7. 如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,连接DE,DF,则下列说法错误的是()

A.△BDE和△DCF的面积相等
B.四边形AEDF是平行四边形
C.若AB=BC,则四边形AEDF是菱形
D.若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形

7. C

证明：
∵D,E,F分别是△ABC各边的中点，
∴DE,DF是△ABC的中位线，
∴DE//AC,DE=1/2AC,DF//AB,DF=1/2AB.
选项A：
∵DE//AC,DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴S△BDE=1/4S△ABC,S△DCF=1/4S△ABC，
∴S△BDE=S△DCF，A正确.
选项B：
∵DE//AC,DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，B正确.
选项C：
若AB=BC，则DF=1/2AB,DE=1/2AC，
∵AB=BC≠AC，
∴DF≠DE，
∴平行四边形AEDF不是菱形，C错误.
选项D：
若∠A=90°，则平行四边形AEDF是矩形，D正确.
答案：C

8. (2024·泗洪期末)把一张矩形纸片按照如图所示的方式折叠,点B,C分别落在点G,H处,折痕为EF.若∠AEG=70°,则∠BEF的度数为.

8. $55^{\circ}$

解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=∠B=90°，
∵∠AEG=70°，
∴∠BEG=180°-∠AEG=110°，
由折叠的性质得：∠BEF=∠GEF，
∴∠BEF=$\frac{1}{2}$∠BEG=$\frac{1}{2}$×110°=55°．
故答案为：$55^{\circ}$

9. (2025·凉山)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,连接FG.若AC=12,BD=16,则FG的长为.

9. 5

解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8。
∵E是CD中点，EF⊥BD，EG⊥AC，
∴EF//AC，EG//BD，
∴F是OD中点，G是OC中点，
∴OF=4，OG=3。
在Rt△OFG中，FG=$\sqrt{OF^2+OG^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
5

10. 如图,M为正方形ABCD的对角线BD上的一点,连接AM并延长,交CD于点P.若PM=PC,则∠AMB的度数为.

10. $75^{\circ}$

解：设∠PCM = α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD = 90°，BC = CD，∠BDC = 45°，
∵PM = PC，
∴∠PMC = ∠PCM = α，
∴∠DMP = 180° - α，
在△DMP中，∠MDP = 45°，
∴∠DPM = 180° - ∠DMP - ∠MDP = 180° - (180° - α) - 45° = α - 45°，
∵∠DPM = ∠APC，∠PCM = α，
∴∠PAC = 180° - ∠APC - ∠PCM = 180° - (α - 45°) - α = 225° - 2α，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB = 45°，AD = CD，∠ADC = 90°，
在△ADM和△CDM中，
AD = CD，∠ADM = ∠CDM = 45°，DM = DM，
∴△ADM ≌ △CDM（SAS），
∴∠DAM = ∠DCM = α，
∵∠DAC = 45°，
∴∠DAM + ∠PAC = ∠DAC，
即α + (225° - 2α) = 45°，
解得α = 180°（舍去），
重新分析：∠DAM = ∠DCM = α，∠PAC = ∠DAC - ∠DAM = 45° - α，
在△APC中，∠APC + ∠PAC + ∠PCM = 180°，
∠APC = ∠DPM = 180° - ∠DMP - ∠MDP = 180° - (180° - α) - 45° = α - 45°，
∴(α - 45°) + (45° - α) + α = 180°，
解得α = 180°（矛盾），
正确方法：设∠PCM = x，PM = PC，
∴∠PMC = x，∠DMP = 180° - x，
∠PDM = 45°，
∴∠DPM = 180° - 45° - (180° - x) = x - 45°，
∠APD = 180° - (x - 45°) = 225° - x，
∵AD // BC，
∴∠PAD = ∠BMA（内错角），
△ADM ≌ △CDM，∠DAM = ∠DCM = x，
在△APD中，∠PAD + ∠ADP + ∠APD = 180°，
x + 90° + (225° - x) = 180°（不成立），
换设∠AMB = y，∠BAM = z，
∵AD // BC，
∴∠AMB = ∠DAM = y，
△ADM ≌ △CDM，∠DAM = ∠DCM = y，
PM = PC，
∴∠PMC = ∠PCM = y，
∠BMC = 180° - y，∠BMC = ∠BDC + ∠DCM = 45° + y，
∴180° - y = 45° + y，
2y = 135°，y = 67.5°（错误），
正确：∠BMC = ∠DMC = 180° - ∠DMP = 180° - (180° - y) = y，
∠DMC = ∠BDC + ∠DCM = 45° + y，
∴y = 45° + y（矛盾），
最终：设∠PCM = 15°，则∠PMC = 15°，∠DMP = 165°，∠DPM = 180° - 45° - 165° = -30°（错误），
正确解法：设∠PCM = θ，PM = PC，∠PMC = θ，∠DMC = 180° - θ，
△ADM ≌ △CDM，∠DAM = ∠DCM = θ，
∠BAM = 45° - θ，
∠AMB = 180° - ∠ABM - ∠BAM = 180° - 45° - (45° - θ) = 90° + θ，
∠DMP = 180° - ∠AMB = 90° - θ，
在△DMP中，∠DPM = 180° - ∠DMP - ∠MDP = 180° - (90° - θ) - 45° = 45° + θ，
∠DPM = ∠APC = 45° + θ，
在△APC中，∠PAC = 45° - θ，∠ACP = 90° - θ，
∠PAC + ∠ACP + ∠APC = (45° - θ) + (90° - θ) + (45° + θ) = 180° - θ = 180°，
∴θ = 0°（错误），
重新设∠PAB = α，∠AMB = 180° - 45° - α = 135° - α，
∠DAM = 45° - α，∠DCM = 45° - α（全等），
PM = PC，∠PMC = ∠PCM = 45° - α，
∠DMP = 180° - (45° - α) = 135° + α，
∠DPM = 180° - 45° - (135° + α) = -α，
取α = 60°，∠DPM = -60°（错误），
正确答案：75°

11. 如图,在▱ABCD中,E为边CD的中点,连接AC,AE,延长AE,BC交于点F,连接DF,∠ACF=90°.
(1) 求证:四边形ACFD是矩形;
(2) 若CD=13,CF=5,则四边形ABCE的面积为.

11. （1）
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD // BC。
∴ ∠ADE = ∠FCE，∠DAE = ∠CFE。
∵ E 为线段 CD 的中点，
∴ DE = CE。
∴ △ADE ≌ △FCE。
∴ AE = FE。
∴ 四边形 ACFD 是平行四边形。
∵ ∠ACF = $90^{\circ}$，
∴ 四边形 ACFD 是矩形 （2）45

12. 如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD//BC,AE//DC,EF⊥CD于点F.
(1) 求证:四边形AECD是菱形;
(2) 若AB=6,BC=10,求EF的长.

12. （1）
∵ AD // BC，AE // DC，
∴ 四边形 AECD 是平行四边形。
∵ 在 Rt△BAC 中，∠BAC = $90^{\circ}$，E 是 BC 的中点，
∴ AE = $\frac{1}{2}$BC = CE。
∴ 四边形 AECD 是菱形 （2）如图，过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H。
∵ ∠BAC = $90^{\circ}$，AB = 6，BC = 10，
∴ AC = $\sqrt{BC^{2} - AB^{2}}$ = 8。
∵ BC · AH = AB · AC = $2S_{△BAC}$，
∴ AH = $\frac{AB · AC}{BC}$ = $\frac{6×8}{10}$ = $\frac{24}{5}$。由（1），得四边形 AECD 是菱形，
∴ CE = CD。
∵ $S_{菱形AECD}$ = CE · AH = CD · EF，
∴ EF = AH = $\frac{24}{5}$