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8. 如图,以点O为位似中心,画出四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',使四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位于点O的两侧,且相似比为2:3。
小妙贴
画位似图形时,位似中心有在图形内、图形上、图形外三种情况。两个位似图形可能在位似中心同侧,也可能在位似中心异侧。
小妙贴
画位似图形时,位似中心有在图形内、图形上、图形外三种情况。两个位似图形可能在位似中心同侧,也可能在位似中心异侧。
答案
解：
画法如下：
1. 作射线OA、OB、OC、OD；
2. 分别在射线OA、OB、OC、OD的反向延长线上（即点O与四边形ABCD异侧的方向）取点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，使$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=\frac{OD'}{OD}=\frac{3}{2}$；
3. 顺次连接点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，所得四边形$A'B'C'D'$即为所求作的位似图形。
画法如下：
1. 作射线OA、OB、OC、OD；
2. 分别在射线OA、OB、OC、OD的反向延长线上（即点O与四边形ABCD异侧的方向）取点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，使$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=\frac{OD'}{OD}=\frac{3}{2}$；
3. 顺次连接点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，所得四边形$A'B'C'D'$即为所求作的位似图形。
解析
【分析】
本题是位似图形作图类题目，解题思路如下：首先明确作图要求：位似中心为点O，所求位似图形与原四边形位于点O两侧，原四边形与新四边形的相似比为2:3。第一步需要连接位似中心O与原四边形的各个顶点，再根据“两图形位于O两侧”的要求，沿各连线的反向延长线方向找对应点；结合相似比可知，新图形对应点到位似中心O的距离与原图形对应点到O的距离之比为3:2，据此可确定各对应点的位置，最后顺次连接各对应点即可得到所求位似图形。
【解析】
画法如下：
1. 作射线OA、OB、OC、OD；
2. 分别在射线OA、OB、OC、OD的反向延长线上（即点O与四边形ABCD异侧的方向）取点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，使$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=\frac{OD'}{OD}=\frac{3}{2}$；
3. 顺次连接点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，所得四边形$A'B'C'D'$即为所求作的位似图形。
【答案】
按上述步骤画出的四边形$A'B'C'D'$即为所求。
【知识点】
位似图形的画法；位似的性质；相似比的应用
【点评】
本题属于基础位似作图题，解题的核心是明确三个关键要素：位似中心的位置、两个位似图形的相对位置、相似比的对应关系，作图时要注意取点方向不能出错，比例关系不要弄反，熟练掌握位似作图的基本步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题是位似图形作图类题目，解题思路如下：首先明确作图要求：位似中心为点O，所求位似图形与原四边形位于点O两侧，原四边形与新四边形的相似比为2:3。第一步需要连接位似中心O与原四边形的各个顶点，再根据“两图形位于O两侧”的要求，沿各连线的反向延长线方向找对应点；结合相似比可知，新图形对应点到位似中心O的距离与原图形对应点到O的距离之比为3:2，据此可确定各对应点的位置，最后顺次连接各对应点即可得到所求位似图形。
【解析】
画法如下：
1. 作射线OA、OB、OC、OD；
2. 分别在射线OA、OB、OC、OD的反向延长线上（即点O与四边形ABCD异侧的方向）取点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，使$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=\frac{OD'}{OD}=\frac{3}{2}$；
3. 顺次连接点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，所得四边形$A'B'C'D'$即为所求作的位似图形。
【答案】
按上述步骤画出的四边形$A'B'C'D'$即为所求。
【知识点】
位似图形的画法；位似的性质；相似比的应用
【点评】
本题属于基础位似作图题，解题的核心是明确三个关键要素：位似中心的位置、两个位似图形的相对位置、相似比的对应关系，作图时要注意取点方向不能出错，比例关系不要弄反，熟练掌握位似作图的基本步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
1. 如图，$△ ABC$与$△ DEF$位似，位似中心是点$O$，其中$OB:OE=1:2$，则$△ ABC$与$△ DEF$的面积比是
1:4
。答案
1. 1:4
解析
【分析】
解题时首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，它们的相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比。已知OB:OE=1:2，OB、OE分别是两个三角形对应顶点B、E到位似中心O的距离，因此可先得到两个三角形的相似比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出面积比。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，且相似比$k=OB:OE=1:2$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可得$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=k^2=(1:2)^2=1:4$。
【答案】
1:4
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形面积的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查位似和相似三角形的性质结合，解题的关键是明确位似图形的相似比与对应点到位似中心距离的关系，再结合相似三角形面积比的规律计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，它们的相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比。已知OB:OE=1:2，OB、OE分别是两个三角形对应顶点B、E到位似中心O的距离，因此可先得到两个三角形的相似比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出面积比。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，且相似比$k=OB:OE=1:2$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
可得$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=k^2=(1:2)^2=1:4$。
【答案】
1:4
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形面积的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查位似和相似三角形的性质结合，解题的关键是明确位似图形的相似比与对应点到位似中心距离的关系，再结合相似三角形面积比的规律计算即可。
【难度系数】
0.8
2.如图，$△ DEF$与$△ ABC$位似，位似中心是点$O$，相似比为$1:2$。若$△ ABC$的周长为12，则$△ DEF$的周长为
6
。答案
2. 6
解析
【分析】
解题时首先明确位似图形的本质是特殊的相似图形，具备相似图形的所有性质。已知两个三角形的相似比，要求△DEF的周长，可利用相似三角形周长比等于相似比的性质求解，解题时要注意相似比的对应关系，本题相似比是△DEF:△ABC=1:2，即△DEF的周长是△ABC周长的二分之一。
【解析】
解：
∵△DEF与△ABC位似，相似比为$1:2$
∴△DEF∽△ABC，且$\frac{C_{△DEF}}{C_{△ABC}}=\frac{1}{2}$
又
∵$C_{△ABC}=12$
∴$C_{△DEF}=12×\frac{1}{2}=6$
【答案】
6
【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 相似三角形周长的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查位似和相似三角形的性质应用，解题的关键是明确位似图形属于相似图形，且相似三角形的周长比等于相似比，做题时注意不要混淆相似比的前后对应关系即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确位似图形的本质是特殊的相似图形，具备相似图形的所有性质。已知两个三角形的相似比，要求△DEF的周长，可利用相似三角形周长比等于相似比的性质求解，解题时要注意相似比的对应关系，本题相似比是△DEF:△ABC=1:2，即△DEF的周长是△ABC周长的二分之一。
【解析】
解：
∵△DEF与△ABC位似，相似比为$1:2$
∴△DEF∽△ABC，且$\frac{C_{△DEF}}{C_{△ABC}}=\frac{1}{2}$
又
∵$C_{△ABC}=12$
∴$C_{△DEF}=12×\frac{1}{2}=6$
【答案】
6
【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 相似三角形周长的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查位似和相似三角形的性质应用，解题的关键是明确位似图形属于相似图形，且相似三角形的周长比等于相似比，做题时注意不要混淆相似比的前后对应关系即可。
【难度系数】
0.8
3. 下图是$6 × 6$的网格，每个小正方形的边长为1，顶点称为格点。$△ ABC$的顶点$A,B,C$均在格点上，按要求作图，并保留作图痕迹。
(1) 在图中画出$△ ABC$的$BC$边上的中线$AD$；
(2) 在图中画出$△ BMN$，使得$△ BMN$与$△ BAC$位似，且点$B$为位似中心，点$M,N$分别在$AB$，$BC$边上，相似比为$\frac{1}{3}$；
(3) 四边形$AMND$的面积是
(1) 在图中画出$△ ABC$的$BC$边上的中线$AD$；
(2) 在图中画出$△ BMN$，使得$△ BMN$与$△ BAC$位似，且点$B$为位似中心，点$M,N$分别在$AB$，$BC$边上，相似比为$\frac{1}{3}$；
(3) 四边形$AMND$的面积是
$\frac{14}{3}$
。答案
3. (1) 如图,线段AD为所求
(2) 如图,在BC上取一点N,使得NB=2,取格点T,使得TB=4,连接TN,与AB相交于点M,△BMN为所求
(3) $\frac{14}{3}$ 【解析】$S_{四边形AMND} = S_{△ABC} - S_{△BMN} - S_{△ADC} = \frac{1}{2}×6×4 - \frac{1}{2}×6×4×\frac{1}{9} - \frac{1}{2}×3×4 = \frac{14}{3}$
解析
【分析】
(1) 要画BC边上的中线，首先确定BC的长度，找到BC的中点D，再连接A和D即可。观察网格可知BC长为6，因此中点D到点B、C的距离均为3，可直接找到对应格点D。
(2) 要画以B为位似中心、相似比为$\frac{1}{3}$的△BMN，根据位似的性质，对应边的比等于相似比，因此$\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{BA}=\frac{1}{3}$。先算得BC=6，所以BN=2，先在BC上确定点N，再通过作辅助线找到AB上满足$BM=\frac{1}{3}BA$的点M，连接MN即可得到所求三角形。
(3) 求四边形AMND的面积，采用割补法，用△ABC的面积减去△BMN和△ADC的面积即可。△ADC是中线分得的三角形，面积为△ABC的一半；位似图形面积比等于相似比的平方，可算出△BMN的面积，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 观察网格得BC的长度为6，因此BC中点D到B的距离为3，在BC边上找到距离B点3个单位长度的格点D，连接AD，AD即为BC边上的中线。
(2) 由相似比为$\frac{1}{3}$，位似中心为B，可得$BN=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×6=2$，在BC边上取点N，使BN=2；取格点T，连接TN，TN与AB的交点即为点M，连接MN，△BMN即为所求位似三角形。
(3) 首先计算各三角形面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×A到BC的高=\frac{1}{2}×6×4=12$
因为AD是BC边上的中线，所以$S_{△ADC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×12=6$
因为△BMN与△BAC位似，相似比为$\frac{1}{3}$，所以面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，则$S_{△BMN}=12×\frac{1}{9}=\frac{4}{3}$
因此$S_{四边形AMND}=S_{△ABC}-S_{△BMN}-S_{△ADC}=12 - \frac{4}{3} - 6=\frac{14}{3}$
【答案】
(1) 如图，线段AD为所求
(2) 如图，△BMN为所求
(3) $\frac{14}{3}$
【知识点】
三角形中线定义，位似图形的性质，割补法求面积
【点评】
本题综合考查了基础作图能力和几何性质应用，既需要结合网格特点准确完成中线、位似图形的作图，又要能灵活运用中线的面积性质、位似图形的面积比规律求解不规则图形的面积，对作图能力和运算能力都有一定的考察作用。
【难度系数】
0.7
(1) 要画BC边上的中线，首先确定BC的长度，找到BC的中点D，再连接A和D即可。观察网格可知BC长为6，因此中点D到点B、C的距离均为3，可直接找到对应格点D。
(2) 要画以B为位似中心、相似比为$\frac{1}{3}$的△BMN，根据位似的性质，对应边的比等于相似比，因此$\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{BA}=\frac{1}{3}$。先算得BC=6，所以BN=2，先在BC上确定点N，再通过作辅助线找到AB上满足$BM=\frac{1}{3}BA$的点M，连接MN即可得到所求三角形。
(3) 求四边形AMND的面积，采用割补法，用△ABC的面积减去△BMN和△ADC的面积即可。△ADC是中线分得的三角形，面积为△ABC的一半；位似图形面积比等于相似比的平方，可算出△BMN的面积，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 观察网格得BC的长度为6，因此BC中点D到B的距离为3，在BC边上找到距离B点3个单位长度的格点D，连接AD，AD即为BC边上的中线。
(2) 由相似比为$\frac{1}{3}$，位似中心为B，可得$BN=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×6=2$，在BC边上取点N，使BN=2；取格点T，连接TN，TN与AB的交点即为点M，连接MN，△BMN即为所求位似三角形。
(3) 首先计算各三角形面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×A到BC的高=\frac{1}{2}×6×4=12$
因为AD是BC边上的中线，所以$S_{△ADC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×12=6$
因为△BMN与△BAC位似，相似比为$\frac{1}{3}$，所以面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，则$S_{△BMN}=12×\frac{1}{9}=\frac{4}{3}$
因此$S_{四边形AMND}=S_{△ABC}-S_{△BMN}-S_{△ADC}=12 - \frac{4}{3} - 6=\frac{14}{3}$
【答案】
(1) 如图，线段AD为所求
(2) 如图，△BMN为所求
(3) $\frac{14}{3}$
【知识点】
三角形中线定义，位似图形的性质，割补法求面积
【点评】
本题综合考查了基础作图能力和几何性质应用，既需要结合网格特点准确完成中线、位似图形的作图，又要能灵活运用中线的面积性质、位似图形的面积比规律求解不规则图形的面积，对作图能力和运算能力都有一定的考察作用。
【难度系数】
0.7
