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13. (2025·宿迁)如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,连接DE,DF,EF,AF,DE与AF相交于点O,则下列结论错误的是(
A.DE//BC
B.∠B=∠EFC
C.∠BAF=∠CAF
D.OD=OE
C
)A.DE//BC
B.∠B=∠EFC
C.∠BAF=∠CAF
D.OD=OE
答案
13. C
解析
证明：
∵D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，A正确；
EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB，EF=1/2AB，
∴∠EFC=∠B，B正确；
DF是△ABC的中位线，
∴DF//AC，DF=1/2AC，
∵DE//BC，DF//AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴OD=OE，D正确；
∵AB≠AC，AF是中线，
∴AF不平分∠BAC，即∠BAF≠∠CAF，C错误.
结论错误的是C.
C
∵D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，A正确；
EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB，EF=1/2AB，
∴∠EFC=∠B，B正确；
DF是△ABC的中位线，
∴DF//AC，DF=1/2AC，
∵DE//BC，DF//AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴OD=OE，D正确；
∵AB≠AC，AF是中线，
∴AF不平分∠BAC，即∠BAF≠∠CAF，C错误.
结论错误的是C.
C
14. 如图,在△ABC中,D,E,F分别为各边的中点,AH是高,连接DH,DE,FH,FE.若∠DEF=65°,则∠DHF的度数为(
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
C
)A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
答案
14. C 解析：利用三角形中位线定理，得 DE // AC，EF // AB，由此得四边形 ADEF 是平行四边形，
∴ ∠DEF = ∠DAF。利用直角三角形斜边上的中线的性质可说明 DH = DA，HF = AF，
∴ ∠DAH = ∠DHA，∠FAH = ∠FHA，即 ∠DAF = ∠DHF，从而可得 ∠DHF = ∠DEF = $65^{\circ}$。
∴ ∠DEF = ∠DAF。利用直角三角形斜边上的中线的性质可说明 DH = DA，HF = AF，
∴ ∠DAH = ∠DHA，∠FAH = ∠FHA，即 ∠DAF = ∠DHF，从而可得 ∠DHF = ∠DEF = $65^{\circ}$。
15. 如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,连接EG,FH,则EG²+FH²的值为
36
.答案
15. 36
解析
证明：连接EF，FG，GH，HE。
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EH = $\frac{1}{2}$BD，EH // BD，FG = $\frac{1}{2}$BD，FG // BD，
∴EH = FG，EH // FG，
∴四边形EFGH是平行四边形。
在平行四边形EFGH中，根据平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，得EG² + FH² = 2(EH² + EF²)。
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF = $\frac{1}{2}$AC = 3，EH = $\frac{1}{2}$BD = 3，
∴EG² + FH² = 2(3² + 3²) = 2×18 = 36。
36
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EH = $\frac{1}{2}$BD，EH // BD，FG = $\frac{1}{2}$BD，FG // BD，
∴EH = FG，EH // FG，
∴四边形EFGH是平行四边形。
在平行四边形EFGH中，根据平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，得EG² + FH² = 2(EH² + EF²)。
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF = $\frac{1}{2}$AC = 3，EH = $\frac{1}{2}$BD = 3，
∴EG² + FH² = 2(3² + 3²) = 2×18 = 36。
36
16. 已知等腰梯形的腰长为13 cm,两底差为10 cm,则高为(
A.$\sqrt{69}$ cm
B.12 cm
C.10 cm
D.11 cm
B
)A.$\sqrt{69}$ cm
B.12 cm
C.10 cm
D.11 cm
答案
16. B
解析
过等腰梯形上底的一个顶点作下底的垂线，得到一个直角三角形。该直角三角形的斜边为腰长13 cm，一条直角边为两底差的一半，即$\frac{10}{2}=5$ cm。设高为$h$ cm，根据勾股定理可得$h = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$。
B
B
17. (转化思想)如图,将直角梯形ABCD沿AB方向向下平移2个单位长度得到直角梯形EFGH.已知BC=6,∠A=90°,∠C=45°,则涂色部分的面积为(
A.8
B.10
C.12
D.14
B
)A.8
B.10
C.12
D.14
答案
17. B
18. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E是边CD的中点,连接AE,BE.如果AE平分∠BAD,那么下列结论中,不一定成立的是(
A.BE平分∠ABC
B.∠AEB=90°
C.AE=$\frac{1}{2}$AB
D.AB=AD+BC
C
)A.BE平分∠ABC
B.∠AEB=90°
C.AE=$\frac{1}{2}$AB
D.AB=AD+BC
答案
18. C
解析
证明：延长AE交BC的延长线于点F。
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠F。
∵E是CD中点，
∴DE=CE。
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠F，∠AED=∠FEC，DE=CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=FC，AE=FE。
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠F，
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD，故D成立。
∵AE=FE，AB=BF，
∴BE平分∠ABC（三线合一），∠AEB=90°，故A、B成立。
无法证明AE=$\frac{1}{2}$AB，故C不一定成立。
答案：C
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠F。
∵E是CD中点，
∴DE=CE。
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠F，∠AED=∠FEC，DE=CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=FC，AE=FE。
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠F，
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD，故D成立。
∵AE=FE，AB=BF，
∴BE平分∠ABC（三线合一），∠AEB=90°，故A、B成立。
无法证明AE=$\frac{1}{2}$AB，故C不一定成立。
答案：C
19. 如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,点A在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时,点D也随之在y轴上运动,在这个运动过程中,点C到原点O的最大距离为
$1 + \sqrt{2}$
.答案
19. $1 + \sqrt{2}$ 解析：取 AD 的中点 H，连接 CH，OH。由勾股定理可求 CH = $\sqrt{2}$，由直角三角形斜边上中线的性质可求 OH = $\frac{1}{2}$AD = 1。注意到 CO ≤ OH + CH，由此可知当点 O，H，C 共线时，CO 长取得最大值，最大值为 OH + CH = $1 + \sqrt{2}$。
解析
解：取AD的中点H，连接CH，OH。
在矩形ABCD中，AD=BC=2，CD=AB=1，∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，H为AD中点，AD=2，CD=1，
由勾股定理得：CH=$\sqrt{CD^2 + DH^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$。
在Rt△AOD中，H为AD中点，
由直角三角形斜边上中线性质得：OH=$\frac{1}{2}$AD=1。
在△OCH中，CO≤OH+CH，当O，H，C三点共线时，等号成立，
则CO的最大值为OH+CH=1+$\sqrt{2}$。
故点C到原点O的最大距离为$1 + \sqrt{2}$。
在矩形ABCD中，AD=BC=2，CD=AB=1，∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，H为AD中点，AD=2，CD=1，
由勾股定理得：CH=$\sqrt{CD^2 + DH^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$。
在Rt△AOD中，H为AD中点，
由直角三角形斜边上中线性质得：OH=$\frac{1}{2}$AD=1。
在△OCH中，CO≤OH+CH，当O，H，C三点共线时，等号成立，
则CO的最大值为OH+CH=1+$\sqrt{2}$。
故点C到原点O的最大距离为$1 + \sqrt{2}$。
