9. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ A = ∠ B = 90^{\circ} $，$ AB = 25\ \mathrm{cm} $，$ AD = 15\ \mathrm{cm} $，$ BC = 10\ \mathrm{cm} $。动点 $ E $ 从点 $ A $ 出发，以 $ 2\ \mathrm{cm/s} $ 的速度向点 $ B $ 运动，设运动时间为 $ x\ \mathrm{s} $。
(1)当 $ x $ 为何值时，点 $ E $ 在线段 $ CD $ 的垂直平分线上？
(2)在(1)的条件下，判断 $ DE $ 与 $ CE $ 的位置关系，并说明理由。

9. 解:(1)设AE = a cm,则BE = (25 - a)cm。
∵点E在线段CD的垂直平分线上,
∴DE = CE。
在Rt△ADE和Rt△BCE中,由勾股定理得
AD² + AE² = DE²,BC² + BE² = CE²。
∴AD² + AE² = BC² + BE²,
即15² + a² = 10² + (25 - a)²。
解得a = 10,故AE = 10cm。
∴当x = $\frac{10}{2}$,即x = 5时,点E在线段CD的垂直平分线上。
(2)DE⊥CE。理由如下:
在Rt△ADE和Rt△BEC中,
∵$\begin{cases} DE = CE, \\ AE = BC, \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)。
∴∠ADE = ∠CEB。
∵∠A = 90°,
∴∠ADE + ∠AED = 90°
∴∠AED + ∠CEB = 90°。
∴∠DEC = 180° - (∠AED + ∠CEB) = 90°
∴DE⊥CE。

10. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，点 $ P $ 在边 $ AC $ 上运动，点 $ D $ 在边 $ AB $ 上运动，始终保持 $ PD $ 与 $ PA $ 相等，$ BD $ 的垂直平分线交 $ BC $ 于点 $ E $，交 $ BD $ 于点 $ F $，连接 $ DE $。
(1)判断 $ DE $ 与 $ PD $ 的位置关系，并说明理由；
(2)若 $ AC = 6 $，$ BC = 8 $，$ PA = 2 $，求线段 $ DE $ 的长。

10. 解:(1)DE⊥PD。理由如下:
∵PD = PA,
∴∠PDA = ∠A。
∵EF垂直平分BD,
∴ED = EB。
∴∠EDB = ∠B。
在Rt△ABC中,
∵∠C = 90°,
∴∠A + ∠B = 90°。
∴∠PDA + ∠EDB = 90°。
∴∠PDE = 90°,即DE⊥PD。
(2)连接PE。
∵AC = 6,PA = 2,
∴CP = AC - PA = 4,PD = PA = 2。
设DE = BE = x,则CE = 8 - x。
在Rt△PEC中,根据勾股定理,得PE² = 4² + (8 - x)²。
在Rt△PDE中,根据勾股定理,得PE² = 2² + x²。
∴4² + (8 - x)² = 2² + x²,解得x = $\frac{19}{4}$。
∴DE = $\frac{19}{4}$。

知识点 角平分线的性质定理和判定定理
1. 角平分线上的点到这个角的两边的。
2. 在一个角的内部，到角的两边的点在这个角的平分线上。

知识点 1. 距离相等 2. 距离相等