【变式训练 2】 如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠C = 90°，点 M 是 BC 的中点，DM 平分∠ADC。求证：
(1) AM 平分∠DAB；

(2) DM⊥AM。

证明：（1）如图，

过点 M 作 ME⊥AD 于点 E。
∵DM 平分∠ADC，
∴∠1=∠2。
∵∠B=∠C=90°，
∴MC⊥CD。
又
∵ME⊥AD，
∴ME=MC。
∵点 M 是 BC 的中点，
∴MC=MB。
∴ME=MB。
又
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM 平分∠DAB。
（2）
∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB。
∴CD//AB。
∴∠CDA+∠DAB=180°。
∵∠1=$\frac{1}{2}$∠CDA，∠3=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴2∠1+2∠3=180°。
∴∠1+∠3=90°。
∴∠AMD=90°，即 DM⊥AM。

1. 如图，在正方形网格中，到∠AOB 的两边距离相等的点是 ()


A.M 点
B.N 点
C.P 点
D.Q 点

1. A

2. 三角形内到三条边的距离相等的点是()

A.三角形三条角平分线的交点
B.三角形三条高的交点
C.三角形三条中线的交点
D.不存在

2. A

3. 如图，点 O 为△ABC 的两条角平分线的交点，OD⊥BC 于点 D。若 OD = 4，△ABC 的面积是 34，则△ABC 的周长为 ()

A.8.5
B.15
C.17
D.34

3. C

证明：连接OA，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F。
∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE=OF=OD=4。
∵S_△ABC=S_△ABO+S_△BCO+S_△ACO，
∴34=$\frac{1}{2}$×AB×OE+$\frac{1}{2}$×BC×OD+$\frac{1}{2}$×AC×OF。
∵OE=OF=OD=4，
∴34=$\frac{1}{2}$×4×(AB+BC+AC)，
∴AB+BC+AC=17。
即△ABC的周长为17。
C

4. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE⊥AB 于点 E。若 DE = 7，AC = 16，则 AD 的长度为。

4. 9

解：
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=7。
∵AC=16，
∴AD=AC-DC=16-7=9。
故AD的长度为9。

5. 如图，△ABC 的外角∠DAC 和∠ACE 的平分线相交于点 M。已知点 M 到 BE 的距离为 4，AB = 7，BC = 9，则四边形 ABCM 的面积为。

5. 32

证明：过点$M$作$MF ⊥ AD$于$F$，$MG ⊥ AC$于$G$，$MH ⊥ BE$于$H$。
因为$AM$平分$∠ DAC$，$CM$平分$∠ ACE$，点$M$到$BE$的距离为$4$，所以$MH = 4$。
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$MF = MG = MH = 4$。
四边形$ABCM$的面积$S = S_{△ ABC} + S_{△ ACM}$。
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × MH = \frac{1}{2} × 9 × 4 = 18$（此处错误，$△ ABC$的高并非$MH$，正确应为$S_{△ ABM} + S_{△ BCM}$）
$S_{△ ABM} = \frac{1}{2} × AB × MF = \frac{1}{2} × 7 × 4 = 14$，$S_{△ BCM} = \frac{1}{2} × BC × MH = \frac{1}{2} × 9 × 4 = 18$
$S = 14 + 18 = 32$
故四边形$ABCM$的面积为$32$。