登录
10.分解因式：
(1)$21xy -14xz +35x^2$；
(2)$(2a+b)(3a-2b)-4a(2a+b)$；
(3)$a^2(x-2a)^2 -a(2a-x)^2$；
(4)$(a-b)^2(m+n)-(-m-n)(b-a)$。
(1)$21xy -14xz +35x^2$；
(2)$(2a+b)(3a-2b)-4a(2a+b)$；
(3)$a^2(x-2a)^2 -a(2a-x)^2$；
(4)$(a-b)^2(m+n)-(-m-n)(b-a)$。
答案
解：
(1) 原式$=7x· 3y -7x· 2z +7x· 5x$
$=7x(3y - 2z + 5x)$
(2) 原式$=(2a+b)[(3a-2b)-4a]$
$=(2a+b)(-a -2b)$
$=-(2a+b)(a+2b)$
(3) 原式$=a^2(x-2a)^2 -a(x-2a)^2$
$=a(x-2a)^2(a-1)$
(4) 原式$=(a-b)^2(m+n)-(m+n)(b-a)$
$=(a-b)^2(m+n)+(m+n)(a-b)$
$=(m+n)(a-b)[(a-b)-1]$
$=(m+n)(a-b)(a-b-1)$
(1) 原式$=7x· 3y -7x· 2z +7x· 5x$
$=7x(3y - 2z + 5x)$
(2) 原式$=(2a+b)[(3a-2b)-4a]$
$=(2a+b)(-a -2b)$
$=-(2a+b)(a+2b)$
(3) 原式$=a^2(x-2a)^2 -a(x-2a)^2$
$=a(x-2a)^2(a-1)$
(4) 原式$=(a-b)^2(m+n)-(m+n)(b-a)$
$=(a-b)^2(m+n)+(m+n)(a-b)$
$=(m+n)(a-b)[(a-b)-1]$
$=(m+n)(a-b)(a-b-1)$
解析
【分析】
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题遵循提公因式法的通用步骤：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式（单项式或多项式）的最低次幂，二者乘积即为公因式；②提取公因式，将原式化为公因式与剩余因式的乘积形式，注意互为相反数的因式可通过符号性质转化为相同因式：偶次幂下，互为相反数的两个式子的偶次幂相等，如$(x-2a)^2=(2a-x)^2$；奇次幂下可提取负号变形，如$b-a=-(a-b)$、$-m-n=-(m+n)$；③检查剩余因式是否需要化简，确保分解彻底，结果为最简整式乘积形式。
具体到各小题：(1)公因式为单项式$7x$，直接提取即可；(2)公因式为多项式$(2a+b)$，提取后合并剩余整式，将首项为负的因式提取负号化简；(3)先将$(2a-x)^2$转化为$(x-2a)^2$，再提取公因式$a(x-2a)^2$；(4)先对后项做符号变形，转化出相同公因式$(m+n)(a-b)$后提取，再化简剩余部分。
【解析】
(1) 确定各项公因式为$7x$，拆分各项后提取公因式：
原式$=7x· 3y -7x· 2z +7x· 5x$
$=7x(3y - 2z + 5x)$
(2) 提取共同的多项式公因式$(2a+b)$，再化简剩余部分：
原式$=(2a+b)[(3a-2b)-4a]$
$=(2a+b)(-a -2b)$
$=-(2a+b)(a+2b)$
(3) 利用偶次幂的符号性质统一因式，再提取公因式$a(x-2a)^2$：
原式$=a^2(x-2a)^2 -a(x-2a)^2$
$=a(x-2a)^2(a-1)$
(4) 先对后项做符号变形，统一公因式后提取，再化简剩余部分：
原式$=(a-b)^2(m+n)-(m+n)(b-a)$
$=(a-b)^2(m+n)+(m+n)(a-b)$
$=(m+n)(a-b)[(a-b)-1]$
$=(m+n)(a-b)(a-b-1)$
【答案】
(1)$7x(3y - 2z + 5x)$
(2)$-(2a+b)(a+2b)$
(3)$a(x-2a)^2(a-1)$
(4)$(m+n)(a-b)(a-b-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式恒等变形，偶次幂符号性质
【点评】
本组题目是提公因式法分解因式的常规训练题，核心考查公因式的识别与提取，尤其需要注意多项式类公因式、互为相反数的因式的符号变形，分解完成后要检查结果是否为最简整式乘积形式，避免出现未合并同类项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.75
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题遵循提公因式法的通用步骤：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式（单项式或多项式）的最低次幂，二者乘积即为公因式；②提取公因式，将原式化为公因式与剩余因式的乘积形式，注意互为相反数的因式可通过符号性质转化为相同因式：偶次幂下，互为相反数的两个式子的偶次幂相等，如$(x-2a)^2=(2a-x)^2$；奇次幂下可提取负号变形，如$b-a=-(a-b)$、$-m-n=-(m+n)$；③检查剩余因式是否需要化简，确保分解彻底，结果为最简整式乘积形式。
具体到各小题：(1)公因式为单项式$7x$，直接提取即可；(2)公因式为多项式$(2a+b)$，提取后合并剩余整式，将首项为负的因式提取负号化简；(3)先将$(2a-x)^2$转化为$(x-2a)^2$，再提取公因式$a(x-2a)^2$；(4)先对后项做符号变形，转化出相同公因式$(m+n)(a-b)$后提取，再化简剩余部分。
【解析】
(1) 确定各项公因式为$7x$，拆分各项后提取公因式：
原式$=7x· 3y -7x· 2z +7x· 5x$
$=7x(3y - 2z + 5x)$
(2) 提取共同的多项式公因式$(2a+b)$，再化简剩余部分：
原式$=(2a+b)[(3a-2b)-4a]$
$=(2a+b)(-a -2b)$
$=-(2a+b)(a+2b)$
(3) 利用偶次幂的符号性质统一因式，再提取公因式$a(x-2a)^2$：
原式$=a^2(x-2a)^2 -a(x-2a)^2$
$=a(x-2a)^2(a-1)$
(4) 先对后项做符号变形，统一公因式后提取，再化简剩余部分：
原式$=(a-b)^2(m+n)-(m+n)(b-a)$
$=(a-b)^2(m+n)+(m+n)(a-b)$
$=(m+n)(a-b)[(a-b)-1]$
$=(m+n)(a-b)(a-b-1)$
【答案】
(1)$7x(3y - 2z + 5x)$
(2)$-(2a+b)(a+2b)$
(3)$a(x-2a)^2(a-1)$
(4)$(m+n)(a-b)(a-b-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式恒等变形，偶次幂符号性质
【点评】
本组题目是提公因式法分解因式的常规训练题，核心考查公因式的识别与提取，尤其需要注意多项式类公因式、互为相反数的因式的符号变形，分解完成后要检查结果是否为最简整式乘积形式，避免出现未合并同类项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.75
11.观察下列因式分解的过程,说说你发现了什么.
把多项式$am+an+bm+bn$分解因式.
解法1: $am+an+bm+bn$
$=(am+an)+(bm+bn)$
$=a(m+n)+b(m+n)$
$=(m+n)(a+b).$
解法2: $am+an+bm+bn$
$=(am+bm)+(an+bn)$
$=m(a+b)+n(a+b)$
$=(a+b)(m+n).$
根据你的发现,把下面的多项式分解因式:
(1)$mx-my+nx-ny;$
(2)$2a+4b-3ma-6mb.$
把多项式$am+an+bm+bn$分解因式.
解法1: $am+an+bm+bn$
$=(am+an)+(bm+bn)$
$=a(m+n)+b(m+n)$
$=(m+n)(a+b).$
解法2: $am+an+bm+bn$
$=(am+bm)+(an+bn)$
$=m(a+b)+n(a+b)$
$=(a+b)(m+n).$
根据你的发现,把下面的多项式分解因式:
(1)$mx-my+nx-ny;$
(2)$2a+4b-3ma-6mb.$
答案
解：
(1) $mx - my + nx - ny$
$=(mx - my) + (nx - ny)$
$=m(x - y) + n(x - y)$
$=(x - y)(m + n)$
(2) $2a + 4b - 3ma - 6mb$
$=(2a + 4b) + (-3ma - 6mb)$
$=2(a + 2b) - 3m(a + 2b)$
$=(a + 2b)(2 - 3m)$
(1) $mx - my + nx - ny$
$=(mx - my) + (nx - ny)$
$=m(x - y) + n(x - y)$
$=(x - y)(m + n)$
(2) $2a + 4b - 3ma - 6mb$
$=(2a + 4b) + (-3ma - 6mb)$
$=2(a + 2b) - 3m(a + 2b)$
$=(a + 2b)(2 - 3m)$
解析
【分析】
这道题考查分组分解法分解因式，解题思路是先观察多项式的项的特征，将多项式合理分成两组，先对每组分别提取公因式，再观察两组提取公因式后剩下的整式是否相同，若相同则将这个公共整式作为公因式再次提取，即可完成因式分解。注意分组时要保证分组后能二次提取公因式，同时注意带负号的项分组时符号的变化。
【解析】
(1) 对$mx-my+nx-ny$分解因式：
将前两项、后两项分别为一组，先分别提取组内公因式，再提取两组的公因式：
$mx-my+nx-ny$
$=(mx-my)+(nx-ny)$
$=m(x-y)+n(x-y)$
$=(x-y)(m+n)$
(2) 对$2a+4b-3ma-6mb$分解因式：
将前两项、后两项分别为一组，注意后两项提取公因式时负号的处理，再提取两组的公因式：
$2a+4b-3ma-6mb$
$=(2a+4b)+(-3ma-6mb)$
$=2(a+2b)-3m(a+2b)$
$=(a+2b)(2-3m)$
【答案】
(1) $(x-y)(m+n)$
(2) $(a+2b)(2-3m)$
【知识点】
提公因式法因式分解、分组分解法因式分解
【点评】
本题核心是掌握分组分解因式的技巧，合理分组是解题的关键，分组后要确保每组提取公因式后仍有公共因式可以二次提取，计算时要注意提取负号时各项的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查分组分解法分解因式，解题思路是先观察多项式的项的特征，将多项式合理分成两组，先对每组分别提取公因式，再观察两组提取公因式后剩下的整式是否相同，若相同则将这个公共整式作为公因式再次提取，即可完成因式分解。注意分组时要保证分组后能二次提取公因式，同时注意带负号的项分组时符号的变化。
【解析】
(1) 对$mx-my+nx-ny$分解因式：
将前两项、后两项分别为一组，先分别提取组内公因式，再提取两组的公因式：
$mx-my+nx-ny$
$=(mx-my)+(nx-ny)$
$=m(x-y)+n(x-y)$
$=(x-y)(m+n)$
(2) 对$2a+4b-3ma-6mb$分解因式：
将前两项、后两项分别为一组，注意后两项提取公因式时负号的处理，再提取两组的公因式：
$2a+4b-3ma-6mb$
$=(2a+4b)+(-3ma-6mb)$
$=2(a+2b)-3m(a+2b)$
$=(a+2b)(2-3m)$
【答案】
(1) $(x-y)(m+n)$
(2) $(a+2b)(2-3m)$
【知识点】
提公因式法因式分解、分组分解法因式分解
【点评】
本题核心是掌握分组分解因式的技巧，合理分组是解题的关键，分组后要确保每组提取公因式后仍有公共因式可以二次提取，计算时要注意提取负号时各项的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
12. 先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^2(1+x)$
$=(1+x)^3.$
(1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次；
(2)分解因式$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{10}$需应用上述方法________次，结果是________，请写出推理过程；
(3)计算：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{2024}=\_\_\_\_\_\_.$
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^2(1+x)$
$=(1+x)^3.$
(1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次；
(2)分解因式$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{10}$需应用上述方法________次，结果是________，请写出推理过程；
(3)计算：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{2024}=\_\_\_\_\_\_.$
答案
解：
(1) 提公因式法；2
(2) 10；$(1+x)^{11}$
推理过程：
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{10}$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^9]$
$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^8]$
$\dots$
重复提取公因式$(1+x)$的操作，第10次提取后可得：
$=(1+x)^{10}·(1+x)=(1+x)^{11}$
(3) $(1+x)^{2025}$
(1) 提公因式法；2
(2) 10；$(1+x)^{11}$
推理过程：
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{10}$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^9]$
$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^8]$
$\dots$
重复提取公因式$(1+x)$的操作，第10次提取后可得：
$=(1+x)^{10}·(1+x)=(1+x)^{11}$
(3) $(1+x)^{2025}$
解析
【分析】
解题时先观察题干给出的因式分解示例，明确核心方法是反复提取公因式$(1+x)$，再推导规律：①第一问直接判断分解方法，统计提取公因式的次数即可；②第二问结合示例找规律：当多项式中$(x+1)$的最高指数为$n$时，需要提取$n$次公因式，最终结果为$(1+x)^{n+1}$，按规律推导最高指数为10的情况即可；③第三问直接套用总结的规律求解。
【解析】
(1) 观察给出的分解过程，每一步均为提取公因式$(1+x)$，共进行了2次提取操作，因此分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次。
(2) 对多项式$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{10}$分解：
每次提取公因式$(1+x)$后，剩余多项式中$(x+1)$的最高次幂减1，重复提取操作10次后，剩余因式为$(1+x)$，最终结果为$(1+x)^{11}$。
(3) 根据上述规律，当多项式中$(x+1)$的最高指数为2024时，最终结果为$(1+x)^{2024+1}=(1+x)^{2025}$。
【答案】
(1) 提公因式法；2
(2) 10；$(1+x)^{11}$
推理过程：
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{10}$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^9]$
$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^8]$
$\dots$
第10次提取后可得：$=(1+x)^{10}·(1+x)=(1+x)^{11}$
(3) $(1+x)^{2025}$
【知识点】
提公因式法分解因式，规律探究
【点评】
本题属于因式分解的规律探究题，以提公因式法为基础，需要考生从示例过程中归纳提取次数和结果指数的对应规律，再应用规律解决问题，既考查因式分解的基础操作，也考查归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题干给出的因式分解示例，明确核心方法是反复提取公因式$(1+x)$，再推导规律：①第一问直接判断分解方法，统计提取公因式的次数即可；②第二问结合示例找规律：当多项式中$(x+1)$的最高指数为$n$时，需要提取$n$次公因式，最终结果为$(1+x)^{n+1}$，按规律推导最高指数为10的情况即可；③第三问直接套用总结的规律求解。
【解析】
(1) 观察给出的分解过程，每一步均为提取公因式$(1+x)$，共进行了2次提取操作，因此分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次。
(2) 对多项式$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{10}$分解：
每次提取公因式$(1+x)$后，剩余多项式中$(x+1)$的最高次幂减1，重复提取操作10次后，剩余因式为$(1+x)$，最终结果为$(1+x)^{11}$。
(3) 根据上述规律，当多项式中$(x+1)$的最高指数为2024时，最终结果为$(1+x)^{2024+1}=(1+x)^{2025}$。
【答案】
(1) 提公因式法；2
(2) 10；$(1+x)^{11}$
推理过程：
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{10}$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^9]$
$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^8]$
$\dots$
第10次提取后可得：$=(1+x)^{10}·(1+x)=(1+x)^{11}$
(3) $(1+x)^{2025}$
【知识点】
提公因式法分解因式，规律探究
【点评】
本题属于因式分解的规律探究题，以提公因式法为基础，需要考生从示例过程中归纳提取次数和结果指数的对应规律，再应用规律解决问题，既考查因式分解的基础操作，也考查归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
13.已知$a,b,x,y$满足$a+b=x+y=3$，$ax+by=7$，求：
(1)$ay+bx$的值；
(2)$(a^2+b^2)xy+ab(x^2+y^2)$的值。
(1)$ay+bx$的值；
(2)$(a^2+b^2)xy+ab(x^2+y^2)$的值。
答案
解：
(1) 因为$a+b=3$，$x+y=3$，
所以$(a+b)(x+y)=3×3=9$，
展开得：$ax+ay+bx+by=9$，
整理得：$(ax+by)+(ay+bx)=9$，
将$ax+by=7$代入上式，得$7+ay+bx=9$，
所以$ay+bx=9-7=2$。
(2) 对所求式子因式分解：
$\begin{aligned}&(a^2+b^2)xy+ab(x^2+y^2)\\=&a^2xy + b^2xy + abx^2 + aby^2\\=&ax(ay+bx) + by(bx+ay)\\=&(ay+bx)(ax+by)\end{aligned}$
将$ax+by=7$，$ay+bx=2$代入，得原式$=7×2=14$。
综上，(1) $ay+bx$的值为$\boldsymbol{2}$；(2) 所求式子的值为$\boldsymbol{14}$。
(1) 因为$a+b=3$，$x+y=3$，
所以$(a+b)(x+y)=3×3=9$，
展开得：$ax+ay+bx+by=9$，
整理得：$(ax+by)+(ay+bx)=9$，
将$ax+by=7$代入上式，得$7+ay+bx=9$，
所以$ay+bx=9-7=2$。
(2) 对所求式子因式分解：
$\begin{aligned}&(a^2+b^2)xy+ab(x^2+y^2)\\=&a^2xy + b^2xy + abx^2 + aby^2\\=&ax(ay+bx) + by(bx+ay)\\=&(ay+bx)(ax+by)\end{aligned}$
将$ax+by=7$，$ay+bx=2$代入，得原式$=7×2=14$。
综上，(1) $ay+bx$的值为$\boldsymbol{2}$；(2) 所求式子的值为$\boldsymbol{14}$。
解析
【分析】
对于第(1)问，已知$a+b$和$x+y$的取值，可先计算两个和式的乘积，展开后会出现已知的$ax+by$和待求的$ay+bx$的组合，通过整体代入已知条件即可求出待求式的值；对于第(2)问，先将待求多项式展开，再通过分组提取公因式的方法因式分解，分解后恰好是第(1)问结果与已知$ax+by$的乘积，代入数值即可算出结果，全程无需单独求出$a、b、x、y$的具体值，用整体代换思想简化计算。
【解析】
(1) 已知$a+b=3$，$x+y=3$，将两式左右两边分别相乘得：
$(a+b)(x+y)=3×3=9$
根据多项式乘多项式法则展开左边：$ax+ay+bx+by=9$
整理式子，将已知的$ax+by$看作整体：$(ax+by)+(ay+bx)=9$
把$ax+by=7$代入上式，得：$7+(ay+bx)=9$
解得：$ay+bx=9-7=2$
(2) 先对待求式展开并因式分解：
$\begin{aligned}&(a^2+b^2)xy+ab(x^2+y^2)\\=&a^2xy + b^2xy + abx^2 + aby^2\\=&(a^2xy+abx^2)+(b^2xy+aby^2)\\=&ax(ay+bx)+by(bx+ay)\\=&(ay+bx)(ax+by)\end{aligned}$
将$ax+by=7$，$ay+bx=2$代入上式，得原式$=2×7=14$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{14}$
【知识点】
整式乘法运算，提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题侧重考察整体代换思想的应用，无需计算每个字母的具体取值，通过整式乘法变形和因式分解即可快速求解，能很好地锻炼学生对整式运算和因式分解的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，已知$a+b$和$x+y$的取值，可先计算两个和式的乘积，展开后会出现已知的$ax+by$和待求的$ay+bx$的组合，通过整体代入已知条件即可求出待求式的值；对于第(2)问，先将待求多项式展开，再通过分组提取公因式的方法因式分解，分解后恰好是第(1)问结果与已知$ax+by$的乘积，代入数值即可算出结果，全程无需单独求出$a、b、x、y$的具体值，用整体代换思想简化计算。
【解析】
(1) 已知$a+b=3$，$x+y=3$，将两式左右两边分别相乘得：
$(a+b)(x+y)=3×3=9$
根据多项式乘多项式法则展开左边：$ax+ay+bx+by=9$
整理式子，将已知的$ax+by$看作整体：$(ax+by)+(ay+bx)=9$
把$ax+by=7$代入上式，得：$7+(ay+bx)=9$
解得：$ay+bx=9-7=2$
(2) 先对待求式展开并因式分解：
$\begin{aligned}&(a^2+b^2)xy+ab(x^2+y^2)\\=&a^2xy + b^2xy + abx^2 + aby^2\\=&(a^2xy+abx^2)+(b^2xy+aby^2)\\=&ax(ay+bx)+by(bx+ay)\\=&(ay+bx)(ax+by)\end{aligned}$
将$ax+by=7$，$ay+bx=2$代入上式，得原式$=2×7=14$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{14}$
【知识点】
整式乘法运算，提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题侧重考察整体代换思想的应用，无需计算每个字母的具体取值，通过整式乘法变形和因式分解即可快速求解，能很好地锻炼学生对整式运算和因式分解的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
