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3. 如图，已知 $ AB // CD $，$ ∠ ABD $ 的平分线 $ BF $ 和 $ ∠ BDC $ 的平分线 $ DE $ 相交于点 $ E $，$ BF $ 交 $ CD $ 于点 $ F $.
（1）求 $ ∠ 1 + ∠ 2 $ 的度数；
（2）若 $ ∠ 2 = 40° $，求 $ ∠ 3 $ 的度数.
（1）求 $ ∠ 1 + ∠ 2 $ 的度数；
（2）若 $ ∠ 2 = 40° $，求 $ ∠ 3 $ 的度数.
答案
3. (1) $\because$ $BF$、$DE$分别平分$∠ABD$、$∠BDC$，
$\therefore$ $∠ABD=2∠1$，$∠BDC=2∠2$.
$\because$ $AB// CD$，
$\therefore$ $∠ABD+∠BDC=180^{\circ }$（两直线平行，同旁内角互补）.
$\therefore$ $2∠1+2∠2=180^{\circ }$.
$\therefore$ $∠1+∠2=90^{\circ }$.
(2) $\because$ $∠2=40^{\circ }$，
又由(1)，知$∠1+∠2=90^{\circ }$，
$\therefore$ $∠1=90^{\circ }-∠2=50^{\circ }$.
$\because$ $AB// CD$，
$\therefore$ $∠1+∠3=180^{\circ }$（两直线平行，同旁内角互补）.
$\therefore$ $∠3=180^{\circ }-∠1=130^{\circ }$.
$\therefore$ $∠ABD=2∠1$，$∠BDC=2∠2$.
$\because$ $AB// CD$，
$\therefore$ $∠ABD+∠BDC=180^{\circ }$（两直线平行，同旁内角互补）.
$\therefore$ $2∠1+2∠2=180^{\circ }$.
$\therefore$ $∠1+∠2=90^{\circ }$.
(2) $\because$ $∠2=40^{\circ }$，
又由(1)，知$∠1+∠2=90^{\circ }$，
$\therefore$ $∠1=90^{\circ }-∠2=50^{\circ }$.
$\because$ $AB// CD$，
$\therefore$ $∠1+∠3=180^{\circ }$（两直线平行，同旁内角互补）.
$\therefore$ $∠3=180^{\circ }-∠1=130^{\circ }$.
4. 如图，点 $ D $、$ E $、$ H $ 分别在线段 $ AB $、$ BC $、$ AC $ 上，连接 $ DE $，过点 $ C $ 画 $ CF $ 交 $ DH $ 的延长线于点 $ F $，且满足 $ ∠ HCF = ∠ BDE $. 若 $ DE // AC $，$ ∠ 1 = ∠ 3 $，求证：$ ∠ B = ∠ F $. 把以下证明过程补充完整.
证明：$ \because DE // AC $，
$ \therefore ∠ 1 = $
又 $ \because ∠ 1 = ∠ 3 $，
$ \therefore ∠ 2 = ∠ 3 $.
$ \therefore DF // BC $（
$ \therefore ∠ BDF + ∠ B = 180° $，$ ∠ BCF + ∠ F = 180° $（
$ \because ∠ HCF = ∠ BDE $，$ ∠ 1 = ∠ 3 $，
$ \therefore ∠ BDE + ∠ 1 = ∠ HCF + ∠ 3 $，
即 $ ∠ BDF = ∠ BCF $.
$ \therefore ∠ B = ∠ F $.
证明：$ \because DE // AC $，
$ \therefore ∠ 1 = $
$∠2$
(两直线平行，同位角相等).又 $ \because ∠ 1 = ∠ 3 $，
$ \therefore ∠ 2 = ∠ 3 $.
$ \therefore DF // BC $（
内错角相等，两直线平行
）.$ \therefore ∠ BDF + ∠ B = 180° $，$ ∠ BCF + ∠ F = 180° $（
两直线平行，同旁内角互补
）.$ \because ∠ HCF = ∠ BDE $，$ ∠ 1 = ∠ 3 $，
$ \therefore ∠ BDE + ∠ 1 = ∠ HCF + ∠ 3 $，
即 $ ∠ BDF = ∠ BCF $.
$ \therefore ∠ B = ∠ F $.
答案
4. $∠2$；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.
