5.若关于$x,y$的多项式$xy^2 + 2x^2y^2$的次数与关于$a,b$的单项式$a^nb^3$的次数相同，则下列选项中，与单项式$a^nb^3$是同类项的是().

A.$a^2b^3$
B.$a^3b$
C.$-\dfrac{1}{2}ab^3$
D.$ab$

C 解析 由题意,知$3+n=2+2$,则$n=1$,故与单项式$a^nb^3$是同类项的是$-\frac{1}{2}ab^3$.

【分析】
解题时首先需要明确两个核心概念：一是多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，二是单项式的次数是单项式中所有字母的指数和。第一步先计算给定多项式的次数，第二步利用两者次数相等的条件列方程求出n的值，得到目标单项式的具体形式，最后根据同类项“所含字母相同、相同字母的指数也相同”的定义，匹配对应选项即可。
【解析】
1. 计算多项式$xy^2 + 2x^2y^2$的次数：
第一项$xy^2$的次数为$1+2=3$，第二项$2x^2y^2$的次数为$2+2=4$，因此该多项式的次数为最高项的次数$4$。
2. 求$n$的值：
单项式$a^nb^3$的次数为$n+3$，由题意多项式与单项式次数相同，可得方程：
$n+3=4$
解得$n=1$，因此该单项式为$ab^3$。
3. 判定同类项：
同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数也相同。分析各选项：
A选项$a^2b^3$中$a$的指数为2，不符合；
B选项$a^3b$中$a$、$b$的指数均不符合；
C选项$-\dfrac{1}{2}ab^3$所含字母为$a、b$，$a$的指数为1，$b$的指数为3，符合要求；
D选项$ab$中$b$的指数为1，不符合。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；同类项的定义
【点评】
本题是整式基础概念的综合应用题，解题的核心是准确掌握多项式次数、单项式次数和同类项的定义，概念清晰即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

6. 阅读材料: 我们知道, $4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$, 类似地, 我们把 $(a + b)$ 看成一个整体, 则 $4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$. “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法, 它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用:
(1) 把 $(a - b)^2$ 看成一个整体, 将多项式 $3(a - b)^2 + 6(a - b)^2 - 2(a - b)^2$ 化简;
(2) 已知 $a = 3, b = 4$, 求 $3(a - b)^2 + 6(a - b)^2 - 2(a - b)^2$ 的值.

解 (1)$3(a-b)^2+6(a-b)^2-2(a-b)^2=(3+6-2)(a-b)^2=7(a-b)^2$.
(2)当 $a=3,b=4$ 时,原式$=7×(3-4)^2=7$.

【分析】
（1）解题时运用题目给出的整体思想，将$(a-b)^2$看成一个整体，类比普通合并同类项的规则，只需要把各项的系数相加减，整体部分$(a-b)^2$保持不变，即可完成化简。
（2）先利用第（1）问的化简结果，再将$a$、$b$的值代入计算即可，先化简后代入求值能简化计算步骤，降低出错率。
【解析】
(1) 把$(a-b)^2$看作整体，按合并同类项法则计算：
$3(a-b)^2+6(a-b)^2-2(a-b)^2=(3+6-2)(a-b)^2=7(a-b)^2$
(2) 当$a=3,b=4$时，先计算$a-b=3-4=-1$，代入化简后的式子：
原式$=7×(-1)^2=7×1=7$
【答案】
(1) $7(a-b)^2$；(2) $7$
【知识点】
合并同类项，整体代入思想，代数式求值
【点评】
本题以材料阅读的形式考查整体思想在整式运算中的应用，解题核心是理解整体代换的思路，熟练掌握合并同类项的法则，先化简再求值的解题习惯能有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.85

7.下面是小乐同学进行整式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解:$2m^2 + 2m^2n - 2m^2 + mn^2$
$=2m^2 - 2m^2 + 2m^2n + mn^2$ （第一步）
$=3m^2n$ （第二步）
任务1:填空.
以上化简过程中,第步开始出现错误,具体错误是;
任务2:请写出正确的化简过程,并计算当$m=-4,n=-\frac{1}{2}$时代数式的值.

解 任务1:二 把“$2m^2n$”与“$mn^2$”当成同类项合并成了一项
任务2:$2m^2 + 2m^2n - 2m^2 + mn^2 = 2m^2 - 2m^2 + 2m^2n + mn^2 = 2m^2n + mn^2$.
当 $m = -4, n = -\frac{1}{2}$ 时,原式$=2×(-4)^2×(-\frac{1}{2})+(-4)×(-\frac{1}{2})^2=-16+(-1)=-17$.

【分析】
任务1解题思路：首先明确合并同类项的规则：只有同类项才能合并，同类项需要满足两个条件：一是所含字母完全相同，二是相同字母的指数也分别相同。先逐步骤判断：第一步运用加法交换律调整项的位置，变形正确；第二步中$2m^2n$和$mn^2$的m、n指数均不相同，不属于同类项，不能合并，因此第二步开始出错。
任务2解题思路：先正确合并同类项，将互为相反数的$2m^2$和$-2m^2$抵消，剩余两项不是同类项直接保留得到化简结果；再代入m、n的取值，按照先算乘方、再算乘法、最后算加减的顺序计算，注意负数乘方的符号处理。
【解析】
任务1：第一步利用加法交换律调整项的顺序，变形合法；第二步中$2m^2n$与$mn^2$不是同类项，不能合并，因此从第二步开始出现错误，错误是误将非同类项的$2m^2n$和$mn^2$合并为一项。
任务2：正确化简过程：
$\begin{aligned}&2m^2 + 2m^2n - 2m^2 + mn^2\\=&2m^2 - 2m^2 + 2m^2n + mn^2\\=&2m^2n + mn^2\end{aligned}$
代入$m=-4$，$n=-\frac{1}{2}$计算：
先计算乘方：$(-4)^2=16$，$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
再计算乘法：$2×16×(-\frac{1}{2})=-16$，$(-4)×\frac{1}{4}=-1$
最后计算加法：$-16+(-1)=-17$
【答案】
任务1：二；把“$2m^2n$”与“$mn^2$”当成同类项合并成了一项
任务2：化简结果为$2m^2n + mn^2$，当$m=-4,n=-\frac{1}{2}$时，代数式的值为$\boldsymbol{-17}$
【知识点】
1.同类项的定义
2.合并同类项
3.代数式求值
【点评】
本题考查整式合并同类项的基础应用，需准确识别同类项才能正确合并，代入求值时要注意运算顺序和负数运算的符号问题，是整式运算的常规基础题型。
【难度系数】
0.8

去括号
一般地,一个数与一个多项式相乘,需要去括号,去括号就是用括号外的乘括号内的,再把所得的积.
特别地,+(x−3)与−(x−3)可以看作和分别乘(x−3),利用分配律,可以将式子中的括号去掉,得+(x−3)=,−(x−3)=.
这也符合上面的去括号的方法.
利用去括号,可以对整式进行化简.

去括号法则：用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加；+(x−3)可看作1乘(x−3)，结果为x−3；−(x−3)可看作−1乘(x−3)，结果为−x+3。

【分析】
解题时首先回忆去括号的推导依据是乘法分配律，我们可以结合乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$来推导去括号的规则：
第一步，先理解一般情况的去括号逻辑：一个数乘多项式，相当于把这个数分别和括号里的每一项相乘，再把乘得的结果加起来；
第二步，再推导括号前只有正负号的特殊情况：当括号前只有“$+$”，相当于省略了因数$1$，用$1$乘括号内的每一项即可；当括号前只有“$-$”，相当于省略了因数$-1$，用$-1$乘括号内的每一项，计算后就能得到去括号的结果。
【解析】
根据去括号的基本规则填空：
1. 一般去括号规则：一个数与多项式相乘去括号时，用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加；
2. 特殊情况推导：
式子$+(x−3)$可以看作$1$与$(x−3)$相乘，根据分配律计算得：$+(x−3)=1× x + 1×(-3) = x−3$；
式子$-(x−3)$可以看作$-1$与$(x−3)$相乘，根据分配律计算得：$-(x−3)=(-1)× x + (-1)×(-3) = -x+3$。
【答案】
数；每一项；相加；$1$；$-1$；$x−3$；$-x+3$
【知识点】
去括号法则；乘法分配律
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解去括号的本质是乘法分配律的应用，熟练掌握该知识点是后续整式运算的重要前提。
【难度系数】
0.9