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【知识点】整数指数幂的运算性质
◎ $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\ (a≠ 0)$.
◎ 整数指数幂的运算性质：
(1) $a^m· a^n=a^{m+n}\ (m,\ n是整数)$.
(2) $(a^m)^n=a^{mn}\ (m,\ n是整数)$.
(3) $(ab)^n=a^nb^n\ (n是整数)$.
计算：
(1) $(a^{-2})^{-3}· (bc^{-1})^3$；
(2) $(3x^3y^2z^{-1})^{-2}· (5xy^{-2}z^3)^2$；
(3) $(4× 10^{-3})^2÷ (2× 10^{-2})^3$；
(4) $\dfrac{(2ab^2)^{-2}· (a^2b)^2}{(3a^3b^2)· (ab^3)^{-2}}$.
◎ $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\ (a≠ 0)$.
◎ 整数指数幂的运算性质：
(1) $a^m· a^n=a^{m+n}\ (m,\ n是整数)$.
(2) $(a^m)^n=a^{mn}\ (m,\ n是整数)$.
(3) $(ab)^n=a^nb^n\ (n是整数)$.
计算：
(1) $(a^{-2})^{-3}· (bc^{-1})^3$；
(2) $(3x^3y^2z^{-1})^{-2}· (5xy^{-2}z^3)^2$；
(3) $(4× 10^{-3})^2÷ (2× 10^{-2})^3$；
(4) $\dfrac{(2ab^2)^{-2}· (a^2b)^2}{(3a^3b^2)· (ab^3)^{-2}}$.
答案
(1) $\dfrac{a^6b^3}{c^3}$
(2) $\dfrac{25z^8}{9x^4y^8}$
(3) 2
(4) $\dfrac{1}{12}ab^2$
(2) $\dfrac{25z^8}{9x^4y^8}$
(3) 2
(4) $\dfrac{1}{12}ab^2$
解析
【分析】
这是一组整数指数幂的运算题，解题思路如下：第一步先利用幂的乘方、积的乘方的运算性质去掉每个括号，给括号内每一个因式都乘上括号外的指数；第二步利用同底数幂的乘、除运算性质，计算同底数幂的指数和或差；第三步将运算结果中的负整数指数幂根据$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0)$转化为正整数指数幂的形式，最终整理为最简结果。计算过程中要注意系数的运算和指数的符号，避免出错。
【解析】
(1) 先分别计算幂的乘方和积的乘方：
原式$=a^{(-2)×(-3)} · b^3 · c^{(-1)×3}$
$=a^6 · b^3 · c^{-3}$
将负指数转化为正指数：
$=\frac{a^6b^3}{c^3}$
(2) 先分别计算两个积的乘方：
原式$=3^{-2}x^{3×(-2)}y^{2×(-2)}z^{(-1)×(-2)} · 5^2x^{2}y^{(-2)×2}z^{3×2}$
$=\frac{1}{9}x^{-6}y^{-4}z^{2} · 25x^{2}y^{-4}z^{6}$
再计算同底数幂的乘法，系数相乘，同底数幂指数相加：
$=(\frac{1}{9}×25) · x^{-6+2} · y^{-4+(-4)} · z^{2+6}$
$=\frac{25}{9}x^{-4}y^{-8}z^{8}$
转化为正指数形式：
$=\frac{25z^8}{9x^4y^8}$
(3) 先分别计算乘方：
原式$=(4^2×10^{-3×2}) ÷ (2^3×10^{-2×3})$
$=(16×10^{-6}) ÷ (8×10^{-6})$
系数和同底数幂分别相除：
$=(16÷8) × (10^{-6}÷10^{-6})$
$=2×10^{0}$
$=2×1=2$
(4) 先分别化简分子、分母：
分子：$(2ab^2)^{-2} · (a^2b)^2 = 2^{-2}a^{-2}b^{-4} · a^4b^2 = \frac{1}{4}a^{-2+4}b^{-4+2} = \frac{1}{4}a^2b^{-2}$
分母：$(3a^3b^2) · (ab^3)^{-2} = 3a^3b^2 · a^{-2}b^{-6} = 3a^{3-2}b^{2-6} = 3ab^{-4}$
再计算分子除以分母：
原式$=\frac{\frac{1}{4}a^2b^{-2}}{3ab^{-4}} = (\frac{1}{4}÷3) · a^{2-1} · b^{-2-(-4)} = \frac{1}{12}ab^2$
【答案】
(1) $\dfrac{a^6b^3}{c^3}$
(2) $\dfrac{25z^8}{9x^4y^8}$
(3) $2$
(4) $\dfrac{1}{12}ab^2$
【知识点】
1.负整数指数幂的意义 2.整数指数幂的运算性质
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，重点考查对幂的各类运算法则的掌握程度，解题的核心是严格按照运算顺序逐步计算，尤其要注意负指数的转化和指数的符号运算，熟练掌握法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
这是一组整数指数幂的运算题，解题思路如下：第一步先利用幂的乘方、积的乘方的运算性质去掉每个括号，给括号内每一个因式都乘上括号外的指数；第二步利用同底数幂的乘、除运算性质，计算同底数幂的指数和或差；第三步将运算结果中的负整数指数幂根据$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0)$转化为正整数指数幂的形式，最终整理为最简结果。计算过程中要注意系数的运算和指数的符号，避免出错。
【解析】
(1) 先分别计算幂的乘方和积的乘方：
原式$=a^{(-2)×(-3)} · b^3 · c^{(-1)×3}$
$=a^6 · b^3 · c^{-3}$
将负指数转化为正指数：
$=\frac{a^6b^3}{c^3}$
(2) 先分别计算两个积的乘方：
原式$=3^{-2}x^{3×(-2)}y^{2×(-2)}z^{(-1)×(-2)} · 5^2x^{2}y^{(-2)×2}z^{3×2}$
$=\frac{1}{9}x^{-6}y^{-4}z^{2} · 25x^{2}y^{-4}z^{6}$
再计算同底数幂的乘法，系数相乘，同底数幂指数相加：
$=(\frac{1}{9}×25) · x^{-6+2} · y^{-4+(-4)} · z^{2+6}$
$=\frac{25}{9}x^{-4}y^{-8}z^{8}$
转化为正指数形式：
$=\frac{25z^8}{9x^4y^8}$
(3) 先分别计算乘方：
原式$=(4^2×10^{-3×2}) ÷ (2^3×10^{-2×3})$
$=(16×10^{-6}) ÷ (8×10^{-6})$
系数和同底数幂分别相除：
$=(16÷8) × (10^{-6}÷10^{-6})$
$=2×10^{0}$
$=2×1=2$
(4) 先分别化简分子、分母：
分子：$(2ab^2)^{-2} · (a^2b)^2 = 2^{-2}a^{-2}b^{-4} · a^4b^2 = \frac{1}{4}a^{-2+4}b^{-4+2} = \frac{1}{4}a^2b^{-2}$
分母：$(3a^3b^2) · (ab^3)^{-2} = 3a^3b^2 · a^{-2}b^{-6} = 3a^{3-2}b^{2-6} = 3ab^{-4}$
再计算分子除以分母：
原式$=\frac{\frac{1}{4}a^2b^{-2}}{3ab^{-4}} = (\frac{1}{4}÷3) · a^{2-1} · b^{-2-(-4)} = \frac{1}{12}ab^2$
【答案】
(1) $\dfrac{a^6b^3}{c^3}$
(2) $\dfrac{25z^8}{9x^4y^8}$
(3) $2$
(4) $\dfrac{1}{12}ab^2$
【知识点】
1.负整数指数幂的意义 2.整数指数幂的运算性质
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，重点考查对幂的各类运算法则的掌握程度，解题的核心是严格按照运算顺序逐步计算，尤其要注意负指数的转化和指数的符号运算，熟练掌握法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
【例1】若$-3(x+1)^{-2}$有意义，则$x$的取值范围是
【点拨】本题考查的是负整数指数幂$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$），熟知非零数的负整数指数幂等于该数正整数指数幂的倒数是解题的关键。
x≠-1
。【点拨】本题考查的是负整数指数幂$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$），熟知非零数的负整数指数幂等于该数正整数指数幂的倒数是解题的关键。
答案
x≠-1 解析：$\because -3(x+1)^{-2}$有意义，$\therefore x+1≠0$，解得$x≠-1$. 故答案为$x≠-1$.
解析
【分析】
解题时首先明确负整数指数幂的运算规则：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），要使负整数指数幂有意义，底数$a$不能为0，否则分式分母为0无意义。本题中负指数幂的底数为$x+1$，因此只需令$x+1≠0$，解此不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
要使$-3(x+1)^{-2}$有意义，需满足负整数指数幂的底数不为0，即：
$x+1≠0$
解得：$x≠-1$
【答案】
$x≠-1$
【知识点】
负整数指数幂的定义、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查负整数指数幂有意义的前提是底数不为0，解题时只需抓住这一核心条件列不等式求解即可，易错点是容易遗漏底数不能为0的要求。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确负整数指数幂的运算规则：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a≠0$，$n$为正整数），要使负整数指数幂有意义，底数$a$不能为0，否则分式分母为0无意义。本题中负指数幂的底数为$x+1$，因此只需令$x+1≠0$，解此不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
要使$-3(x+1)^{-2}$有意义，需满足负整数指数幂的底数不为0，即：
$x+1≠0$
解得：$x≠-1$
【答案】
$x≠-1$
【知识点】
负整数指数幂的定义、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查负整数指数幂有意义的前提是底数不为0，解题时只需抓住这一核心条件列不等式求解即可，易错点是容易遗漏底数不能为0的要求。
【难度系数】
0.9
