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9. 在$\sqrt{1}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，…，$\sqrt{50}$这50个数中，有理数的个数为$m$，无理数的个数为$n$，则$m-n=$
$-36$
。答案
9. $-36$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确：若正整数k的算术平方根√k是有理数，则k一定是完全平方数。解题时第一步先找出1~50范围内所有的完全平方数，得到有理数的个数m；第二步用总个数减去m得到无理数的个数n；第三步代入式子计算m-n即可得到结果。
【解析】
解：当√k（k为1到50的正整数）是有理数时，k为完全平方数。
1到50中的完全平方数有：
1²=1，2²=4，3²=9，4²=16，5²=25，6²=36，7²=49，
共7个，因此有理数的个数m=7。
总共有50个数，所以无理数的个数n=50-m=50-7=43。
则m-n=7-43=-36。
【答案】
-36
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 有理数与无理数的判别
3. 完全平方数的特征
【点评】
本题考查实数的分类相关应用，解题的核心是掌握算术平方根为有理数的条件，即被开方数是完全平方数，解题时需注意枚举完全平方数时不要漏数或超出取值范围。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确：若正整数k的算术平方根√k是有理数，则k一定是完全平方数。解题时第一步先找出1~50范围内所有的完全平方数，得到有理数的个数m；第二步用总个数减去m得到无理数的个数n；第三步代入式子计算m-n即可得到结果。
【解析】
解：当√k（k为1到50的正整数）是有理数时，k为完全平方数。
1到50中的完全平方数有：
1²=1，2²=4，3²=9，4²=16，5²=25，6²=36，7²=49，
共7个，因此有理数的个数m=7。
总共有50个数，所以无理数的个数n=50-m=50-7=43。
则m-n=7-43=-36。
【答案】
-36
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 有理数与无理数的判别
3. 完全平方数的特征
【点评】
本题考查实数的分类相关应用，解题的核心是掌握算术平方根为有理数的条件，即被开方数是完全平方数，解题时需注意枚举完全平方数时不要漏数或超出取值范围。
【难度系数】
0.7
10. 把下列各数填入相应的集合内：
$-\dfrac{1}{3}$，$\sqrt{16}$，$\sqrt[3]{9}$，0，$-\dfrac{π}{2}$，3.14，0.31，0.8989989998…（相邻两个8之间9的个数逐次加1）.
（1）有理数集合：{ …}；
（2）无理数集合：{ …}；
（3）正实数集合：{ …}；
（4）负实数集合：{ …}.
$-\dfrac{1}{3}$，$\sqrt{16}$，$\sqrt[3]{9}$，0，$-\dfrac{π}{2}$，3.14，0.31，0.8989989998…（相邻两个8之间9的个数逐次加1）.
（1）有理数集合：{ …}；
（2）无理数集合：{ …}；
（3）正实数集合：{ …}；
（4）负实数集合：{ …}.
答案
10. (1) $-\dfrac{1}{3}$，$\sqrt{16}$，0，3.14，0.31
(2) $\sqrt[3]{9}$，$-\dfrac{π}{2}$，0.8989989998…(相邻两个8之间9的个数逐次加1)
(3) $\sqrt{16}$，$\sqrt[3]{9}$，3.14，0.31，0.8989989998…(相邻两个8之间9的个数逐次加1)
(4) $-\dfrac{1}{3}$，$-\dfrac{π}{2}$
(2) $\sqrt[3]{9}$，$-\dfrac{π}{2}$，0.8989989998…(相邻两个8之间9的个数逐次加1)
(3) $\sqrt{16}$，$\sqrt[3]{9}$，3.14，0.31，0.8989989998…(相邻两个8之间9的个数逐次加1)
(4) $-\dfrac{1}{3}$，$-\dfrac{π}{2}$
解析
【分析】
要解决实数分类问题，首先需明确各类数的定义：①有理数是整数和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数三类；③正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数。解题时先对带根号的数化简（如先算$\sqrt{16}=4$），再逐个判断每个数的属性，对应填入相应集合即可。
【解析】
首先化简特殊数：$\sqrt{16}=4$，是正整数。
逐个判断各数属性：
1. $-\dfrac{1}{3}$：是负分数，属于有理数、负实数；
2. $\sqrt{16}=4$：是正整数，属于有理数、正实数；
3. $\sqrt[3]{9}$：开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数、正实数；
4. $0$：是整数，属于有理数，既不是正实数也不是负实数；
5. $-\dfrac{π}{2}$：$π$是无理数，故该数是无限不循环小数，属于无理数、负实数；
6. $3.14$：是有限小数，属于有理数、正实数；
7. $0.31$：是有限小数，属于有理数、正实数；
8. $0.8989989998…$（相邻两个8之间9的个数逐次加1）：是无限不循环小数，属于无理数、正实数。
按要求分类填入集合即可。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{3}$，$\sqrt{16}$，0，3.14，0.31
(2) $\sqrt[3]{9}$，$-\dfrac{π}{2}$，0.8989989998…(相邻两个8之间9的个数逐次加1)
(3) $\sqrt{16}$，$\sqrt[3]{9}$，3.14，0.31，0.8989989998…(相邻两个8之间9的个数逐次加1)
(4) $-\dfrac{1}{3}$，$-\dfrac{π}{2}$
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题型，易错点在于：①未先化简带根号的数就误判$\sqrt{16}$为无理数；②误将有限小数3.14等同于π，错归为无理数；③对有规律的无限小数，要注意区分是循环还是不循环，本题中的无限小数无循环节，属于无理数。解题时牢记各类数的定义，逐一判断即可避免错误。
【难度系数】
0.8
要解决实数分类问题，首先需明确各类数的定义：①有理数是整数和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数三类；③正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数。解题时先对带根号的数化简（如先算$\sqrt{16}=4$），再逐个判断每个数的属性，对应填入相应集合即可。
【解析】
首先化简特殊数：$\sqrt{16}=4$，是正整数。
逐个判断各数属性：
1. $-\dfrac{1}{3}$：是负分数，属于有理数、负实数；
2. $\sqrt{16}=4$：是正整数，属于有理数、正实数；
3. $\sqrt[3]{9}$：开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数、正实数；
4. $0$：是整数，属于有理数，既不是正实数也不是负实数；
5. $-\dfrac{π}{2}$：$π$是无理数，故该数是无限不循环小数，属于无理数、负实数；
6. $3.14$：是有限小数，属于有理数、正实数；
7. $0.31$：是有限小数，属于有理数、正实数；
8. $0.8989989998…$（相邻两个8之间9的个数逐次加1）：是无限不循环小数，属于无理数、正实数。
按要求分类填入集合即可。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{3}$，$\sqrt{16}$，0，3.14，0.31
(2) $\sqrt[3]{9}$，$-\dfrac{π}{2}$，0.8989989998…(相邻两个8之间9的个数逐次加1)
(3) $\sqrt{16}$，$\sqrt[3]{9}$，3.14，0.31，0.8989989998…(相邻两个8之间9的个数逐次加1)
(4) $-\dfrac{1}{3}$，$-\dfrac{π}{2}$
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题型，易错点在于：①未先化简带根号的数就误判$\sqrt{16}$为无理数；②误将有限小数3.14等同于π，错归为无理数；③对有规律的无限小数，要注意区分是循环还是不循环，本题中的无限小数无循环节，属于无理数。解题时牢记各类数的定义，逐一判断即可避免错误。
【难度系数】
0.8
11. 有下列各数：$\frac{11}{7}$，0，$\frac{π}{3}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt[3]{-27}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0.101001.其中，无理数有 【 】
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
B
解析
【分析】
要判断无理数的个数，首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有三类：①含π的数；②开方开不尽的数的方根；③无限不循环小数。解题时先将题目中能化简的数先化简，再逐个判断每个数是否属于无理数，最后统计无理数的总个数即可选出正确选项。
【解析】
首先明确：整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数；无限不循环小数叫做无理数。
对题中各数逐个分析：
1. $\frac{11}{7}$是分数，属于有理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $\frac{π}{3}$：π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\sqrt{8}$：化简得$2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，因此$\sqrt{8}$属于无理数；
5. $\sqrt[3]{-27}$：化简得$-3$，是整数，属于有理数；
6. $\frac{\sqrt{3}}{4}$：$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，因此$\frac{\sqrt{3}}{4}$属于无理数；
7. $0.101001$是有限小数，属于有理数。
综上，无理数共有3个。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 实数的分类
3. 根式化简
【点评】
本题考查无理数的识别，解题的核心是牢记无理数的定义和常见类型，注意要先将带根号的数化简后再判断，不要直接将带根号的数都判定为无理数，同时注意区分有限小数和无限不循环小数，避免误判。
【难度系数】
0.7
要判断无理数的个数，首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有三类：①含π的数；②开方开不尽的数的方根；③无限不循环小数。解题时先将题目中能化简的数先化简，再逐个判断每个数是否属于无理数，最后统计无理数的总个数即可选出正确选项。
【解析】
首先明确：整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数；无限不循环小数叫做无理数。
对题中各数逐个分析：
1. $\frac{11}{7}$是分数，属于有理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $\frac{π}{3}$：π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\sqrt{8}$：化简得$2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，因此$\sqrt{8}$属于无理数；
5. $\sqrt[3]{-27}$：化简得$-3$，是整数，属于有理数；
6. $\frac{\sqrt{3}}{4}$：$\sqrt{3}$是开方开不尽的数，因此$\frac{\sqrt{3}}{4}$属于无理数；
7. $0.101001$是有限小数，属于有理数。
综上，无理数共有3个。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 实数的分类
3. 根式化简
【点评】
本题考查无理数的识别，解题的核心是牢记无理数的定义和常见类型，注意要先将带根号的数化简后再判断，不要直接将带根号的数都判定为无理数，同时注意区分有限小数和无限不循环小数，避免误判。
【难度系数】
0.7
12. 下列关于$\sqrt{13}$的说法中，错误的是 【 】
A.它是无理数
B.它是面积为13的正方形边长的值
C.它是比4大的数
D.它是13的算术平方根
A.它是无理数
B.它是面积为13的正方形边长的值
C.它是比4大的数
D.它是13的算术平方根
答案
C
解析
【分析】
本题要求找出关于$\sqrt{13}$的错误说法，解题时需结合实数相关的基础概念，逐一验证每个选项的正确性：首先回忆无理数、算术平方根的定义，正方形面积与边长的关系，以及实数比大小的方法，逐个判断选项即可选出错误项。
【解析】
我们对每个选项依次判断：
A. 无理数是无限不循环小数，$\sqrt{13}$开方开不尽，属于无限不循环小数，是无理数，该说法正确，不符合题意；
B. 正方形的面积等于边长的平方，若正方形面积为13，且边长为正数，则边长为$\sqrt{13}$，该说法正确，不符合题意；
C. 因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，根据被开方数越大，算术平方根越大，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，因此$\sqrt{13}$是比4小的数，该说法错误，符合题意；
D. 若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，因此13的算术平方根是$\sqrt{13}$，该说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义；算术平方根；实数大小比较
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对实数相关核心概念的理解，解题时只要清晰掌握相关定义，就能快速判断选项正误，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.85
本题要求找出关于$\sqrt{13}$的错误说法，解题时需结合实数相关的基础概念，逐一验证每个选项的正确性：首先回忆无理数、算术平方根的定义，正方形面积与边长的关系，以及实数比大小的方法，逐个判断选项即可选出错误项。
【解析】
我们对每个选项依次判断：
A. 无理数是无限不循环小数，$\sqrt{13}$开方开不尽，属于无限不循环小数，是无理数，该说法正确，不符合题意；
B. 正方形的面积等于边长的平方，若正方形面积为13，且边长为正数，则边长为$\sqrt{13}$，该说法正确，不符合题意；
C. 因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，根据被开方数越大，算术平方根越大，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，因此$\sqrt{13}$是比4小的数，该说法错误，符合题意；
D. 若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，因此13的算术平方根是$\sqrt{13}$，该说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义；算术平方根；实数大小比较
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对实数相关核心概念的理解，解题时只要清晰掌握相关定义，就能快速判断选项正误，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.85
13. 有下列结论:①数轴上的点只能表示无理数;②任何一个无理数都能用数轴上的点表示;③实数与数轴上的点一一对应;④有理数是有限小数,无理数是无限小数.其中,正确的结论是 【 】
A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④
A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④
答案
B
解析
【分析】
解答本题需要逐个验证4个结论的正确性，解题思路如下：首先回忆实数的分类、有理数和无理数的定义，以及实数与数轴的对应关系这几个核心知识点，再对每个结论逐一判断，判断错误结论时可通过举反例的方法快速验证。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
1. 分析结论①：数轴上的点和全体实数一一对应，实数包含有理数和无理数，因此数轴上的点既可以表示有理数也可以表示无理数，故①错误；
2. 分析结论②：无理数属于实数，而所有实数都可以用数轴上的点表示，因此任何无理数都能用数轴上的点表示，故②正确；
3. 分析结论③：“实数与数轴上的点一一对应”是实数的基本性质，表述正确，故③正确；
4. 分析结论④：有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，并非只有有限小数，因此该结论前半部分表述错误，整体结论④错误。
综上，正确的结论是②③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 实数与数轴的关系
2. 有理数的概念
3. 无理数的概念
【点评】
本题是实数相关概念的基础考查题，易错点是容易忽略有理数包含无限循环小数，或是记错数轴与实数的对应关系，学习时要牢记核心概念，判断表述类题目时可通过举反例排除错误选项。
【难度系数】
0.7
解答本题需要逐个验证4个结论的正确性，解题思路如下：首先回忆实数的分类、有理数和无理数的定义，以及实数与数轴的对应关系这几个核心知识点，再对每个结论逐一判断，判断错误结论时可通过举反例的方法快速验证。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
1. 分析结论①：数轴上的点和全体实数一一对应，实数包含有理数和无理数，因此数轴上的点既可以表示有理数也可以表示无理数，故①错误；
2. 分析结论②：无理数属于实数，而所有实数都可以用数轴上的点表示，因此任何无理数都能用数轴上的点表示，故②正确；
3. 分析结论③：“实数与数轴上的点一一对应”是实数的基本性质，表述正确，故③正确；
4. 分析结论④：有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，并非只有有限小数，因此该结论前半部分表述错误，整体结论④错误。
综上，正确的结论是②③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 实数与数轴的关系
2. 有理数的概念
3. 无理数的概念
【点评】
本题是实数相关概念的基础考查题，易错点是容易忽略有理数包含无限循环小数，或是记错数轴与实数的对应关系，学习时要牢记核心概念，判断表述类题目时可通过举反例排除错误选项。
【难度系数】
0.7
14. 数轴上，已知点A表示的数是$a=-\sqrt{2}$，点B表示的数是$b$，且实数$b$满足$|b|＜|a|$，那么点B表示的正整数是
1
。答案
14. 1
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：第一步先求出点A对应数的绝对值|a|，再估算出|a|的近似值，得到|b|的取值范围；最后结合b是正整数的限定，筛选出符合要求的数值即可。
【解析】
已知点A表示的数$a=-\sqrt{2}$，根据绝对值的性质可得：
$|a|=|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$
我们知道$\sqrt{2}\approx1.414$，结合题中条件$|b|＜|a|$，可得$|b|＜1.414$。
题目要求b是正整数，正整数为大于0的整数，符合$|b|＜1.414$的正整数只有1。
【答案】
1
【知识点】
绝对值的性质，实数大小比较，正整数概念
【点评】
本题属于基础概念综合题，解题的核心是准确估算$\sqrt{2}$的大小，再结合绝对值的取值范围和正整数的限定筛选答案，难度较低，掌握相关基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：第一步先求出点A对应数的绝对值|a|，再估算出|a|的近似值，得到|b|的取值范围；最后结合b是正整数的限定，筛选出符合要求的数值即可。
【解析】
已知点A表示的数$a=-\sqrt{2}$，根据绝对值的性质可得：
$|a|=|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$
我们知道$\sqrt{2}\approx1.414$，结合题中条件$|b|＜|a|$，可得$|b|＜1.414$。
题目要求b是正整数，正整数为大于0的整数，符合$|b|＜1.414$的正整数只有1。
【答案】
1
【知识点】
绝对值的性质，实数大小比较，正整数概念
【点评】
本题属于基础概念综合题，解题的核心是准确估算$\sqrt{2}$的大小，再结合绝对值的取值范围和正整数的限定筛选答案，难度较低，掌握相关基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
15. 将两张完全相同的正方形纸片ABCD、CDEF按如图所示的方式摆放，使边AB恰好落在数轴上，且点A、B对应的数分别为－1、0。连结AF，以点A为圆心、AF长为半径作弧，交数轴的正半轴于点P，则点P表示的数是
$\sqrt{5}-1$
。答案
15. $\sqrt{5}-1$
解析
【分析】
解题时首先根据数轴上A、B两点对应的数求出正方形的边长，再找到以AF为斜边的直角三角形，利用勾股定理计算出AF的长度，最后根据同圆半径相等得到AP=AF，结合A点在数轴上的位置即可求出P点表示的数。
【解析】
解：
∵点A、B对应的数分别为-1、0，
∴正方形的边长$AB=0-(-1)=1$。
观察图形可知，AF为直角边分别为1、2的直角三角形的斜边，
根据勾股定理得：$AF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
∵以点A为圆心、AF长为半径作弧交数轴正半轴于P，
∴$AP=AF=\sqrt{5}$。
又
∵点A对应的数为-1，
∴点P表示的数为$-1+\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，正方形的性质
【点评】
本题是数形结合的基础题型，将数轴、正方形性质和勾股定理结合起来考查，解题的关键是准确求出AF的长度，再结合数轴上点的特征计算对应数值。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据数轴上A、B两点对应的数求出正方形的边长，再找到以AF为斜边的直角三角形，利用勾股定理计算出AF的长度，最后根据同圆半径相等得到AP=AF，结合A点在数轴上的位置即可求出P点表示的数。
【解析】
解：
∵点A、B对应的数分别为-1、0，
∴正方形的边长$AB=0-(-1)=1$。
观察图形可知，AF为直角边分别为1、2的直角三角形的斜边，
根据勾股定理得：$AF=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
∵以点A为圆心、AF长为半径作弧交数轴正半轴于P，
∴$AP=AF=\sqrt{5}$。
又
∵点A对应的数为-1，
∴点P表示的数为$-1+\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，正方形的性质
【点评】
本题是数形结合的基础题型，将数轴、正方形性质和勾股定理结合起来考查，解题的关键是准确求出AF的长度，再结合数轴上点的特征计算对应数值。
【难度系数】
0.7
