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16. 已知实数$x$、$y$满足关系式: $\sqrt{4x - y^2 + 1} + |y^2 - 9| = 0$.
(1) 求$x$、$y$的值;
(2) 判断$\sqrt[x]{y + 6}$是有理数,还是无理数,并说明理由.
(1) 求$x$、$y$的值;
(2) 判断$\sqrt[x]{y + 6}$是有理数,还是无理数,并说明理由.
答案
(1) 由题意,得$4x - y^2 + 1 = 0$, $y^2 - 9 = 0$,
∴ $y = \pm 3$, $x = 2$
(2) 分两种情况:当$y=3$时,$\sqrt[x]{y+6}=\sqrt{9}=3$,是有理数;当$y=-3$时,$\sqrt[x]{y+6}=\sqrt{3}$,是无理数
∴ $y = \pm 3$, $x = 2$
(2) 分两种情况:当$y=3$时,$\sqrt[x]{y+6}=\sqrt{9}=3$,是有理数;当$y=-3$时,$\sqrt[x]{y+6}=\sqrt{3}$,是无理数
解析
【分析】
首先回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都等于0。据此可列出关于x、y的方程组，先求解y的值，再代入求x的值。第二问因为y有两个不同的解，所以需要分类讨论，将x、y的值代入根式计算后，结合有理数、无理数的定义判断即可。
【解析】
(1) 解：
∵算术平方根和绝对值均为非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴可得方程组：$\{\begin{array}{l}4x - y^2 + 1 = 0\\y^2 - 9 = 0\end{array} $
先解$y^2 - 9 = 0$，得$y^2=9$，即$y=\pm3$
将$y^2=9$代入$4x - y^2 + 1 = 0$，得$4x - 9 + 1 = 0$，解得$x=2$
(2) 解：已知$x=2$，分两种情况讨论：
①当$y=3$时，$\sqrt[x]{y+6}=\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3$，3是整数，属于有理数；
②当$y=-3$时，$\sqrt[x]{y+6}=\sqrt{-3+6}=\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
(1) $x = 2$，$y = \pm 3$
(2) 当$y=3$时，$\sqrt[x]{y+6}$是有理数；当$y=-3$时，$\sqrt[x]{y+6}$是无理数
【知识点】
非负数的性质、平方根运算、有理数与无理数判别
【点评】
本题重点考查非负性质的实际应用和实数的分类判断，解题时要注意牢记非负数的和为0的运算规则，同时存在多个解的情况要分类讨论，避免漏解导致判断错误。
【难度系数】
0.7
首先回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都等于0。据此可列出关于x、y的方程组，先求解y的值，再代入求x的值。第二问因为y有两个不同的解，所以需要分类讨论，将x、y的值代入根式计算后，结合有理数、无理数的定义判断即可。
【解析】
(1) 解：
∵算术平方根和绝对值均为非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0
∴可得方程组：$\{\begin{array}{l}4x - y^2 + 1 = 0\\y^2 - 9 = 0\end{array} $
先解$y^2 - 9 = 0$，得$y^2=9$，即$y=\pm3$
将$y^2=9$代入$4x - y^2 + 1 = 0$，得$4x - 9 + 1 = 0$，解得$x=2$
(2) 解：已知$x=2$，分两种情况讨论：
①当$y=3$时，$\sqrt[x]{y+6}=\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3$，3是整数，属于有理数；
②当$y=-3$时，$\sqrt[x]{y+6}=\sqrt{-3+6}=\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
(1) $x = 2$，$y = \pm 3$
(2) 当$y=3$时，$\sqrt[x]{y+6}$是有理数；当$y=-3$时，$\sqrt[x]{y+6}$是无理数
【知识点】
非负数的性质、平方根运算、有理数与无理数判别
【点评】
本题重点考查非负性质的实际应用和实数的分类判断，解题时要注意牢记非负数的和为0的运算规则，同时存在多个解的情况要分类讨论，避免漏解导致判断错误。
【难度系数】
0.7
17. 如图是一个数值转换器的原理图.
（1）当输入的x值为16时，求输出的y值.
（2）是否存在输入x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由.
（3）输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根能输出无理数，则x为
（1）当输入的x值为16时，求输出的y值.
（2）是否存在输入x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由.
（3）输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根能输出无理数，则x为
25、36、49、64
.答案
17. (1) $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{4}=2$,故$y=\sqrt{2}$
(2) 存在.$x=0$,或$x=1$,或$x$为负数
(3) 25、36、49、64
(2) 存在.$x=0$,或$x=1$,或$x$为负数
(3) 25、36、49、64
解析
【分析】
（1）按照数值转换器的运算规则，将x=16代入后反复取算术平方根，直到得到无理数即为输出的y值；
（2）分两类情况分析：一是无法取算术平方根的情况，二是取算术平方根后始终为有理数、进入无限循环的情况，即可找到输不出y的x值；
（3）恰好两次取算术平方根输出无理数，说明第一次取算术平方根结果为有理数（需进行第二次运算），第二次取算术平方根结果为无理数（可直接输出），且x为两位数，据此筛选符合条件的完全平方数即可。
【解析】
（1）当输入x=16时：
第一次取算术平方根：$\sqrt{16}=4$，4是有理数，返回重新输入；
第二次取算术平方根：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，返回重新输入；
第三次取算术平方根：得到$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，符合输出要求。
（2）存在始终输不出y值的情况：
① 若x为负数，负数没有算术平方根，无法进行运算，输不出y；
② 若x=0，$\sqrt{0}=0$，0是有理数，会一直循环运算，无法输出无理数；
③ 若x=1，$\sqrt{1}=1$，1是有理数，同样会一直循环运算，无法输出无理数。
综上，满足要求的x为0、1或所有负数。
（3）恰好经过两次取算术平方根输出无理数的条件：
第一，x是两位数且为完全平方数，保证第一次取算术平方根为有理数，需要第二次运算；
第二，第一次运算得到的数的算术平方根是无理数，保证第二次运算后可直接输出，不需要第三次运算。
两位数的完全平方数有16、25、36、49、64、81：
16开方得4，4再开方得2（有理数，需第三次运算，不符合）；
25开方得5，5再开方得$\sqrt{5}$（无理数，符合）；
36开方得6，6再开方得$\sqrt{6}$（无理数，符合）；
49开方得7，7再开方得$\sqrt{7}$（无理数，符合）；
64开方得8，8再开方得$\sqrt{8}$（无理数，符合）；
81开方得9，9再开方得3（有理数，需第三次运算，不符合）。
因此符合条件的x为25、36、49、64。
【答案】
(1) $y=\sqrt{2}$
(2) 存在，$x=0$、$x=1$或$x$为负数
(3) 25、36、49、64
【知识点】
算术平方根；无理数；有理数
【点评】
本题结合新颖的数值转换器考查实数相关基础知识，解题关键是读懂转换器的运算逻辑，同时要注意负数、0、1的算术平方根的特殊性，能有效考查学生的逻辑推理能力和基础知识运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）按照数值转换器的运算规则，将x=16代入后反复取算术平方根，直到得到无理数即为输出的y值；
（2）分两类情况分析：一是无法取算术平方根的情况，二是取算术平方根后始终为有理数、进入无限循环的情况，即可找到输不出y的x值；
（3）恰好两次取算术平方根输出无理数，说明第一次取算术平方根结果为有理数（需进行第二次运算），第二次取算术平方根结果为无理数（可直接输出），且x为两位数，据此筛选符合条件的完全平方数即可。
【解析】
（1）当输入x=16时：
第一次取算术平方根：$\sqrt{16}=4$，4是有理数，返回重新输入；
第二次取算术平方根：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，返回重新输入；
第三次取算术平方根：得到$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，符合输出要求。
（2）存在始终输不出y值的情况：
① 若x为负数，负数没有算术平方根，无法进行运算，输不出y；
② 若x=0，$\sqrt{0}=0$，0是有理数，会一直循环运算，无法输出无理数；
③ 若x=1，$\sqrt{1}=1$，1是有理数，同样会一直循环运算，无法输出无理数。
综上，满足要求的x为0、1或所有负数。
（3）恰好经过两次取算术平方根输出无理数的条件：
第一，x是两位数且为完全平方数，保证第一次取算术平方根为有理数，需要第二次运算；
第二，第一次运算得到的数的算术平方根是无理数，保证第二次运算后可直接输出，不需要第三次运算。
两位数的完全平方数有16、25、36、49、64、81：
16开方得4，4再开方得2（有理数，需第三次运算，不符合）；
25开方得5，5再开方得$\sqrt{5}$（无理数，符合）；
36开方得6，6再开方得$\sqrt{6}$（无理数，符合）；
49开方得7，7再开方得$\sqrt{7}$（无理数，符合）；
64开方得8，8再开方得$\sqrt{8}$（无理数，符合）；
81开方得9，9再开方得3（有理数，需第三次运算，不符合）。
因此符合条件的x为25、36、49、64。
【答案】
(1) $y=\sqrt{2}$
(2) 存在，$x=0$、$x=1$或$x$为负数
(3) 25、36、49、64
【知识点】
算术平方根；无理数；有理数
【点评】
本题结合新颖的数值转换器考查实数相关基础知识，解题关键是读懂转换器的运算逻辑，同时要注意负数、0、1的算术平方根的特殊性，能有效考查学生的逻辑推理能力和基础知识运用能力。
【难度系数】
0.7
