例 1 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD = DF。
(1) 求证：CF = EB。
(2) 若 AB = 12，AF = 8，求 CF 的长。

(1)
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC。
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD\\ DC=DE\end{array} $，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，
∴CF=EB。
(2) 设CF=EB=x，则AE=AB - EB=12 - x。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD\\ DC=DE\end{array} $，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE。
∵AC=AF + CF=8 + x，
∴8 + x=12 - x，
解得x=2，
∴CF=2。

【变式训练 1】 如图，OC 是∠AOB 内的一条射线，点 D 是 OC 上的一点，DE⊥OA 于点 E，DF⊥OB 于点 F，且 OE = OF。求证：OC 是∠AOB 的平分线。

证明：
∵DE⊥OA，DF⊥OB，
∴∠DEO=∠DFO=90°。
在 Rt△EOD 与 Rt△FOD 中，
∵{OE=OF，OD=OD}，
∴Rt△EOD≌Rt△FOD（HL）。
∴∠EOD=∠FOD。
∴OC 是∠AOB 的平分线。

例 2 如图，点 D 是△ABC 外一点，连接 AD，CD，CE⊥AB 于点 E。已知 AD = 7，CE = 4，AB = 13，△ADC 的面积为 14。
(1) 求证：AC 是∠BAD 的平分线。
(2) 若 AB - AD = 2BE，求证：CD = BC。

【点拨】 本题考查三角形的面积公式、角平分线的性质以及三角形全等的判定，关键是根据题意作出辅助线。
【解】 (1) 如图，过点 C 作 CF⊥AD，交 AD 的延长线于点 F。
∵△ADC 的面积为 14，AD = 7，
∴ CF = $\frac{2×14}{AD}$ = $\frac{28}{7}$ = 4。
又∵CE = 4，∴ CF = CE。
又∵CE⊥AB，CF⊥AF，
∴点 C 在∠BAD 的平分线上。
∴AC 是∠BAD 的平分线。

(2) 如图，在 AB 上截取 AH = AD = 7，连接 CH。
∵AB = 13，
∴ BH = AB - AH = 13 - 7 = 6。
∵AB - AD = 2BE，
∴ 2BE = 6，∴ BE = 3。
∴ EH = BH - BE = 6 - 3 = 3。
∴ EH = BE = 3。
又∵CE⊥AB，
∴CE 是线段 BH 的垂直平分线。
∴ HC = BC。
由(1)可知 AC 是∠BAD 的平分线，
∴ ∠HAC = ∠DAC。
在△HAC 和△DAC 中，
∵ { AH = AD，∠HAC = ∠DAC，AC = AC， }
∴ △HAC ≌ △DAC(SAS)。
∴ HC = CD。∴ CD = BC。