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11.在实数范围内分解因式:$9a^{4}-4b^{4}.$
丽华的解法如下:
解:原式$=(3a^{2}+2b^{2})(3a^{2}-2b^{2}).$
请问丽华分解因式的结果正确吗？如果不正确,把正确的解题过程和结果写出来.
丽华的解法如下:
解:原式$=(3a^{2}+2b^{2})(3a^{2}-2b^{2}).$
请问丽华分解因式的结果正确吗？如果不正确,把正确的解题过程和结果写出来.
答案
解：丽华分解因式的结果不正确。
正确解题过程如下：
原式$=(3a^2)^2 - (2b^2)^2$
$=(3a^2 + 2b^2)(3a^2 - 2b^2)$
$=(3a^2 + 2b^2)[(\sqrt{3}a)^2 - (\sqrt{2}b)^2]$
$=(3a^2 + 2b^2)(\sqrt{3}a + \sqrt{2}b)(\sqrt{3}a - \sqrt{2}b)$
正确解题过程如下：
原式$=(3a^2)^2 - (2b^2)^2$
$=(3a^2 + 2b^2)(3a^2 - 2b^2)$
$=(3a^2 + 2b^2)[(\sqrt{3}a)^2 - (\sqrt{2}b)^2]$
$=(3a^2 + 2b^2)(\sqrt{3}a + \sqrt{2}b)(\sqrt{3}a - \sqrt{2}b)$
解析
【分析】
要判断因式分解的结果是否正确，首先需明确：实数范围内分解因式要求分解到每个因式都不能再分解为止。丽华的解法仅完成了有理数范围内的分解，得到的因式$3a^2-2b^2$在实数范围内仍可继续分解。解题思路为：先将原式转化为平方差的形式，第一次运用平方差公式分解后，判断各因式的可分解性，$3a^2+2b^2$是平方和，在实数范围内无法分解，而$3a^2-2b^2$可改写为$(\sqrt{3}a)^2-(\sqrt{2}b)^2$，再次利用平方差公式分解即可得到最终结果。
【解析】
丽华分解因式的结果不正确。
正确解题过程如下：
原式$=(3a^2)^2 - (2b^2)^2$
$=(3a^2 + 2b^2)(3a^2 - 2b^2)$
$=(3a^2 + 2b^2)[(\sqrt{3}a)^2 - (\sqrt{2}b)^2]$
$=(3a^2 + 2b^2)(\sqrt{3}a + \sqrt{2}b)(\sqrt{3}a - \sqrt{2}b)$
【答案】
丽华的结果不正确，正确分解结果为$\boxed{(3a^2 + 2b^2)(\sqrt{3}a + \sqrt{2}b)(\sqrt{3}a - \sqrt{2}b)}$
【知识点】
平方差公式分解因式，实数范围内因式分解规则
【点评】
本题重点考查因式分解的彻底性，解题时要注意看清题目限定的分解范围，有理数范围内分解只需分解到整数系数的不可再分因式即可，实数范围内则可将正系数的二次式继续分解为含根号的一次式乘积，同时注意平方和形式的因式在实数范围内无法分解，不要进行错误拆分。
【难度系数】
0.7
要判断因式分解的结果是否正确，首先需明确：实数范围内分解因式要求分解到每个因式都不能再分解为止。丽华的解法仅完成了有理数范围内的分解，得到的因式$3a^2-2b^2$在实数范围内仍可继续分解。解题思路为：先将原式转化为平方差的形式，第一次运用平方差公式分解后，判断各因式的可分解性，$3a^2+2b^2$是平方和，在实数范围内无法分解，而$3a^2-2b^2$可改写为$(\sqrt{3}a)^2-(\sqrt{2}b)^2$，再次利用平方差公式分解即可得到最终结果。
【解析】
丽华分解因式的结果不正确。
正确解题过程如下：
原式$=(3a^2)^2 - (2b^2)^2$
$=(3a^2 + 2b^2)(3a^2 - 2b^2)$
$=(3a^2 + 2b^2)[(\sqrt{3}a)^2 - (\sqrt{2}b)^2]$
$=(3a^2 + 2b^2)(\sqrt{3}a + \sqrt{2}b)(\sqrt{3}a - \sqrt{2}b)$
【答案】
丽华的结果不正确，正确分解结果为$\boxed{(3a^2 + 2b^2)(\sqrt{3}a + \sqrt{2}b)(\sqrt{3}a - \sqrt{2}b)}$
【知识点】
平方差公式分解因式，实数范围内因式分解规则
【点评】
本题重点考查因式分解的彻底性，解题时要注意看清题目限定的分解范围，有理数范围内分解只需分解到整数系数的不可再分因式即可，实数范围内则可将正系数的二次式继续分解为含根号的一次式乘积，同时注意平方和形式的因式在实数范围内无法分解，不要进行错误拆分。
【难度系数】
0.7
12.观察下列等式,解答问题.
①$9-1=8$;②$16-4=12$;③$25-9=16$;
④$36-16=20$;…
(1)写出第5个等式: ;
(2)写出第$n(n≥1)$个等式: ;
(3)验证(2)的结论.
①$9-1=8$;②$16-4=12$;③$25-9=16$;
④$36-16=20$;…
(1)写出第5个等式: ;
(2)写出第$n(n≥1)$个等式: ;
(3)验证(2)的结论.
答案
解：
(1) $49 - 25 = 24$
(2) $(n+2)^2 - n^2 = 4(n+1)$
(3) 验证：
利用平方差公式对等式左边分解因式：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(n+2)^2 - n^2\\&=(n+2+n)(n+2-n)\\&=(2n+2)× 2\\&=4n+4\end{aligned}$
$\mathrm{右边}=4(n+1)=4n+4$
可得左边=右边，因此$(n+2)^2 - n^2 = 4(n+1)$成立。
(1) $49 - 25 = 24$
(2) $(n+2)^2 - n^2 = 4(n+1)$
(3) 验证：
利用平方差公式对等式左边分解因式：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(n+2)^2 - n^2\\&=(n+2+n)(n+2-n)\\&=(2n+2)× 2\\&=4n+4\end{aligned}$
$\mathrm{右边}=4(n+1)=4n+4$
可得左边=右边，因此$(n+2)^2 - n^2 = 4(n+1)$成立。
解析
【分析】
解题时先观察已知等式的结构，分别梳理等式各部分与序号的对应规律：
1. 观察被减数：第1个为$3^2$、第2个为$4^2$、第3个为$5^2$……可得第k个等式的被减数是$(k+2)^2$；
2. 观察减数：第1个为$1^2$、第2个为$2^2$、第3个为$3^2$……可得第k个等式的减数是$k^2$；
3. 观察结果：第1个为$4×2$、第2个为$4×3$、第3个为$4×4$……可得第k个等式的结果是$4(k+1)$。
结合规律即可写出对应等式，再用平方差公式展开第n个等式的左边，与右边对比即可验证结论。
【解析】
(1) 第5个等式对应序号$n=5$，代入规律得：被减数=$(5+2)^2=49$，减数=$5^2=25$，结果=$4×(5+1)=24$，即$49 - 25 = 24$；
(2) 结合上述规律，第$n(n≥1)$个等式为$(n+2)^2 - n^2 = 4(n+1)$；
(3) 验证：
利用平方差公式化简等式左边：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(n+2)^2 - n^2\\&=(n+2+n)(n+2-n)\\&=(2n+2)× 2\\&=4n+4\end{aligned}$
化简等式右边：$\mathrm{右边}=4(n+1)=4n+4$
可得左边=右边，因此结论成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{49 - 25 = 24}$
(2) $\boldsymbol{(n+2)^2 - n^2 = 4(n+1)}$
(3) 经验证，结论成立。
【知识点】
数字规律探究，平方差公式，整式化简
【点评】
本题是规律探究与因式分解结合的基础题型，既考查从特殊示例中归纳普遍规律的能力，又考查平方差公式的灵活运用，要求学生能通过整式运算验证归纳出的规律，对基础逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知等式的结构，分别梳理等式各部分与序号的对应规律：
1. 观察被减数：第1个为$3^2$、第2个为$4^2$、第3个为$5^2$……可得第k个等式的被减数是$(k+2)^2$；
2. 观察减数：第1个为$1^2$、第2个为$2^2$、第3个为$3^2$……可得第k个等式的减数是$k^2$；
3. 观察结果：第1个为$4×2$、第2个为$4×3$、第3个为$4×4$……可得第k个等式的结果是$4(k+1)$。
结合规律即可写出对应等式，再用平方差公式展开第n个等式的左边，与右边对比即可验证结论。
【解析】
(1) 第5个等式对应序号$n=5$，代入规律得：被减数=$(5+2)^2=49$，减数=$5^2=25$，结果=$4×(5+1)=24$，即$49 - 25 = 24$；
(2) 结合上述规律，第$n(n≥1)$个等式为$(n+2)^2 - n^2 = 4(n+1)$；
(3) 验证：
利用平方差公式化简等式左边：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(n+2)^2 - n^2\\&=(n+2+n)(n+2-n)\\&=(2n+2)× 2\\&=4n+4\end{aligned}$
化简等式右边：$\mathrm{右边}=4(n+1)=4n+4$
可得左边=右边，因此结论成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{49 - 25 = 24}$
(2) $\boldsymbol{(n+2)^2 - n^2 = 4(n+1)}$
(3) 经验证，结论成立。
【知识点】
数字规律探究，平方差公式，整式化简
【点评】
本题是规律探究与因式分解结合的基础题型，既考查从特殊示例中归纳普遍规律的能力，又考查平方差公式的灵活运用，要求学生能通过整式运算验证归纳出的规律，对基础逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
13.阅读与思考：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式.通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，从而达到降次化简的目的.这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题.
例如方程$2x^2 + 3x = 0$可以这样来解：
解：原方程可化为$x(2x + 3) = 0$，
因为$x$与$2x + 3$的乘积为0，
所以$x = 0$或$2x + 3 = 0$，
解方程$2x + 3 = 0$，得$x = -\dfrac{3}{2}$.
∴原方程的解为$x = 0$或$x = -\dfrac{3}{2}$.
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
(1)解方程：$3x^2 - x = 0$；
(2)解方程：$(x + 3)^2 - 4x^2 = 0$；
(3)已知$△ ABC$的三边长为4，$x$，$y$，请你判断式子$(y - 4)^2 - x^2$的值的符号.
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式.通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，从而达到降次化简的目的.这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题.
例如方程$2x^2 + 3x = 0$可以这样来解：
解：原方程可化为$x(2x + 3) = 0$，
因为$x$与$2x + 3$的乘积为0，
所以$x = 0$或$2x + 3 = 0$，
解方程$2x + 3 = 0$，得$x = -\dfrac{3}{2}$.
∴原方程的解为$x = 0$或$x = -\dfrac{3}{2}$.
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
(1)解方程：$3x^2 - x = 0$；
(2)解方程：$(x + 3)^2 - 4x^2 = 0$；
(3)已知$△ ABC$的三边长为4，$x$，$y$，请你判断式子$(y - 4)^2 - x^2$的值的符号.
答案
解：
(1) 原方程可化为$x(3x - 1) = 0$，
所以$x = 0$或$3x - 1 = 0$，
解方程$3x - 1 = 0$，得$x = \dfrac{1}{3}$，
∴原方程的解为$x = 0$或$x = \dfrac{1}{3}$。
(2) 原方程可化为$(x + 3 + 2x)(x + 3 - 2x) = 0$，
即$(3x + 3)(-x + 3) = 0$，
所以$3x + 3 = 0$或$-x + 3 = 0$，
解方程$3x + 3 = 0$，得$x = -1$，
解方程$-x + 3 = 0$，得$x = 3$，
∴原方程的解为$x = -1$或$x = 3$。
(3) 对式子因式分解：
$(y - 4)^2 - x^2 = (y - 4 + x)(y - 4 - x) = (x + y - 4)[y - (x + 4)]$
∵$△ ABC$的三边长为$4$，$x$，$y$，
∴根据三角形三边关系，$x + y ＞ 4$，$y ＜ x + 4$，
∴$x + y - 4 ＞ 0$，$y - (x + 4) ＜ 0$，
∴$(x + y - 4)[y - (x + 4)] ＜ 0$，
即式子$(y - 4)^2 - x^2$的值的符号为负。
(1) 原方程可化为$x(3x - 1) = 0$，
所以$x = 0$或$3x - 1 = 0$，
解方程$3x - 1 = 0$，得$x = \dfrac{1}{3}$，
∴原方程的解为$x = 0$或$x = \dfrac{1}{3}$。
(2) 原方程可化为$(x + 3 + 2x)(x + 3 - 2x) = 0$，
即$(3x + 3)(-x + 3) = 0$，
所以$3x + 3 = 0$或$-x + 3 = 0$，
解方程$3x + 3 = 0$，得$x = -1$，
解方程$-x + 3 = 0$，得$x = 3$，
∴原方程的解为$x = -1$或$x = 3$。
(3) 对式子因式分解：
$(y - 4)^2 - x^2 = (y - 4 + x)(y - 4 - x) = (x + y - 4)[y - (x + 4)]$
∵$△ ABC$的三边长为$4$，$x$，$y$，
∴根据三角形三边关系，$x + y ＞ 4$，$y ＜ x + 4$，
∴$x + y - 4 ＞ 0$，$y - (x + 4) ＜ 0$，
∴$(x + y - 4)[y - (x + 4)] ＜ 0$，
即式子$(y - 4)^2 - x^2$的值的符号为负。
解析
【分析】
本题围绕因式分解的应用展开，解题思路如下：
（1）解第一问方程时，先对左边多项式提取公因式$x$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的结论，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解；
（2）第二问方程左边是平方差的结构，利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解，同样转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别解一元一次方程得到结果；
（3）第三问先对代数式用平方差公式因式分解，再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断分解后两个因式的正负性，根据有理数乘法符号法则即可得到原式的符号。
【解析】
(1) 原方程可化为$x(3x - 1) = 0$，
所以$x = 0$或$3x - 1 = 0$，
解方程$3x - 1 = 0$，得$x = \dfrac{1}{3}$，
∴原方程的解为$x = 0$或$x = \dfrac{1}{3}$。
(2) 原方程可化为$(x + 3 + 2x)(x + 3 - 2x) = 0$，
即$(3x + 3)(-x + 3) = 0$，
所以$3x + 3 = 0$或$-x + 3 = 0$，
解方程$3x + 3 = 0$，得$x = -1$，
解方程$-x + 3 = 0$，得$x = 3$，
∴原方程的解为$x = -1$或$x = 3$。
(3) 对式子因式分解：
$(y - 4)^2 - x^2 = (y - 4 + x)(y - 4 - x) = (x + y - 4)[y - (x + 4)]$
∵$△ ABC$的三边长为$4$，$x$，$y$，
∴根据三角形三边关系，$x + y ＞ 4$，$y ＜ x + 4$，
∴$x + y - 4 ＞ 0$，$y - (x + 4) ＜ 0$，
∴$(x + y - 4)[y - (x + 4)] ＜ 0$，
即式子$(y - 4)^2 - x^2$的值的符号为负。
【答案】
(1) $x = 0$或$x = \dfrac{1}{3}$；
(2) $x = -1$或$x = 3$；
(3) 负号（或值为负）
【知识点】
因式分解的应用，因式分解法解方程，三角形三边关系
【点评】
本题考查因式分解在代数、几何场景中的应用，需要熟练掌握提取公因式、平方差公式的因式分解方法，同时能结合方程性质、三角形三边关系解决对应问题，体现了因式分解降次化简的核心作用。
【难度系数】
0.7
本题围绕因式分解的应用展开，解题思路如下：
（1）解第一问方程时，先对左边多项式提取公因式$x$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”的结论，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解；
（2）第二问方程左边是平方差的结构，利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解，同样转化为两个一次因式乘积为0的形式，再分别解一元一次方程得到结果；
（3）第三问先对代数式用平方差公式因式分解，再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断分解后两个因式的正负性，根据有理数乘法符号法则即可得到原式的符号。
【解析】
(1) 原方程可化为$x(3x - 1) = 0$，
所以$x = 0$或$3x - 1 = 0$，
解方程$3x - 1 = 0$，得$x = \dfrac{1}{3}$，
∴原方程的解为$x = 0$或$x = \dfrac{1}{3}$。
(2) 原方程可化为$(x + 3 + 2x)(x + 3 - 2x) = 0$，
即$(3x + 3)(-x + 3) = 0$，
所以$3x + 3 = 0$或$-x + 3 = 0$，
解方程$3x + 3 = 0$，得$x = -1$，
解方程$-x + 3 = 0$，得$x = 3$，
∴原方程的解为$x = -1$或$x = 3$。
(3) 对式子因式分解：
$(y - 4)^2 - x^2 = (y - 4 + x)(y - 4 - x) = (x + y - 4)[y - (x + 4)]$
∵$△ ABC$的三边长为$4$，$x$，$y$，
∴根据三角形三边关系，$x + y ＞ 4$，$y ＜ x + 4$，
∴$x + y - 4 ＞ 0$，$y - (x + 4) ＜ 0$，
∴$(x + y - 4)[y - (x + 4)] ＜ 0$，
即式子$(y - 4)^2 - x^2$的值的符号为负。
【答案】
(1) $x = 0$或$x = \dfrac{1}{3}$；
(2) $x = -1$或$x = 3$；
(3) 负号（或值为负）
【知识点】
因式分解的应用，因式分解法解方程，三角形三边关系
【点评】
本题考查因式分解在代数、几何场景中的应用，需要熟练掌握提取公因式、平方差公式的因式分解方法，同时能结合方程性质、三角形三边关系解决对应问题，体现了因式分解降次化简的核心作用。
【难度系数】
0.7
