6. 如图，已知∠AOP = ∠BOP = 15°，PC//OA，PD⊥OA。若 PC = 6，则 PD =。

6. 3

证明：过点P作PE⊥OB于点E。
∵∠AOP=∠BOP=15°，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵PC//OA，
∴∠CPO=∠AOP=15°（两直线平行，内错角相等）。
∴∠BCP=∠BOP+∠CPO=15°+15°=30°（三角形外角性质）。
在Rt△PCE中，∠PEC=90°，∠BCP=30°，PC=6，
∴PE=1/2 PC=1/2×6=3（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）。
∵PD=PE，
∴PD=3。

7. 如图，在△ABC 中，OB，OC 分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC 于点 D。若△ABC 的周长是 22，且 OD = 3，求△ABC 的面积。

7. 解：如图，连接 OA，过点 O 分别作 OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为点 E，F。
　　　　　　　　　　　　　　
∵OB，OC 分别平分∠ABC，∠ACB，
∴OE=OF=OD=3。
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·OE+$\frac{1}{2}$AC·OF+$\frac{1}{2}$BC·OD =$\frac{1}{2}$(AB+BC+AC)·OD
　　　　　=$\frac{1}{2}$×22×3=33。

8. 如图，AD 为△ABC 的角平分线，DE⊥AC 于点 E，DF⊥AB 于点 F，EF 交 AD 于点 M。求证：AM⊥EF。

8. 证明：
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF。
　在 Rt△ADF 和 Rt△ADE 中，
∵{AD=AD，DF=DE}，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）
∴AF=AE。
∴△AEF 是等腰三角形。
　又
∵AM 平分∠EAF，
∴AM⊥EF。

9. 如图，DE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BD = CD，BE = CF。
(1) 求证：AD 平分∠BAC；
(2) 直接写出 AB + AC 与 AE 之间的数量关系。

9. （1）证明：
∵DE⊥AE，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°。
　在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
∵{BD=CD，BE=CF}，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴DE=DF。
　又
∵DE⊥AE，DF⊥AC，
∴AD 平分∠BAC。
　（2）AB+AC=2AE。

10. 如图，图(1)是一个平分角的仪器，其中 OD = OE，FD = FE。
(1) 如图(2)，将仪器放置在△ABC 上，使点 O 与顶点 A 重合，点 D，E 分别在边 AB，AC 上。过点 A，F 画一条射线，交 BC 于点 P，则 AP 是∠BAC 的平分线吗？请判断并说明理由。
(2) 如图(3)，在(1)的条件下，过点 P 作 PQ⊥AB 于点 Q。若 PQ = 5，AC = 9，△ABC 的面积是 50，求 AB 的长。

10. 解：（1）AP 是∠BAC 的平分线。理由如下：
在△ADF 和△AEF 中，
∵{AD=AE，FD=FE，AF=AF}，
∴△ADF≌△AEF（SSS）。
∴∠DAF=∠EAF，
即 AP 是∠BAC 的平分线。
（2）如图，过点 P 作 PH⊥AC 于点 H。
　　　　　　
由（1）知 AP 是∠BAC 的平分线。
又
∵PQ⊥AB，PH⊥AC，PQ=5，
∴PH=PQ=5。
∵△ABC 的面积是 50，
∴S△ABP+S△ACP=50，
即$\frac{1}{2}$AB·PQ+$\frac{1}{2}$AC·PH=50。
∵AC=9，
∴$\frac{1}{2}$AB×5+$\frac{1}{2}$×9×5=50，
∴AB=11。