知识梳理
在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数$k(k≠0)$,所对应的图形与原图形位似,位似中心是,它们的相似比为。

1. 坐标原点
2. $|k|$

【分析】
要解决这道题，我们可以从位似图形的坐标变换规律入手思考：
1. 首先回忆位似中心的特点：位似图形所有对应点的连线都会经过位似中心。如果把多边形每个顶点的横、纵坐标都乘非零数k，原图形上任意一点(x,y)对应新图形的点为(kx,ky)，这两个点的连线必然经过坐标原点，因此位似中心就是坐标原点。
2. 再结合相似比的定义分析：相似比是两个相似图形对应边的长度之比，是正数。k可以是正数也可以是负数，负数仅代表新图形和原图形在位似中心的两侧，不影响长度的比值，因此相似比为|k|。
【解析】
解：①判断位似中心：
设原多边形上任意一个顶点的坐标为$(x,y)$，将横、纵坐标都乘$k(k≠0)$后，对应点的坐标为$(kx,ky)$。
过点$(x,y)$和$(kx,ky)$的直线满足解析式$y'=\frac{y}{x}x'$（$x≠0$时），显然原点$(0,0)$满足该解析式，即所有对应点的连线都经过坐标原点，因此位似中心是坐标原点。
②求相似比：
相似比是两个位似图形对应边的长度之比，为非负数。根据两点间距离公式可计算得，新图形与原图形对应边的长度比为$|k|$，因此相似比为$|k|$。
【答案】
坐标原点；$|k|$
【知识点】
位似的坐标变换规律；位似的基本概念
【点评】
本题是位似变换的基础概念题，重点考查以原点为位似中心的位似图形的坐标特征，解题时需注意相似比为非负数值，不能遗漏k为负数时要取绝对值。
【难度系数】
0.8

1. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-2,4)$,$B(-6,-2)$,以原点$O$为位似中心画一个三角形,使它与$△ ABO$位似,且相似比是$\frac{1}{2}$,则点$A$的对应点$A'$的坐标是()。

A.$(-1,2)$
B.$(-3,-1)$
C.$(-1,2)$或$(1,-2)$
D.$(-3,-1)$或$(3,1)$

1. C

【分析】
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：若相似比为k，则对应点的坐标等于原图形对应点的坐标乘k或-k。本题需要分两种情况讨论：位似图形与原△ABO在原点同侧、在原点异侧，分别计算点A对应点A'的坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心的两个位似图形，相似比为k时，位似图形对应点的坐标为原坐标的k倍或-k倍。
已知相似比为$\frac{1}{2}$，点A坐标为$(-2,4)$：
① 当所得位似图形与$△ ABO$在原点同侧时，$A'$的坐标为$(-2×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})$，即$(-1,2)$；
② 当所得位似图形与$△ ABO$在原点异侧时，$A'$的坐标为$(-2×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))$，即$(1,-2)$。
因此点A的对应点$A'$的坐标是$(-1,2)$或$(1,-2)$。
【答案】
C
【知识点】
1. 位似图形的性质；2. 位似变换的坐标规律
【点评】
本题考查原点为位似中心的位似变换坐标规律，解题时需注意分位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况讨论，避免因漏考虑异侧情况而错选。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$△ OA_1B_1$与$△ OAB$的形状相同，大小不同，$△ OA_1B_1$的各顶点是由$△ OAB$的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是()。

A.横坐标、纵坐标都加2
B.横坐标、纵坐标都乘2
C.横坐标、纵坐标都除以2
D.横坐标、纵坐标都减2

2. C

【分析】
要解决这道题，首先需要准确读取两个三角形各对应顶点在平面直角坐标系中的坐标，再对比每组对应顶点横、纵坐标的变化规律，即可判断出顶点的变化情况。
【解析】
首先读取两个三角形的顶点坐标：
△OAB的三个顶点坐标为：$O(0,0)$，$A(4,2)$，$B(2,6)$；
△$OA_1B_1$的三个对应顶点坐标为：$O(0,0)$，$A_1(2,1)$，$B_1(1,3)$。
对比对应点的坐标变化：
1. 点$A$到点$A_1$：横坐标$4÷2=2$，纵坐标$2÷2=1$；
2. 点$B$到点$B_1$：横坐标$2÷2=1$，纵坐标$6÷2=3$；
3. 原点$O$横、纵坐标除以2后仍为$(0,0)$，符合变换规律。
因此各顶点的变化是横坐标、纵坐标都除以2，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
点的坐标变换；位似图形的坐标性质
【点评】
本题考查图形缩放时对应点的坐标变化规律，解题核心是准确读取坐标并对比变化，属于基础类题型，掌握坐标读取和变换分析方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85

3. 如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴的负半轴上,点B在第三象限内,以原点O为位似中心,在第一象限内作$△ OAB$的位似图形$△ OCD$,相似比是3。若点D的坐标为$(3,2)$,则点B的坐标为()。

A.$(1,\dfrac{2}{3})$
B.$(-\dfrac{2}{3},-1)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-1,-\dfrac{2}{3})$

3. D

【分析】
解题时首先回忆以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：若位似比为k，当两个位似图形在原点同侧时，对应点坐标比为k；在原点两侧时，对应点坐标比为-k。本题中△OAB的对应点B在第三象限，位似图形△OCD的对应点D在第一象限，二者在原点两侧，且相似比为3，即△OCD的边长是△OAB的3倍，因此点D的坐标是点B坐标的-3倍，我们只需将D的坐标除以-3即可得到点B的坐标。
【解析】
根据位似的性质：以原点为位似中心的两个位似图形，若位于原点两侧，相似比为k，则对应点的坐标满足：后得到的位似图形的点坐标 = 原图形对应点坐标 × (-k)。
本题中△OCD是△OAB的位似图形，相似比为3，点D对应点B，设点B坐标为$(x,y)$，则有：
$\begin{cases}-3x=3\\-3y=2\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=-1\\y=-\dfrac{2}{3}\end{cases}$
因此点B的坐标为$(-1,-\dfrac{2}{3})$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 位似的坐标性质
2. 相似比的应用
【点评】
本题考查原点为位似中心的位似图形坐标变化规律，解题的关键是明确两个位似图形相对于原点的位置，准确判断坐标的符号，避免因忽略符号选错答案。
【难度系数】
0.8