度系数】
0.85
5.分解因式 $xy^2 - 4x$ 结果正确的是()
A.$x(y^2 -4)$
B.$x(y-2)^2$
C.$x(y+4)(y-4)$
D.$x(y+2)(y-2)$
A.$x(y^2 -4)$
B.$x(y-2)^2$
C.$x(y+4)(y-4)$
D.$x(y+2)(y-2)$
答案
D
解析
【分析】
分解因式需遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先观察多项式有没有公因式，本题两项都含公因式x，优先提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的式子是否符合乘法公式特征，剩余的$y^2-4$是两个数的平方差结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可继续分解；最后检查是否分解到不能再分解为止，对应选项判断正误即可。
【解析】
对$xy^2 - 4x$分解因式步骤如下：
1. 提取公因式$x$：
$xy^2 - 4x = x(y^2 - 4)$
2. 对括号内的$y^2-4$套用平方差公式分解，其中$y^2-4=y^2-2^2$，因此：
$y^2-4=(y+2)(y-2)$
3. 整合结果得：$xy^2 - 4x = x(y+2)(y-2)$。
其余选项错误分析：
A选项：$y^2-4$可继续分解，分解不彻底，错误；
B选项：$y^2-4$无一次项，不符合完全平方公式的结构，错误；
C选项：误将4当作$4^2$，平方差公式套用错误，错误。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解原则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的常规步骤和平方差公式的应用，解题时要注意区分平方差公式和完全平方公式的结构差异，同时要确认最终结果分解彻底，没有可继续分解的因式。
【难度系数】
0.8
分解因式需遵循“一提二套三查”的步骤思考：第一步先观察多项式有没有公因式，本题两项都含公因式x，优先提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的式子是否符合乘法公式特征，剩余的$y^2-4$是两个数的平方差结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可继续分解；最后检查是否分解到不能再分解为止，对应选项判断正误即可。
【解析】
对$xy^2 - 4x$分解因式步骤如下：
1. 提取公因式$x$：
$xy^2 - 4x = x(y^2 - 4)$
2. 对括号内的$y^2-4$套用平方差公式分解，其中$y^2-4=y^2-2^2$，因此：
$y^2-4=(y+2)(y-2)$
3. 整合结果得：$xy^2 - 4x = x(y+2)(y-2)$。
其余选项错误分析：
A选项：$y^2-4$可继续分解，分解不彻底，错误；
B选项：$y^2-4$无一次项，不符合完全平方公式的结构，错误；
C选项：误将4当作$4^2$，平方差公式套用错误，错误。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解原则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的常规步骤和平方差公式的应用，解题时要注意区分平方差公式和完全平方公式的结构差异，同时要确认最终结果分解彻底，没有可继续分解的因式。
【难度系数】
0.8
6.已知$a,b,c$是三角形的三边长，那么代数式$(a-b)^2 - c^2$的值（）
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
首先观察代数式的结构，$(a-b)^2$和$c^2$都是平方项，且符号相反，符合平方差公式的特征，因此第一步考虑用平方差公式对代数式进行因式分解，得到两个一次式的乘积；再结合三角形三边关系，分别判断两个一次式的正负性，最终根据乘法符号法则，就能确定整个代数式的值的正负情况。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式：
$(a-b)^2 - c^2=(a - b + c)(a - b - c)$
因为$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系：
1. 三角形任意两边之和大于第三边，可得$a + c ＞ b$，移项得$a - b + c ＞ 0$；
2. 三角形任意两边之差小于第三边，可得$a - b ＜ c$，移项得$a - b - c ＜ 0$。
根据“异号两数相乘得负”，可得$(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$，即代数式$(a-b)^2 - c^2$的值小于零。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解；三角形三边关系
【点评】
本题将因式分解与三角形的性质结合考查，解题的关键是先识别代数式的平方差结构，正确因式分解后结合三边关系判断因式的符号，是因式分解应用的典型基础题。
【难度系数】
0.75
首先观察代数式的结构，$(a-b)^2$和$c^2$都是平方项，且符号相反，符合平方差公式的特征，因此第一步考虑用平方差公式对代数式进行因式分解，得到两个一次式的乘积；再结合三角形三边关系，分别判断两个一次式的正负性，最终根据乘法符号法则，就能确定整个代数式的值的正负情况。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式：
$(a-b)^2 - c^2=(a - b + c)(a - b - c)$
因为$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系：
1. 三角形任意两边之和大于第三边，可得$a + c ＞ b$，移项得$a - b + c ＞ 0$；
2. 三角形任意两边之差小于第三边，可得$a - b ＜ c$，移项得$a - b - c ＜ 0$。
根据“异号两数相乘得负”，可得$(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$，即代数式$(a-b)^2 - c^2$的值小于零。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解；三角形三边关系
【点评】
本题将因式分解与三角形的性质结合考查，解题的关键是先识别代数式的平方差结构，正确因式分解后结合三边关系判断因式的符号，是因式分解应用的典型基础题。
【难度系数】
0.75
7.在实数范围内对多项式$3x^2y -6y$分解因式正确的是()
A.$3y(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
B.$3y(x^2 -2)$
C.$y(3x^2 -6)$
D.$-3y(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
A.$3y(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
B.$3y(x^2 -2)$
C.$y(3x^2 -6)$
D.$-3y(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
答案
A
解析
【分析】
解决这道因式分解题，首先要明确因式分解的基本步骤：先提取公因式，再套用公式分解，且题目要求在实数范围内分解，需分解到不能再分解为止。第一步先找多项式的公因式，提取后观察剩余整式的形式，判断能否用平方差公式继续分解，最后核对选项排除错误答案即可。
【解析】
第一步：提取公因式
观察多项式$3x^2y -6y$，两项都含有公因式$3y$，提取公因式后可得：
$3x^2y -6y = 3y(x^2 - 2)$
第二步：在实数范围内继续分解
因为是实数范围分解，$2$可写为$(\sqrt{2})^2$，此时$x^2 - 2$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，因此：
$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
第三步：合并结果并辨析选项
原式最终分解结果为$3y(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$，对应选项A正确。
其他选项错误原因：B选项分解不彻底，$x^2-2$可继续分解；C选项公因式提取不全且分解不彻底；D选项符号错误，原式没有负号。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解规则
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意遵循“先提公因式、再套公式、最后检查彻底性”的流程，同时要关注题目指定的分解范围，避免出现分解不彻底、公因式提取不全、符号写错等常见错误。
【难度系数】
0.7
解决这道因式分解题，首先要明确因式分解的基本步骤：先提取公因式，再套用公式分解，且题目要求在实数范围内分解，需分解到不能再分解为止。第一步先找多项式的公因式，提取后观察剩余整式的形式，判断能否用平方差公式继续分解，最后核对选项排除错误答案即可。
【解析】
第一步：提取公因式
观察多项式$3x^2y -6y$，两项都含有公因式$3y$，提取公因式后可得：
$3x^2y -6y = 3y(x^2 - 2)$
第二步：在实数范围内继续分解
因为是实数范围分解，$2$可写为$(\sqrt{2})^2$，此时$x^2 - 2$符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，因此：
$x^2 - 2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$
第三步：合并结果并辨析选项
原式最终分解结果为$3y(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$，对应选项A正确。
其他选项错误原因：B选项分解不彻底，$x^2-2$可继续分解；C选项公因式提取不全且分解不彻底；D选项符号错误，原式没有负号。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解规则
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时要注意遵循“先提公因式、再套公式、最后检查彻底性”的流程，同时要关注题目指定的分解范围，避免出现分解不彻底、公因式提取不全、符号写错等常见错误。
【难度系数】
0.7
8. 小林是一位军事密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:“$x-1,a-b,3,x^2+1,a,x+1$分别对应下列六个字:教,育,国,我,爱,防.”现将$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)$因式分解,结果呈现的密码信息可能是()
A.我爱教
B.国防教育
C.爱国防
D.我爱国防
A.我爱教
B.国防教育
C.爱国防
D.我爱国防
答案
B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先对给出的多项式进行因式分解，遵循因式分解的常规顺序：先提取公因式，再判断剩余部分能否用公式法继续分解，直到不能分解为止；其次将分解得到的每个因式对应题干给出的汉字信息；最后将汉字组合匹配选项即可。观察多项式$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)$，两项含公因式$3(x^2-1)$，提取后剩余的$x^2-1$可利用平方差公式继续分解，再对应汉字即可得到结果。
【解析】
解：对$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)$进行因式分解：
1. 提取公因式$3(x^2-1)$，可得：
$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)=3(x^2-1)(a-b)$
2. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，对$x^2-1$继续分解：
$3(x^2-1)(a-b)=3(x-1)(x+1)(a-b)$
3. 对应题干信息：$3$对应“国”，$x-1$对应“教”，$x+1$对应“防”，$a-b$对应“育”，四个汉字组合为“国防教育”。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，因式分解的应用
【点评】
本题结合趣味密码背景考查因式分解的实际应用，解题核心是熟练掌握因式分解的步骤，注意分解要彻底，再准确对应汉字信息即可，整体出题形式灵活，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先对给出的多项式进行因式分解，遵循因式分解的常规顺序：先提取公因式，再判断剩余部分能否用公式法继续分解，直到不能分解为止；其次将分解得到的每个因式对应题干给出的汉字信息；最后将汉字组合匹配选项即可。观察多项式$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)$，两项含公因式$3(x^2-1)$，提取后剩余的$x^2-1$可利用平方差公式继续分解，再对应汉字即可得到结果。
【解析】
解：对$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)$进行因式分解：
1. 提取公因式$3(x^2-1)$，可得：
$3a(x^2-1)-3b(x^2-1)=3(x^2-1)(a-b)$
2. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，对$x^2-1$继续分解：
$3(x^2-1)(a-b)=3(x-1)(x+1)(a-b)$
3. 对应题干信息：$3$对应“国”，$x-1$对应“教”，$x+1$对应“防”，$a-b$对应“育”，四个汉字组合为“国防教育”。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，因式分解的应用
【点评】
本题结合趣味密码背景考查因式分解的实际应用，解题核心是熟练掌握因式分解的步骤，注意分解要彻底，再准确对应汉字信息即可，整体出题形式灵活，难度不大。
【难度系数】
0.7
9.若k为任意整数，则$(2k+3)^2 -4k^2$的值总能
（）
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
（）
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
答案
B
解析
【分析】
观察题目给出的整式，可发现$(2k+3)^2 -4k^2$是两个平方项相减的结构，符合平方差公式的特征。解题思路为先对整式进行化简：既可以用平方差公式因式分解，也可以直接展开合并同类项，得到最简结果后观察其中含有的固定因数，即可判断原式总能被哪个整数整除。
【解析】
解：对原式进行化简：
方法一：利用平方差公式因式分解
$\because 4k^2=(2k)^2$
$\therefore$ 原式$=(2k+3)^2 - (2k)^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=2k+3$，$b=2k$得：
$\begin{aligned}原式&=(2k+3 - 2k)(2k+3 + 2k)\\&=3×(4k+3)\end{aligned}$
$\because k$是整数，$\therefore 4k+3$也是整数，即$3(4k+3)$是3的整数倍，因此原式总能被3整除。
方法二：直接展开合并同类项
$\begin{aligned}原式&=(4k^2 + 12k +9) - 4k^2\\&=12k +9\\&=3(4k+3)\end{aligned}$
同理可得原式是3的整数倍，总能被3整除。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式化简，整除判定
【点评】
本题考查整式运算和因式分解的应用，解题核心是通过化简将原式变形为含固定因数的整式乘积形式，即可快速判断整除性，熟练掌握乘法公式能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
观察题目给出的整式，可发现$(2k+3)^2 -4k^2$是两个平方项相减的结构，符合平方差公式的特征。解题思路为先对整式进行化简：既可以用平方差公式因式分解，也可以直接展开合并同类项，得到最简结果后观察其中含有的固定因数，即可判断原式总能被哪个整数整除。
【解析】
解：对原式进行化简：
方法一：利用平方差公式因式分解
$\because 4k^2=(2k)^2$
$\therefore$ 原式$=(2k+3)^2 - (2k)^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=2k+3$，$b=2k$得：
$\begin{aligned}原式&=(2k+3 - 2k)(2k+3 + 2k)\\&=3×(4k+3)\end{aligned}$
$\because k$是整数，$\therefore 4k+3$也是整数，即$3(4k+3)$是3的整数倍，因此原式总能被3整除。
方法二：直接展开合并同类项
$\begin{aligned}原式&=(4k^2 + 12k +9) - 4k^2\\&=12k +9\\&=3(4k+3)\end{aligned}$
同理可得原式是3的整数倍，总能被3整除。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式化简，整除判定
【点评】
本题考查整式运算和因式分解的应用，解题核心是通过化简将原式变形为含固定因数的整式乘积形式，即可快速判断整除性，熟练掌握乘法公式能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
10.分解因式：
(1)$16x^2y^2 - 1$；
(2)$-25x^2 + 49y^2$；
(3)$a^2 - \frac{1}{25}b^2$；
(4)$-x^4 + x^2y^2$；
(5)$m^2(x - y) + n^2(y - x)$；
(6)$a^2 - b^2 + 3a - 3b$。
(1)$16x^2y^2 - 1$；
(2)$-25x^2 + 49y^2$；
(3)$a^2 - \frac{1}{25}b^2$；
(4)$-x^4 + x^2y^2$；
(5)$m^2(x - y) + n^2(y - x)$；
(6)$a^2 - b^2 + 3a - 3b$。
答案
解：
(1) 原式$=(4xy)^2 - 1^2$
$=(4xy + 1)(4xy - 1)$
(2) 原式$=49y^2 - 25x^2$
$=(7y)^2 - (5x)^2$
$=(7y + 5x)(7y - 5x)$
(3) 原式$=a^2 - (\frac{1}{5}b)^2$
$=(a + \frac{1}{5}b)(a - \frac{1}{5}b)$
(4) 原式$=x^2y^2 - x^4$
$=x^2(y^2 - x^2)$
$=x^2(x + y)(y - x)$
(5) 原式$=m^2(x - y) - n^2(x - y)$
$=(x - y)(m^2 - n^2)$
$=(x - y)(m + n)(m - n)$
(6) 原式$=(a^2 - b^2) + 3(a - b)$
$=(a + b)(a - b) + 3(a - b)$
$=(a - b)(a + b + 3)$
(1) 原式$=(4xy)^2 - 1^2$
$=(4xy + 1)(4xy - 1)$
(2) 原式$=49y^2 - 25x^2$
$=(7y)^2 - (5x)^2$
$=(7y + 5x)(7y - 5x)$
(3) 原式$=a^2 - (\frac{1}{5}b)^2$
$=(a + \frac{1}{5}b)(a - \frac{1}{5}b)$
(4) 原式$=x^2y^2 - x^4$
$=x^2(y^2 - x^2)$
$=x^2(x + y)(y - x)$
(5) 原式$=m^2(x - y) - n^2(x - y)$
$=(x - y)(m^2 - n^2)$
$=(x - y)(m + n)(m - n)$
(6) 原式$=(a^2 - b^2) + 3(a - b)$
$=(a + b)(a - b) + 3(a - b)$
$=(a - b)(a + b + 3)$
解析
【分析】
这几道因式分解题核心运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，解题遵循因式分解的通用步骤：①先观察式子是否有公因式，有公因式优先提取；②再判断剩余部分是否符合“两项、异号、均为平方形式”的平方差公式特征，不符合则先做变形调整，比如交换项的顺序、改写平方项、统一因式符号；③分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。对于第(6)题这类四项式，可先合理分组，分组后先单独分解每组，再提取公因式完成整体分解。
【解析】
(1) 原式$=(4xy)^2 - 1^2$
$=(4xy + 1)(4xy - 1)$
(2) 原式$=49y^2 - 25x^2$
$=(7y)^2 - (5x)^2$
$=(7y + 5x)(7y - 5x)$
(3) 原式$=a^2 - (\frac{1}{5}b)^2$
$=(a + \frac{1}{5}b)(a - \frac{1}{5}b)$
(4) 原式$=x^2y^2 - x^4$
$=x^2(y^2 - x^2)$
$=x^2(x + y)(y - x)$
(5) 原式$=m^2(x - y) - n^2(x - y)$
$=(x - y)(m^2 - n^2)$
$=(x - y)(m + n)(m - n)$
(6) 原式$=(a^2 - b^2) + 3(a - b)$
$=(a + b)(a - b) + 3(a - b)$
$=(a - b)(a + b + 3)$
【答案】
(1)$(4xy+1)(4xy-1)$
(2)$(7y+5x)(7y-5x)$
(3)$(a+\frac{1}{5}b)(a-\frac{1}{5}b)$
(4)$x^2(y+x)(y-x)$
(5)$(x-y)(m+n)(m-n)$
(6)$(a-b)(a+b+3)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，分组分解法
【点评】
本组是因式分解的基础训练题，解题时要先判断式子特征，按“先提公因式、再套公式”的顺序操作，注意要分解到每个因式都不能再分解为止，涉及符号变形或分组的题目要细心处理符号，合理分组保证后续可继续分解。
【难度系数】
0.75
这几道因式分解题核心运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，解题遵循因式分解的通用步骤：①先观察式子是否有公因式，有公因式优先提取；②再判断剩余部分是否符合“两项、异号、均为平方形式”的平方差公式特征，不符合则先做变形调整，比如交换项的顺序、改写平方项、统一因式符号；③分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。对于第(6)题这类四项式，可先合理分组，分组后先单独分解每组，再提取公因式完成整体分解。
【解析】
(1) 原式$=(4xy)^2 - 1^2$
$=(4xy + 1)(4xy - 1)$
(2) 原式$=49y^2 - 25x^2$
$=(7y)^2 - (5x)^2$
$=(7y + 5x)(7y - 5x)$
(3) 原式$=a^2 - (\frac{1}{5}b)^2$
$=(a + \frac{1}{5}b)(a - \frac{1}{5}b)$
(4) 原式$=x^2y^2 - x^4$
$=x^2(y^2 - x^2)$
$=x^2(x + y)(y - x)$
(5) 原式$=m^2(x - y) - n^2(x - y)$
$=(x - y)(m^2 - n^2)$
$=(x - y)(m + n)(m - n)$
(6) 原式$=(a^2 - b^2) + 3(a - b)$
$=(a + b)(a - b) + 3(a - b)$
$=(a - b)(a + b + 3)$
【答案】
(1)$(4xy+1)(4xy-1)$
(2)$(7y+5x)(7y-5x)$
(3)$(a+\frac{1}{5}b)(a-\frac{1}{5}b)$
(4)$x^2(y+x)(y-x)$
(5)$(x-y)(m+n)(m-n)$
(6)$(a-b)(a+b+3)$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，分组分解法
【点评】
本组是因式分解的基础训练题，解题时要先判断式子特征，按“先提公因式、再套公式”的顺序操作，注意要分解到每个因式都不能再分解为止，涉及符号变形或分组的题目要细心处理符号，合理分组保证后续可继续分解。
【难度系数】
0.75
